高中数学公式及结论大全.docx

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高中数学公式及结论大全

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xÎAÛxÏCUA,xÎCUAÛxÏA.2.德摩根公式

CU（AIB）=CUAUCUB;CU（AUB）=CUAICUB.

3.包含关系

AIB=AÛAUB=BÛAÍBÛCUBÍCUAÛAICUB=FÛCUAUB=R

4.容斥原理

card（AUB）=cardA+cardB-card（AIB）

card（AUBUC）=cardA+cardB+cardC-card（AIB）

-card（AIB）-card（BIC）-card（CIA）+card（AIBIC）.

nnn

5．集合{a1,a2,L,an}的子集个数共有2个；真子集有2–1个；非空子集有2–1个；非空的真子集

有2–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

（1）一般式f（x）=ax+bx+c（a¹0）;

（2）顶点式f（x）=a（x-h）+k（a¹0）;（3）零点式f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a¹0）.7.解连不等式N

2

2

n

N

M+NM-Nf（x）-N

Û|f（x）->0Û|<

M-f（x）22

11

>Û.

f（x）-NM-N

8.方程f（x）=0在（k1,k2）上有且只有一个实根,与f（k1）f（k2）<0不等价,前者是后者的一个必要而不是

2

充分条件.特别地,方程ax+bx+c=0（a¹0）有且只有一个实根在（k1,k2）内,等价于f（k1）f（k2）<0,或

k+k2k+k2bb

<-

2a222a

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f（x）=ax+bx+c（a¹0）在闭区间[p,q]上的最值只能在x=-

2

b

处及区间的两端点处取得，具2a

体如下：

（1）当a>0时，若x=-

bb

Î[p,q]，则f（x）min=f（-f（x）max=max{f（p）,f（q）}；2a2a

b

Ï[p,q]，f（x）max=max{f（p）,f（q）}，f（x）min=min{f（p）,f（q）}.2a

bb

Î[p,q]，则f（x）min=min{f（p）,f（q）}，若x=-Ï[p,q]，则

（2）当a

f（x）max=max{f（p）,f（q）}，f（x）min=min{f（p）,f（q）}.

x=-

10.一元二次方程的实根分布

依据：

若f（m）f（n）<0，则方程f（x）=0在区间（m,n）内至少有一个实根.设f（x）=x2+px+q，则

ìp2-4q³0ï

（1）方程f（x）=0在区间（m,+¥）内有根的充要条件为f（m）=0或íp；

（2）方程f（x）=0在

ï->mî2

ìf（m）>0ïf（n）>0ïìf（m）=0ìf（n）=0ï2

或í；区间（m,n）内有根的充要条件为f（m）f（n）<0或íp-4q³0或í

af（n）0af（m）0>>îîï

pïm<-

ïî2

ìp2-4q³0ï

.（3）方程f（x）=0在区间（-¥,n）内有根的充要条件为f（m）<0或íp

ï-

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

（1）在给定区间（-¥,+¥）的子区间L（形如[a,b]，（-¥,b]，[a,+¥）不同）上含参数的二次不等式

f（x,t）³0（t为参数）恒成立的充要条件是f（x,t）min³0（xÏL）.

（2）在给定区间（-¥,+¥）的子区间上含参数的二次不等式f（x,t）³0（t为参数）恒成立的充要条件是f（x,t）man£0（xÏL）.

ìa³0

ìa<0ï42

（3）f（x）=ax+bx+c>0恒成立的充要条件是íb³0或í2.

ïc>0îb-4ac<0î

12.真值表

ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论是不是至少有一个都是不都是至多有一个大于不大于至少有n个小于不小于至多有个对所有x，存在某x，成立不成立p或q

对任何x，存在某x，不成立成立p且q

反设词

一个也没有至少有两个

至多有（n-1）个至少有（n+1）个

p且q

p或q

14.四种命题的相互关系

15.充要条件

（1）充分条件：

若pÞq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：

若qÞp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：

若pÞq，且qÞp，则p是q充要条件.

注：

如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性

（1）设x1×x2Î[a,b],x1¹x2那么

f（x1）-f（x2）

>0Ûf（x）在[a,b]上是增函数；

x1-x2

f（x1）-f（x2）

（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0Û<0Ûf（x）在[a,b]上是减函数.

x1-x2

（2）设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f¢（x）>0，则f（x）为增函数；如果f¢（x）<0，则f（x）为

（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0Û

减函数.

17.如果函数f（x）和g（x）都是减函数,则在公共定义域内,和函数f（x）+g（x）也是减函数;如果函数

y=f（u）和u=g（x）在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y=f[g（x）]是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数y=f（x）是偶函数，则f（x+a）=f（-x-a）；若函数y=f（x+a）是偶函数，则

f（x+a）=f（-x+a）.

