ARCH模型和GARCH模型yukzWord格式文档下载.docx
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滞后的残差平方
由于εt2的非负性,对i应有如下约束,
ω>
0,i0,i=1,2,…q
当全部i=0,i=1,2,…,q时,条件方差t2=ω。
因为方差是非负的,所以要求ω>
0。
3、ARCH模型的平稳性条件
为保证t2是一个平稳过程,
(2)式的特征方程
1-1L-2L2-…-qLq=0
的根都应在单位圆之外。
对i,i=1,2,…,q的另一个约束是
01+2+…+q<
1
对
(2)式求期望,
t2=ω+1E(εt-12)+2E(εt-22)+…+qE(εt-q2)
=ω+1t-12+2t-22+…+qt-q2
当T时,2=ω+12+22+…+q2
则无条件方差
可见若保证t2是一个平稳过程,应该有约束
0(1+2+…+q)<
1。
因为Var(yt)=Var(εt)=t2,所以上式可以用来预测yt的方差。
综上所述,ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有
1)1-1L-2L2-…-qLq=0的根都应在单位圆之外。
2)01+2+…+q<
1
为使模型能够成立还需要满足ω>
0,i0,i=1,2,…q
例1ARCH
(1)模型中参数
的含义:
当
时,
时,退化为传统情形,
4、ARCH效应检验
ARCHLMTest:
拉格朗日乘数检验
建立辅助回归方程
此处
是回归残差。
原假设:
H0:
序列不存在ARCH效应
即H0:
可以证明:
若H0为真,则
此处,m为辅助回归方程的样本个数。
R2为辅助回归方程的确定系数。
Eviews操作:
①先实施多元线性回归
②view/residual/Tests/ARCHLMTest
2、ARCH模型的实证分析
从收盘价,得到收益率数据序列。
seriesr=log(p)-log(p(-1))
点击序列p,然后view/linegraph
1、检验是否有ARCH现象。
首先回归。
取2000到2254的样本。
输入lsrc,得到
DependentVariable:
R
Method:
LeastSquares
Date:
10/21/04Time:
21:
26
Sample:
20002254
Includedobservations:
255
Variable
Coefficient
Std.Error
t-Statistic
Prob.
C
0.000432
0.001087
0.397130
0.6916
R-squared
0.000000
Meandependentvar
AdjustedR-squared
S.D.dependentvar
0.017364
S.E.ofregression
Akaikeinfocriterion
-5.264978
Sumsquaredresid
0.076579
Schwarzcriterion
-5.251091
Loglikelihood
672.2847
Durbin-Watsonstat
2.049819
问题:
这样进行回归的含义是什么?
其次,view/residualtests/ARCHLMtest,得到
ARCHTest:
F-statistic
5.220573
Probability
0.000001
Obs*R-squared
44.68954
0.000002
TestEquation:
RESID^2
27
Sample(adjusted):
20102254
245afteradjustingendpoints
0.000110
5.34E-05
2.060138
0.0405
RESID^2(-1)
0.141549
0.065237
2.169776
0.0310
RESID^2(-2)
0.055013
0.065823
0.835766
0.4041
RESID^2(-3)
0.337788
0.065568
5.151697
0.0000
RESID^2(-4)
0.026143
0.069180
0.377893
0.7059
RESID^2(-5)
-0.041104
0.069052
-0.595260
0.5522
RESID^2(-6)
-0.069388
0.069053
-1.004854
0.3160
RESID^2(-7)
0.005617
0.069178
0.081193
0.9354
RESID^2(-8)
0.102238
0.065545
1.559806
0.1202
RESID^2(-9)
0.011224
0.065785
0.170619
0.8647
RESID^2(-10)
0.064415
0.065157
0.988613
0.3239
0.182406
0.000305
0.147466
0.000679
0.000627
-11.86836
9.19E-05
-11.71116
1464.875
F-statistic
Durbin-Watsonstat
2.004802
Prob(F-statistic)
得到什么结论?
2、模型定阶:
如何确定q
实施ARCHLMtest时,取较大的q,观察滞后残差平方的t统计量的p-value即可。
此处选取q=3。
因此,可以对残差建立ARCH(3)模型。
3、ARCH模型的参数估计
参数估计采用最大似然估计。
具体方法在GARCH一节中讲解。
如何实施ARCH过程:
由于存在ARCH效应,所以点击estimate,在method中选取ARCH
得到如下结果
ML-ARCH
48
Convergenceachievedafter13iterations
z-Statistic
-0.000640
0.000750
-0.852888
0.3937
VarianceEquation
9.24E-05
1.66E-05
5.569337
ARCH
(1)
0.244793
0.082640
2.962142
0.0031
ARCH
(2)
0.081425
0.077428
1.051624
0.2930
ARCH(3)
0.457883
0.109698
4.174043
-0.003823
-0.019884
0.017535
-5.495982
0.076872
-5.426545
705.7377
2.042013
为了比较,观察将q放大对系数估计的影响
54
Convergenceachievedafter16iterations
-0.000601
0.000751
-0.799909
0.4238
9.38E-05
1.60E-05
5.880741
0.262009
0.090256
2.902959
0.0037
0.041930
0.070518
0.594596
0.5521
0.452187
0.108488
4.168076
ARCH(4)
-0.021920
0.050982
-0.429956
0.6672
ARCH(5)
0.037620
0.044394
0.847408
0.3968
-0.003550
-0.027830
0.017603
-5.483292
0.076851
-5.386081
706.1198
2.042568
观察:
说明q选取为3确实比较恰当。
4、ARCH模型是对的吗?
