函数值域的十五种求法Word文件下载.docx

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两边平方整理得：

（1）

解得：

但此时的函数的定义域由

，得

由

，仅保证关于x的方程：

在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程

（1）有实根，由?

求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为

。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

代入方程

（1）

即当

时，

原函数的值域为：

注：

由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4.反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4.求函数

值域。

由原函数式可得：

则其反函数为：

，其定义域为：

故所求函数的值域为：

5.函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例5.求函数

，可化为：

即

故函数的值域为

6.函数单调性法

例6.求函数

令

则

在[2，10]上都是增函数

所以

在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

例7.求函数

原函数可化为：

，显然

在

上为无上界的增函数

，

上也为无上界的增函数

所以当x=1时，

有最小值

，原函数有最大值

显然y>

0，故原函数的值域为

7.换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作?

例8.求函数

因

故可令

故所求函数的值域为

例9.求函数

原函数可变形为：

可令

，则有

当

而此时

有意义。

例10.求函数

，则

且

可得：

∴当

，当

例11.求函数

，可得

8.数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

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原函数可化简得：

y=|x-2|+|x+8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A

（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>

|AB|=10

例13.求函数

上式可看成x轴上的点P（x,0）到两定点A（3,2）,B（-2,-1）的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

例14.求函数

将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2,1）到点P（x,0）的距离之差。

即：

y=|AP|-|BP|

由图可知：

（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'

，则构成△ABP'

，根据三角形两边之差小于第三边，有

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：

例13的A，B两点坐标分别为：

（3，2），（-2,-1），在x轴的同侧；

例14的A，B两点坐标分别为（3，2），（2,-1），在x轴的同侧。

9.不等式法

利用基本不等式

，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例15.求函数

原函数变形为：

当且仅当tanx=cotx

时，等号成立

故原函数的值域为：

例16.求函数y=2sinxsin2x的值域。

y=4sinxsinxcosx

当且仅当

，即当

时，等号成立。

10.映射法

原理：

因为

在定义域上x与y是一一对应的。

故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例17.求函数

∵定义域为

得

故

或

解得

11．最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f（x）,可求出y=f（x）在区间[a,b]内的极值,并与边界值f（a）.f（b）作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：

根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

，上述分式不等式与不等式

同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得

（-1≤x≤3/2）,

且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=－5；

当x=3/2时，z=15/4。

∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：

本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。

对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

12.构造法

13.根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

14.例19.求函数

15.点拨：

将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

16.解：

原函数变形为

17.作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。

设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,

。

18.由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。

当A、K、C三点共线时取等号。

19.∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

20.点评：

对于形如函数

（a,b,c均为正数），均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。

这是数形结合思想的体现。

13．比例法

14．对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

15．例20.已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数

16．点拨：

将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

17．解：

由3x-4y-5=0变形得，（x3）/4=（y-1）/3=k（k为参数）

18．∴x=3+4k,y=1+3k,

19．∴

20．当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，

21．函数的值域为｛z|z≥1｝.

22．点评：

本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

23．

24．利用多项式的除法

25．例21.求函数y=（3x+2）/（x+1）的值域。

26．点拨：

将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

27．解：

y=（3x+2）/（x+1）=3－1/（x+1）。

28．∵1/（x+1）≠0，故y≠3。

29．∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

30．点评：

对于形如y=（ax+b）/（cx+d）的形式的函数均可利用这种方法。

31．

15.多种方法综合运用

例22.求函数

（1）当t>

0时，

，当且仅当t=1，即x=-1时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

先换元，后用不等式法

例23.求函数

此时

都存在，故函数的值域为

此题先用换元法，后用配方法，然后再运用

的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。