人教版九年级上册第22章 《二次函数》培优练习文档格式.docx

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二．填空题

11．若函数y＝x2﹣2

x+1图象与直线

有两个交点，则b为　　．

12．若二次函数y＝ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点（﹣3，0），则二次函数解析式为：

　　．

13．如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是　　．

14．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　．

15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①b2＞4ac；

②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；

③a＞

；

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x≤3；

⑤当x＞0时，y随x增大而增大．

上述五个结论中正确的有　　（填序号）

三．解答题

16．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．

17．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：

y＝﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．

（1）求二次函数的解析式，对称轴，顶点坐标；

（2）画二次函数的图象并标出图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．

19．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：

y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．

（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

每月的最大利润是多少？

（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？

（成本＝进价×

销售量）

20．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

（3）在

（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？

若存在，求出Q点的坐标；

（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

参考答案

1．解：

A、y＝x+

是一次函数，此选项错误；

B、y＝3（x﹣1）2是二次函数，此选项正确；

C、y＝ax2+bx+c不是二次函数，此选项错误；

D、y＝

+3x不是二次函数，此选项错误；

故选：

B．

2．解：

y＝x2﹣6x+4＝（x﹣3）2﹣5，

故抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是：

（3，﹣5）．

3．解：

y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．

4．解：

∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），

∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除D；

当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A；

当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；

5．解：

二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是：

y＝2（x﹣3+6）2+2﹣2，即y＝2x2+12x+18．

6．解：

建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），

设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，

∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，

当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：

﹣2.5＝﹣0.5x2+2，

解得：

x＝±

3，

2×

3﹣4＝2，

所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．

7．解：

y＝﹣3x2+6x＝﹣3（x2﹣2x）＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1）＝﹣3（x﹣1）2+3

D．

8．解：

∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，

∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，

即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．

9．解：

∵y＝2x2﹣bx+1，

∴对称轴为x＝

，

∵当x＜1时，y随x的增大而减小，

∴

≥1，

∴b≥4，

10．解：

∵二次函数的图象开口向上，

∴a＞0，

∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＜0，

∵二次函数的对称轴在y轴的右边，

∴﹣

＞0，

＜0，

∵a＞0，

∴b＜0，

二．填空题（共5小题）

11．解：

将y＝x2﹣2

x+1和

组成方程组得，

整理得，x2﹣

x+1﹣b＝0，

∵

两函数有两个交点，

∴△＞0，

∴（﹣

）2﹣4（1﹣b）＞0，

解得b＞﹣

故答案为b＞﹣

．

12．解：

抛物线的对称轴为直线x＝﹣

＝﹣2，

所以抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），

设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4，

把（﹣3，0）代入得a•（﹣3+2）2+4＝0，解得a＝﹣4，

所以抛物线解析式为y＝﹣4（x+2）2+4．

故答案为y＝﹣4（x+2）2+4．

13．解：

∵y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，

∴k﹣3≠0，

k≠3，

∴k需满足的条件是：

故答案为：

k≠3．

14．解：

令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，

即x2﹣4x+3＝0，

解得x＝1或3，

则点A（1，0），B（3，0），

由于将C1向右平移2个长度单位得C2，

则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），

当y＝x+m1与C2相切时，

令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，

即2x2﹣15x+30+m1＝0，

△＝﹣8m1﹣15＝0，

解得m1＝﹣

当y＝x+m2过点B时，

即0＝3+m2，

m2＝﹣3，

当﹣3＜m＜﹣

时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，

故答案是：

﹣3＜m＜﹣

15．解：

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），

∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；

∵x＝﹣

＝1，即b＝﹣2a，

而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，

∴a+2a+c＝0，

∴3a+c＝0，即a＝﹣

，所以③错误；

∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），

∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；

∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤错误．

故答案为①②．

三．解答题（共5小题）

16．解：

（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，

，解得

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，

∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，

∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，

当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，

∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．

17．解：

（1）w＝（x﹣30）•y

＝（﹣x+60）（x﹣30）

＝﹣x2+30x+60x﹣1800

＝﹣x2+90x﹣1800，

w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；

（2）根据题意得：

w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，

∵﹣1＜0，

当x＝45时，w有最大值，最大值是225．

（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，

解得x1＝40，x2＝50，

∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，

答：

该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．

18．解：

（1）把A（2，0），B（0，﹣1），C（4，5）代入得：

则二次函数解析式为y＝

x2﹣

x﹣1＝

（x﹣

）2﹣

，即对称轴为直线x＝

，顶点坐标为（

，﹣

）；

（2）如图所示：

y＝

x﹣1，令y＝0，得到

x﹣1＝0，

x＝2或x＝﹣1，

则D（﹣1，0）．

19．解：

（1）由题意，得：

w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，即w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）

（2）对于函数w＝﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线

又∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．

∴当20≤x≤32时，W随着x的增大而增大，

∴当x＝32时，W＝2160

当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．

（3）取W＝2000得，﹣10x2+700x﹣10000＝2000

解这个方程得：

x1＝30，x2＝40．

∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．

∴当30≤x≤40时，w≥2000．

∵20≤x≤32

∴当30≤x≤32时，w≥2000．

设每月的成本为P（元），由题意，得：

P＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000

∵k＝﹣200＜0，

∴P随x的增大而减小．

∴当x＝32时，P的值最小，P最小值＝3600．

想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．

20．解：

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），

∴所求抛物线解析式为：

y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如答图1，

∵抛物线解析式为：

y＝﹣x2﹣2x+3，

∴其对称轴为x＝

＝﹣1，

∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），M（﹣1，0）

∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝

∴P点坐标为：

P1（﹣1，

∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±

P2（﹣1，

）或P3（﹣1，﹣

∴当CM＝CP时，由勾股定理得：

（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，

P4（﹣1，6）．

综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，

）或P（﹣1，﹣

）或P（﹣1，6）或P（﹣1，

（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：

如答图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．

设直线AC′函数关系式为：

y＝kx+t（k≠0）．

将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得

解得

所以，直线AC′函数关系式为：

y＝﹣x+1．

将x＝﹣1代入，得y＝2，

即：

Q（﹣1，2）；

（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）

∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a

∴S四边形BOCE＝

BF•EF+

（OC+EF）•OF

＝

（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+

（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）

＝﹣

a2﹣

a+

（a+

）2+

∴当a＝﹣

时，S四边形BOCE最大，且最大值为

此时，点E坐标为（﹣

）．