如果ARCH模型选取正确,即回归残差的条件方差是按规律变化的,那么标准化残差就会服从标准正态分布,即不会有ARCH效应了。
对q为3的ARCH模型做LMtest,发现没有了ARCH效应。
注意,虽然是同一个检验名称,但是ARCH过程后是对标准化残差进行检验。
注意观察被解释变量或者依赖变量是什么?
0.238360
0.992099
2.470480
0.991299
STD_RESID^2
56
1.102371
0.264990
4.160043
STD_RESID^2(-1)
-0.038545
0.065360
-0.589741
0.5559
STD_RESID^2(-2)
-0.003804
0.065308
-0.058252
0.9536
STD_RESID^2(-3)
-0.057313
0.065303
-0.877649
0.3810
STD_RESID^2(-4)
-0.010325
0.065277
-0.158169
0.8745
STD_RESID^2(-5)
0.003537
0.065280
0.054185
0.9568
STD_RESID^2(-6)
-0.007420
0.065274
-0.113670
0.9096
STD_RESID^2(-7)
0.063317
0.065264
0.970165
0.3330
STD_RESID^2(-8)
-0.012167
0.065293
-0.186340
0.8523
STD_RESID^2(-9)
-0.010653
0.065278
-0.163194
0.8705
STD_RESID^2(-10)
-0.020211
0.065228
-0.309845
0.7570
0.010084
1.007544
-0.032221
2.112747
2.146514
4.409426
1078.160
4.566625
-529.1546
2.000071
方程整体是不显著的。
还可以观察标准化残差
ARCH建模以后,procs/makeresidualseries/可以产生残差
和标准化残差
,以下分别是残差和标准化残差。
可以看出没有了集群现象。
还可以观察波动率(条件方差)的图形。
对比r和残差的图形,发现条件方差的起伏与波动率的大小一致。
ARCH建模以后,procs/makegarchvarianceseries/得到
结论:
ARCH模型确实很好描述了股票市场收益率的波动性。
可以观察系数之和小于1,满足平稳性条件。
3、GARCH模型
ARCH(q)模型是关于t2的分布滞后模型。
为避免εt2的滞后项过多,可采用加入t2的滞后项的方法,此方法是Bollerslov(1986)提出的GARCH模型(GeneralizedARCH),主要就是针对q较大的情形
1、模型定义
条件方差方程
✓均值
过去的条件方差(也即预测方差,forecastvariance)
注意:
均值方程中若没有解释变量(即只有常数,如RC),则R2没有直观定义了,因此可为负)
例2GARCH(1,1)Model
标准的GARCH(1,1)描述为:
(a)
(b)
(a)式是均值的方程,带误差项的外生变量的函数。
因为
是基于过去信息的一步向前预测方差,所以称为条件方差。
条件方差的方程有三项。
是均值项;
;
在GARCH(1,1)的(1,1)表明有1阶GARCH项和1阶ARCH项。
一个ARCH模型是GARCH模型的特殊情况,即当条件方差的方程中没有条件方差的滞后项时,即:
(c)
(d)
如果对
(2)式右边进行迭代。
可以有
…
这说明GARCH(1,1)的条件方差是以前的所有随机干扰项平方的加权和与共同部分
构成。
令
将其代入(b)得,
由此可见,残差平方服从一个ARMA(1,1)过程。
自回归因子的根为
,如果
接近1,则冲击是长久的。
2、GARCH(p,q)模型的稳定性条件
计算扰动项的无条件方差:
从上式可推出稳定条件:
0
为使模型有意义,系数还需要满足下面两条
1)ω>
0,i0,i=1,2,…q,
2)βi0,j=1,2,…p
3、GARCH模型的参数估计
采用极大似然估计GARCH模型的参数。
下面以GARCH(1,1)为例。
由GARCH(1,1)模型
可以得到yt的分布为
由正态分布的定义公式,得到yt的pdf为
第t个观察样本的对数似然函数值为
注意yi和yj之间不相关,因而是独立的。
似然函数为
取对数就得到了所有样本的对数似然函数。
其中条件方差项以非线性方式进入似然函数,所以不得不使用迭代算法求解。
4、模型的选择
两条原则:
1)若ARCH(q)中q太大,比如q大于7时,则选择GARCH(p,q)
2)使用AIC和SC准则,选择最优的GARCH模型
3)对于金融时间序列,一般选择GARCH(1,1)就够了。
回顾AIC和SC定义:
1)AIC准则(Akaikeinformationcriterion)
AIC越小越好,结合如下两者:
K(自变量个数)减少,模型简洁
LnL增加,模型精确
2)SC准则(Schwazcriterion)
习题1:
通货膨胀率有ARCH效应吗?
GreeneP572
点击数据文件usinf_greene_p572。
进行回归
lsinflationcinflation(-1)
INFLATION
11/19/04Time:
10:
37
19411985
45afteradjustingendpoints
2.432859
0.816345
2.980184
0.0047
INFLATION(-1)
0.493213
0.131157
3.760466
0.0005
0.247477
4.740000
0.229976
4.116784
3.612519
5.450114
561.1625
5.530410
-120.6276
14.14110
1.612442
0.000507
检验ARCH效应
0.215950
0.953308
1.231192
0.941850
1