第7章截面几何性质答案Word文档下载推荐.docx

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（1）概念与性质

重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。

对均质物体，重心与形心位置重合。

若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。

（2）计算

形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。

其中，常用的是代数形式的计算公式：

（1）定义：

分为代数式和积分式两种形式

有限式：

几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。

积分式：

几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；

所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。

（2）面积静矩的重要性质：

若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；

反之亦然。

也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。

（3）计算

根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。

（1）定义

点对轴的惯性矩：

点对点的极惯性矩

图形对轴的惯性矩

图形对点的惯性矩

若

是某一图形对直角坐标系

中两轴的惯性矩，

是对该坐标系原点O的极惯性矩。

则：

（4）惯性矩的平行轴定理：

几何图形对任意轴的惯性矩，等于对与该轴平行、且过形心的轴的惯性矩与两轴之间距离的平方与图形面积之积的和。

（太长了，慢慢读）即：

（5）组合图形对过图形形心轴的惯性矩的计算方法。

第1步：

将图形分割为几个简单图形，按形心计算公式求出总的形心位置。

第2步：

利用平行轴定理，计算各简单图形对过总形心轴的惯性矩。

第3步：

将各简单图形对同一轴的惯性矩求和。

4.惯性积、形心主轴的概念

惯性积与主轴是对一个平面直角坐标系而言的。

惯性积的值可为：

正、负或零。

当

时，对应的坐标轴

称为主轴，对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

当坐标原点在形心时，对应的坐标轴称为形心主轴；

对应的惯性矩称为形心主惯性矩。

两个主惯性矩分别是过该点的所有惯性矩的最大值与最小值。

思考题与习题

7-1．如图所示T形截面，C为形心，z为形心轴，问z轴上下两部分对z轴的静矩存在什么关系？

答：

大小相等，正负号相反（上面的静矩为正）。

7-2．如图所示矩形截面m-m以上部分对形心轴z的静矩和m-m以下部分对形心轴z的静矩有何关系？

同上。

7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？

为什么它们的值有的恒为正？

有的可正、可负、还可为零？

答:

定义在主要内容中所详细说明。

由定义可知，它们分别是面积元与坐标的函数的积的定积分。

面积元为正，坐标可能为正、负、零。

所以惯性积，可为正、负、零。

而（极）惯性矩是面积与坐标平方的积，恒为正，所以它们的积分也为正。

7-4．图a所示矩形截面，若将形心轴z附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图b，问此截面对z轴的惯性矩有何变化？

为什么？

惯性矩为变大。

因为点到轴的距离越远越惯性矩越大，b）图离轴远的点更多。

7-5．图示直径为D的半圆，已知它对z轴的惯性矩

，则对z1轴的惯性矩如下计算是否正确？

不对。

平行移轴公式

中，

的轴必须是过形心且与z平行的轴。

7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系？

惯性半径iz是否就是图形形心到该轴的距离？

1.惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：

。

惯性半径不是图形形心到该轴的距离。

2.不是，由上式可以看出惯性半径恒大于零，图形形心到该轴的距离可以等于零。

（什么时候？

）

7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为

轴，试计算对

z1轴的静矩。

解：

a）

b）

或

c）

7-8．如图7—20所示截面图形，求

（1）形心C的位置；

（2）阴影部分对z轴的静矩。

1.求形心C的位置。

形心在y轴上，设到底边的距离为

。

2.阴影部分对z轴的静矩

若利用图形对形心轴的静矩为零的性质，可以计算上半部分的静矩，取相反数，更简单。

即

7-9．计算图示矩形截面对其形心轴z的惯性矩；

已知b=150mm，h=300mm。

如按图中虚线所示，将矩形截面的中间部分移至两边缘变成工字形，计算此工字形截面对z轴的惯性矩，并求出工字形截面的惯性矩较矩形截面的惯性矩增大的百分比。

1.矩形惯性矩

2.工字形惯性矩

或用负面积法

3.计算增大的百分比p。

7-10．计算图示各图对形心轴zc、yc的惯性矩。

a）图

b）图

7-11．计算图示图形对其形心轴z的惯性矩。

解1.计算形心轴到顶边的距离d。

2.计算对形心轴z的惯性矩。

7-12．计算图所示组合图形对形心主轴的惯性矩。

由型钢表可查得。

单个参数如下：

面积

形心到边的距离

对平行于边且过形心的轴的惯性矩

由于

是对称轴，且

过形心，根据形心主轴的性质可知

、

是形心主轴。

7-13．要使图示两个№10工字钢组成的截面对两个形心主轴的惯性矩相等，求距离a的值。

查表得对单个工字钢：

对两个工字钢

要使截面对两个形心主轴的惯性矩相等，即：

解得：

补充与拓展

1.三角形的形心位置的讨论

三角形的形心在顶点与边中点连线的交点上，其到边的垂直距离为高的

下面介绍另一种常见情况，形心到底边一角的水平距离。

注意：

对于钝角三角形是：

推导方法一：

按

计算形心到E的水平距离，再减去a。

推导方法二：

用

代替a代入到锐角三角形的公式中即可。

2.梯形的形心位置

梯形也是常见的形状之，下面给出其形心位置公式。

1）形心到底的距离

用AE将其分为两个三角形计算。

公式记忆技巧：

三角形到底的公式乘以一个系数，1加远端底与两底和之比。

2）形心到底角的垂直距离

依然用AE将其分为两个三角形计算。

其中，

形心到B的垂直距离是

这个公式并不好记忆。

对于以后用的比较多的直角梯形可化简为：

【前面所有公式推导过程中，三角形面积前的

都没有写。

只是为了省事，非正式的过程中，可以这样做，最后结果不变】

2.关于公式与定理的学习

公式与定理是力学学习中不可回避的重要部分。

这是我们学习的重点过程中的重点。

提高这部分内容的学习效率，对整个力学的学习有很大的帮助。

大家一定有很多这方面学习的经验，下面我们从另一个角度介绍一下这部分内容学习的一个方法。

其基本原理是建立在，“公式是符号化的定理，定理是文字化的公式”。

这一命题上的。

例子1：

用全中文文字述说

所有的力对某一点之矩的代数和等于零。

例子2：

所有的力分别对不同的三点之矩求代数和，其值都等于零。

3.坐标旋转变换

设

某一平面内的一个直角坐标系，将

整体绕其坐标原点O旋转角度

，得新的坐标系

某点A在坐标系中

的坐标为，

试求，A点在新坐标系

中的坐标

（1）如图所示，过点A分别作4个坐标轴的垂线得到4个交点，B、C、D、E。

，

；

过C作

的平行线与

交于M。

将DA向边延长线分别与MC交于N、与

交于P。

由几何与三角函数关系可得：

坐标旋转变换公式：

（2）坐标旋转逆变换公式

在坐标旋转变换公式中，

得

4.惯性矩和惯性积的转轴公式

将坐标旋转公式代入到惯性矩及惯性积公式中，可以得到转轴公式

由转轴公式可知

时，

说明对任意一点都存在主轴。

（注：

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