20.对于函数y=f（x）（xÎR）,f（x+a）=f（b-x）恒成立,则函数f（x）的对称轴是函数x=个函数y=f（x+a）与y=f（b-x）的图象关于直线x=

a+b

;两2

a+b

对称.2

a

21.若f（x）=-f（-x+a）,则函数y=f（x）的图象关于点（,0）对称;若f（x）=-f（x+a）,则函数

2

y2a的周期函数.

22．多项式函数P（x）=anx+an-1x

n

n-1

+L+a0的奇偶性

多项式函数P（x）是奇函数ÛP（x）的偶次项（即奇数项）的系数全为零.多项式函数P（x）是偶函数ÛP（x）的奇次项（即偶数项）的系数全为零.23.函数y=f（x）的图象的对称性

（1）函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称Ûf（a+x）=f（a-x）

Ûf（2a-x）=f（x）.

（2）函数y=f（x）的图象关于直线x=

a+b

对称Ûf（a+mx）=f（b-mx）2

Ûf（a+b-mx）=f（mx）.

24.两个函数图象的对称性

（1）函数y=f（x）与函数y=f（-x）的图象关于直线x=0（即y轴）对称.

（2）函数y=f（mx-a）与函数y=f（b-mx）的图象关于直线x=（3）函数y=f（x）和y=f

-1

a+b

对称.2m

（x）的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=f（x）的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f（x-a）+b的图象；若将曲线f（x,y）=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f（x-a,y-b）=0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f（a）=bÛf-1（b）=a.

27.若函数y=f（kx+b）存在反函数,则其反函数为y=

1-1

[f（x）-b],并不是y=[fk

-1

（kx+b）,而函数

y=[f

-1

（kx+b）是y=

1

[f（x）-b]的反函数.k

28.几个常见的函数方程

（1）正比例函数f（x）=cx,f（x+y）=f（x）+f（y）,f

（1）=c.

（2）指数函数f（x）=a,f（x+y）=f（x）f（y）,f

（1）=a¹0.

（3）对数函数f（x）=logax,f（xy）=f（x）+f（y）,f（a）=1（a>0,a¹1）.（4）幂函数f（x）=x,f（xy）=f（x）f（y）,f

（1）=a.

（5）余弦函数f（x）=cosx,正弦函数g（x）=sinx，f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），

a

'

x

f（0）=1,lim

x®0

g（x）

=1.x

29.几个函数方程的周期（约定a>0）

（1）f（x）=f（x+a），则f（x）的周期T=a；

（2）f（x）=f（x+a）=0，

1

（f（x）¹0），f（x）1

或f（x+a）=-（f（x）¹0）,

f（x）

1或+=f（x+a）,（f（x）Î[0,1]）,则f（x）的周期T=2a；2

1

（f（x）¹0），则f（x）的周期T=3a；（3）f（x）=1-

f（x+a）

f（x1）+f（x2）

且f（a）=1（f（x1）×f（x2）¹1,0<|x1-x2|<2a），则f（x）的周期T=4a；（4）f（x1+x2）=

1-f（x1）f（x2）

（5）f（x）+f（x+a）+f（x+2a）f（x+3a）+f（x+4a）

=f（x）f（x+a）f（x+2a）f（x+3a）f（x+4a）,则f（x）的周期T=5a；（6）f（x+a）=f（x）-f（x+a），则f（x）的周期T=6a.

或f（x+a）=30.分数指数幂

（1）a

mn

=

（a>0,m,nÎN，且n>1）.

*

（2）a

-mn

=

1a

nmn

（a>0,m,nÎN，且n>1）.

*

31．根式的性质

（1）=a.

（2）当n

=a；当n

=|a|=í32．有理指数幂的运算性质

（1）a×a=a

r

s

r+sìa,a³0

.

a,a0-<î

（a>0,r,sÎQ）.

rsrs

（2）（a）=a（a>0,r,sÎQ）.

rrr

（3）（ab）=ab（a>0,b>0,rÎQ）.

p

注：

若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaN=bÛab=N（a>0,a¹1,N>0）.

34.对数的换底公式

logmN

（a>0,且a¹1,m>0,且m¹1,N>0）.

logma

nn

推论logamb=logab（a>0,且a>1,m,n>0,且m¹1,n¹1,N>0）.

mlogaN=

35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

（1）loga（MN）=logaM+logaN;

（2）loga

M

=logaM-logaN;Nn

（3）logaM=nlogaM（nÎR）.

