凸性与债券价格非付息期的计算.docx
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凸性与债券价格非付息期的计算
一.久期与凸性
1、久期（仅针对分次附息债券.一次还本债.贴现债久期=剩余期限）
（1）久期含义：
与剩余期不同，它指债券未来一系列现金流入的平均到期时间，即完全收回本金利息的加权平均年数。
可从期限角度反映债券价格对利率（贴现率）变化反应弹性。
简化公式
（2）Macaulay久期计算D=
D1=1×[C1/（1+r）]/p0+2×[C2/（1+r）2/p0]+….+n×[（Cn+pn）/（1+r）n]/p0
当每次现金流相同,公式简化为:
D1=
每年一次现金流
D1=2
半年一次现金流
甲债券,3年为期,年息票80元,面值1000元,到期收益率10%,现市价950.24元.求久期?
D1=1×[80/（1+0.1）]/950.24+2×[80/（1+0.1）2/950.24]+3×[（80+1000）/（1+0.1）3]/950.24=1×0.0766+2×0.0696+3×0.8539=2.78年
（3）修正久期:
D2=D1/1+r
（差异在于D1用连续复利,D2用离散复利,常用后者）
（4）Fisher—weil久期:
D3=1×[C1/（1+r1）]/p0+2×[C2/（1+r1）（1+r2）]/p0]+….+n×[（Cn+pn）/（1+r1）（1+r2）…（1+rn）]/p0
（差异在于r随时而变）r1、r2…rn用期限结构曲线计算。
组合D=
其它久期计算:
永久年金债券D=（1+r）/r
固定年金债券D=[（1+r）/r]－T/[（1+r）T－1]
T-年金支付次数r-年金率
带息债D=（1+r）/r－{（1+r）＋T（c－r）/c[（1+r）T－1]＋r}
c-每个付息期间息率T-利息支付次数
债券以面值出售时,D=[（1+r）/r][1－1/（1+r）T]
2.久期性质
1）零息债息债久期=到期期限,有息债久期<到期期限
2）距到期日时间一定时,息票率越低,其久期越长,
3）当息票率一定时,久期随距到期日时间延长而延长
4）其它因素不变,到期收益率越低,其久期越长,
3．久期与债券价格变化关系
1=
/
=
=—
2×
例:
乙债券,
1为10年,到期收益率8%,现市价1000元.如r由8%上升到9%,市价为多少?
=
=－10×（（0.09－0.08）/1+0.08=－9.26%
=－10×（（0.09－0.08）/1+0.08×1000=－92.6元
P＋
=1000－92.6=907.4元
4．债券凸性
（1）凸性定义；价格收益曲线弯曲度量值
价格
实际价格
PA
凸性
估计价格
r收益率
图中切线表示为：
p（r+
）=p（r）+（dp/dr）
因dp/dr=—
2×p（r）
故：
p（r+
）=p（r）—
2×p（r）
—
2×p（r）为曲线的斜率，斜率与修正久期关联。
当收益率变化很小时，实际价格与估计价格差异小，当收益率变化扩大时，差异变大。
且切线永远位于曲线下方（含期权债券例外）。
用久期估算的价格是对实际价格的低估。
所以引入凸性提高精确度。
根据泰勒二级展开式得：
dp=（dp/dr）dr+1/2（d2p/dr2）
对P=
二次求导得:
d2p/dr2=
:
令G=（d2p/dr2）/p=
（d2p/dr2）=pGG=（d2p/dr2）/P
所以有:
G=（dp+
2×pdr）÷1/2p（dr）2
dp=－
2×pdr+1/2Gp（dr）2
G=债券凸性（单位为期间平方）,永远为正值.（含期权债券例外）,式中第二项表示凸性对债券价格估算的修正.
以期间为单位的凸性转换成以年为单位用下式:
G（以年为单位）=G（以期间为单位,每年m个期间）/m2
A
B
案例1：
10年后到期，息票率10%的债券，其修正久期为7.44，凸性为
68.77，假定利率上升0.5%，利用凸性度计算价格变化
[-100×0.5%×7.44]+[（100×68.77）/2×（0.5%）2]=-3.63
价格下降到：
100-3.63=96.37元
假定利率下降0.5%
[-100×0.5%×7.44]+[（100×68.77）/2×（-0.5%）2]=3.81
价格上升到：
100+3.81=103.81元
案例2：
一个5年到期面值为1000元的债券,每年付息8%,计算得知修正久期
为8.111个半年.凸性为80.7平方半年.
下表为根据收益率计算的债券实际价格与用久期与凸性估算的债券价格,考虑凸性后的估算误差显著减少.
图中,债券A和债券B具有同样的到期收益率和久期,但债券A的凸性小于债券B.
当利率升高时,投资者在债券B上的价格损失少于债券A。
而当利率下降时,投资者可从债券B的升值中获得更多的回报。
很明显债券B的投资价值高于债券A.
在有效成熟的市场中,凸性的这种价值通常会在债券的定价中得以反映。
通过市场价格机制调节,最后使债券A与B的价格与收益率趋于平衡.
5．有效久期与有效凸性
前面假设债券未来现金流确定,且现金流不受利率变化影响,但含期权债券并不如此.如可赎回债券在利率下降一定点后会被赎回,未来现金流不确定,故要引入有效久期与有效凸性计算.
1）有效久期=V－－V＋/2V0（
）
2）久期效果=－久期×
（1%利率变化引起价格变化%）
其中:
V0－原价格;V－利率下跌后价格;V＋利率上升后价格
－利率变化%
3）有效凸性=[P－＋P＋－2P0]/2P0×（
）2
4）凸性效果=凸性×（
）2
其中:
P0－原价格P－利率下跌后价格P＋利率上升后价格（
）2－利率变化%平方
（注：
久期效果正负均可，利率下降为正，利率上升为负。
无期权债券凸性永远为正，含期权债券不定）.
5）债券价格变化%=久期效果＋凸性效果
例3:
30年债券,息票率10%,年付息一次,面值1000元.初始r为10%
r下跌1%,债券价格假定为1027.2元,
r上升1%,债券价格假定为977.5元,
有效久期=V－－V＋/2V0（
）
=（1027.2－977.5）/2×1000×0.01=2.485（年）
久期效果=－久期×
=－2.485×0.01=0.02485
即r变化1%,债券价格变化2.485%
有效凸性=[P－＋P＋－2P0]/2P0×（
）2
=（1027.2＋977.5－2×1000）/2×1000×0.012
=23.5
凸性效果=凸性×（
）2
=23.5×0.012
=0.00235=0.235%,
债券价格变化%=久期效果＋凸性效果
=2.485%＋0.235%,
=2.72%
即利率变化1%,债券价格变化2.72%
二.在非利息支付日债券定价
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