2

36.设函数f（x）=logm（ax+bx+c）（a¹0）,记D=b-4ac.若f（x）的定义域为R,则a>0，且D<0;若f（x）的值域为R,则a>0，且D³0.对于a=0的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广

2

1

则函数y=logax（bx）a11

（1）当a>b时,在（0,）和（,+¥）上y=logax（bx）为增函数.

aa11

，

（2）当a

aa

若a>0,b>0,x>0,x¹

推论:

设n>m>1，p>0，a>0，且a¹1，则

（1）logm+p（n+p）

（2）logamlogan

2

m+n

.2

x

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y=N（1+p）.39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n=1ìs1,

（数列{an}的前n项的和为sn=a1+a2+L+an）.an=í

îsn-sn-1,n³2

40.等差数列的通项公式

an=a1+（n-1）d=dn+a1-d（nÎN*）；

其前n项和公式为

n（a1+an）n（n-1）

=na1+d

22

d1

=n2+（a1-d）n.22sn=

41.等比数列的通项公式

an=a1qn-1=

a1n

×q（nÎN*）；q

其前n项的和公式为

ìa1（1-qn）

q¹1ï

sn=í1-q

ïna,q=1î1

ìa1-anq

q¹1ï

或sn=í1-q.

ïna,q=1î1

42.等比差数列{an}:

an+1=qan+d,a1=b（q¹0）的通项公式为

ìb+（n-1）d,q=1ï

；an=íbqn+（d-b）qn-1-d,q¹1ïq-1î

其前n项和公式为

ìnb+n（n-1）d,（q=1）

ï

.sn=íd1-qnd

（b-+n,（q¹1）ï1-qq-11-qî

43.分期付款（按揭贷款）

ab（1+b）n

每次还款x=元（贷款a元,n次还清,每期利率为b）.n

（1+b）-1

44．常见三角不等式

（1）若xÎ（0,

（2）若xÎ

（0,

p

2

，则sinx

p

2

（3）|sinx|+|cosx|³1.

，则1

sin2+cos2=1，tan=

sin

，tan×cot=1.cos

46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

n

ì

npï（-1）2sina,

sin（+a）=ín-1

2ï（-1）2cosa,

î

n

ì

npï（-1）2cosa,

+a）=ícos（n+12ï（-1）2sina,

î

47.和角与差角公式

sin（a±b）=sinacosb±cosasinb;

cos（a±b）=cosacosbmsinasinb;

tana±tanb

.tan（a±b）=

1mtanatanb

sin（a+b）sin（a-b）=sin2a-sin2b（平方正弦公式）;cos（a+b）cos（a-b）=cos2a-sin2b.

asina+

bcosaa+j）（辅助角j所在象限由点（a,b）的象限决定,tanj=

48.二倍角公式

b）.a

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

2tana

.tan2a=2

1-tana

49.三倍角公式

sin3=3sin-4sin3=4sinsin（-）sin（+）.

33cos3=4cos3-3cos=4coscos（-）cos（+）333tan-tan3pp

tan3==tantan（-）tan（+）.2

1-3tan33

50.三角函数的周期公式

x∈R及函数y=cos（wx+j），x∈R（A,ω,j为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=函数y=sin（wx+j），函数y=tan（wx+j），x¹kp+

51.正弦定理

pp

pp

.

2p

w

；

p

2

kÎZ（A,ω,j为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=

p

.w

abc

===2R.sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.

53.面积定理

111

aha=bhb=chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.222111

（2）S=absinC=bcsinA=casinB.

222

（1）S=

（3）SDOAB

.=54.三角形内角和定理

在△ABC中，有A+B+C=pÛC=p-（A+B）

Û

CpA+B

Û2C=2p-2（A+B）.=-

222

k

55.简单的三角方程的通解

sinx=aÛx=kp+（-1）arcsina（kÎZ,|a|£1）.cosx=aÛx=2kp±arccosa（kÎZ,|a|£1）.

tanx=aÞx=kp+arctana（kÎZ,aÎR）.

特别地,有

sina=sinbÛa=kp+（-1）kb（kÎZ）.

cosa=cosbÛa=2kp±b（kÎZ）.

tana=tanbÞa=kp+b（kÎZ）.

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a（|a|£1）ÛxÎ（2kp+arcsina,2kp+p-arcsina）,kÎZ.

sinxa（|a|£1）ÛxÎ（2kp-arccosa,2kp+arccosa）,kÎZ.

cosx

tanx>a（aÎR）ÞxÎ（kp+arctana,kp+

p

2

kÎZ.

tanx

p

2

kp+arctana）,kÎZ.

57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么

（1）结合律：

λ（μa）=（λμ）a;

（2）第一分配律：

（λ+μ）a=λa+μa;（3）第二分配律：

λ（a+b）=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：

（1）a·b=b·a（交换律）;

（2）（la）·b=l（a·b）=la·b=a·（lb）;（3）（a+b）·c=a·c+b·c.59.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示

设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），且b¹0，则a󰀀b（b¹0）Ûx1y2-x2y1=0.53.a与b的数量积（或内积）a·b=|a||b|cosθ．61.a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平面向量的坐标运算

（1）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a+b=（x1+x2,y1+y2）.

uuuruuuruuur

（3）设A（x1,y1），B（x2,y2）,则AB=OB-OA=（x2-x1,y2-y1）.

（4）设a=（x,y）,lÎR，则la=（lx,ly）.

（2）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a-b=（x1-x2,y1-y2）.

（5）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a·b=（x1x2+y1y2）.

63.两向量的夹角公式

cos=

（a=（x1,y1）,b=（x2,y2））.

64.平面两点间的距离公式

uuur

d

A,B=|AB|=

=（A（x1,y1），B（x2,y2））.

65.向量的平行与垂直

设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），且b¹0，则A||bÛb=λaÛx1y2-x2y1=0.a^b（a¹0）Ûa·b=0Ûx1x2+y1y2=0.66.线段的定比分公式

uuuruuur

=lPP2，则设P11（x1,y1），P2（x2,y2），P（x,y）是线段PP12的分点,l是实数，且PP

x1+lx2ìuuuruuurx=ïuuurOPï1+l1+lOP2

OP=Ûí

yly+1+l2ïy=1

ï1+lî

uuuruuuruuur1

tÛOP=tOP+（1-t）OP（=）.12

1+l

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）,则△ABC的重心的坐标是

G（

x1+x2+x3y1+y2+y3

）.33

68.点的平移公式

''uuuruuuruuur'ììïx=x+hïx=x-h'

ÛíÛOP=OP+PP.í''

ïïîy=y+kîy=y-k

'

uuur

'

注:

图形F上的任意一点P（x，y）在平移后图形F上的对应点为P（x,y），且PP的坐标为（h,k）.

'

'

'

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P（x,y）按向量a=（h,k）平移后得到点P（x+h,y+k）.

（2）函数y=f（x）的图象C按向量a=（h,k）平移后得到图象C,则C的函数解析式为y=f（x-h）+k.（3）图象C按向量a=（h,k）平移后得到图象C,若C的解析式y=f（x）,则C的函数解析式为

'

'

'

'

'

y=f（x+h）-k.

''

（4）曲线C:

f（x,y）=0按向量a=（h,k）平移后得到图象C,则C的方程为f（x-h,y-k）=0.（5）向量m=（x,y）按向量a=（h,k）平移后得到的向量仍然为m=（x,y）.

uuur2uuur2uuur2

（1）O为DABC的外心ÛOA=OB=OC.

uuuruuuruuurr

（2）O为DABC的重心ÛOA+OB+OC=0.

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

（3）O为DABC的垂心ÛOA×OB=OB×OC=OC×OA.

uuuruuuruuurr

（4）O为DABC的内心ÛaOA+bOB+cOC=0.

uuuruuuruuur

（5）O为DABC的ÐA的旁心ÛaOA=bOB+cOC.

71.常用不等式：

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为DABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

（1）a,bÎRÞa+b³2ab（当且仅当a＝b时取“=”号）．

2

2

a+b

³（当且仅当a＝b时取“=”号）．2

333

（3）a+b+c³3abc（a>0,b>0,c>0）.

（2）a,bÎ

RÞ

+

（4）柯西不等式

（a2+b2）（c2+d2）³（ac+bd）2,a,b,c,dÎR.

（5）a-£a+b£a+b.72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2p；

（2）若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值推广已知x,yÎR，则有（x+y）=（x-y）+2xy

（1）若积xy是定值,则当|x-y|最大时,|x+y|最大；当|x-y|最小时,|x+y|最小.

（2）若和|x+y|是定值,则当|x-y|最大时,|xy|最小；当|x-y|最小时,|xy|最大.

73.一元二次不等式ax+bx+c>0（或<0）（a¹0,D=b-4ac>0），如果a与ax+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：

同号两根之外，异号两根之间.

x1

2

2

2

12s.4

22

2

xx2Û（x-x1）（x-x2）>0（x1

74.含有绝对值的不等式当a>0时，有

x

2

x>aÛx2>a2Ûx>a或x<-a.

75.无理不等式

ìf（x）³0ï

.

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76.指数不等