小学五年级奥数讲义学生版30讲全完整资料docWord文件下载.docx
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2÷
3÷
4÷
5÷
6÷
7÷
8÷
9。
4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：
9=2.8。
5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：
□□×
□□□=3634。
6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。
7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。
第2讲数字谜
（二）
这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相
例2在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。
□□□
×
81
□□□
□□□□□
例3左下方的除法竖式中只有一个8，请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立。
□8□
□□□）□□□□□□
□□□□
□□□
□□□
□□□□
□□□□
0
例4在□内填入适当数字，使小数除法竖式成立。
例4图例5图
例5一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式
（1），这个五位数被另一个一位数除得到右上图的竖式
（2），求这个五位数。
练习2
1.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求出abcd及abcxyz
（1）1abcd×
3=abcd5
（2）7×
abcxyz=6×
xyzabc
2.用代数方法求解下列竖式：
3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：
□8□7□.□□□□□
□□）□□□□□□□.□）□□□.□□）□.□
□□□□□□□□□
□□□8□□□□□
□□□□□□□□□
□□00
□□
第3讲定义新运算
（一）
例1对于任意数a，b，定义运算“*”：
a*b=a×
b-a-b。
求12*4的值。
例2已知a△b表示a的3倍减去b的
，例如
根据以上的规定，求10△6的值
3，x>
=2，求x的值。
例6对于任意自然数，定义：
n！
=1×
2×
…×
n。
例如4！
3×
4。
那么1！
+2！
+3！
+…+100！
的个位数字是几？
例7如果m，n表示两个数，那么规定：
m¤
n=4n-（m+n）÷
2。
求3¤
（4¤
6）¤
12的值。
练习3
1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×
a-b÷
3。
求8*9的值。
2.已知a
b表示a除以3的余数再乘以b，求13
4的值。
3.已知a
b表示（a-b）÷
（a+b），试计算：
（5
3）
（10
6）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.对于任意的两个数P，Q，规定P☆Q=（P×
Q）÷
例如：
2☆8=（2×
8）÷
已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定义：
a△b=ab-3b，a
b=4a-b/a。
计算：
（4△3）△（2
b）。
9.已知：
2
3=2×
4，4
5=4×
5×
6×
7×
8，……求（4
4）÷
（3
3）的值。
第4讲定义新运算
（二）
例1已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
例2定义运算：
a⊙b=3a+5ab+kb，
其中a，b为任意两个数，k为常数。
比如：
2⊙7=3×
2+5×
7+7k。
（1）已知5⊙2=73。
问：
8⊙5与5⊙8的值相等吗？
（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？
例3对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。
（1）求12☆21的值；
（2）已知6☆x=27，求x的值。
例4a表示顺时针旋转90°
，b表示顺时针旋转180°
，c表示逆时针旋转90°
，d表示不转。
定义运算“◎”表示“接着做”。
求：
a◎b；
b◎c；
c◎a。
例5对任意的数a，b，定义：
f（a）=2a+1，g（b）=b×
b。
（1）求f（5）-g（3）的值；
（2）求f（g
（2））+g（f
（2））的值；
（3）已知f（x+1）=21，求x的值。
练习4
2.定义两种运算“※”和“△”如下：
a※b表示a，b两数中较小的数的3倍， a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。
比如：
4※5=4×
3=12，4△5=5×
2.5=12.5。
计算：
[（0.6※0.5）+（0.3△0.8）]÷
[（1.2※0.7）-（0.64△0.2）]。
4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×
m-n）÷
4，
并且2⊙3=0.75。
试确定常数A，并计算：
（5⊙7）×
（2⊙2）÷
（3⊙2）。
5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：
a表示顺时针旋转
240°
，b表示顺时针旋转120°
，c表示不旋转。
运算“∨”表示“接着做”。
试以a，b，c为运算对象做运算表。
6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a
比如7
3=1，5
29=4，4
20=0。
（1）计算：
1998
2000，（5
19）
19，5
（19
5）；
（2）已知11
x=4，x小于20，求x的值。
7.对于任意的自然数a，b，定义：
f（a）=a×
a-1，g（b）=b÷
2+1。
（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；
（2）已知f（g（x））=8，求x的值。
第5讲数的整除性
（一）
1.
整除的定义、性质.定义：
如果a、b、c是整数并且
，
则称a能被b整除或者b能整除a，记做
，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做b|a.
2、性质
（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
整除的数的特征
1、被2整除特征：
个位上是0,2,4,6,82、被5整除特征：
个位上是5,0
3、能被3或9整除的数的特征是：
各个数位的数字之和是3或9的倍数
4、被4、25整除的数的特征：
一个数的末2位能被4、25整除
5、被8、125整除的数的特征：
一个数的末3位能被8、125整除
6、被7整除的数的特征：
若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差
是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
7、能被11整除的数的特征：
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数（包括0）,那么,原来这个数就一定能被11整除。
判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12
23-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
8、能被13整除的数的特征：
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如：
判断1284322能不能被13整除。
128432+2×
4=12844012844+0×
4=128441284+4×
4=13001300÷
13=100所以，1284322能被13整除。
9、被7、11、13整除特征：
末三位与末三位之前的数之差（大数－小数）能被7、11、13整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
判断556584能不能被7整除末三位584末三位之前的数556，
584-556=2828能被7整除，所以556584能被7整除
10、能被17整除的数的特征
:
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，
如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
11、能被19整除的数的特征:
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，
如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程
例1在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？
例3有四个数：
76550，76551，76552，76554。
能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？
例4在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
例5能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
练习5
1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？
2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？
3.173□是个四位数。
数学老师说：
“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：
数学老师先后填入的3个数字之和是多少
4、用1—6六个数字组成一个六位数abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的数字。
要求ab能被2整除，abc能被3整除，abcd能被4整除，abcde是5的倍数，abcdef是6的倍数。
这样的六位数有几个？
各是多少？
5.红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90分，总分A95B,这个班有多少名学生？
6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
第6讲数的整除性
（二）
特殊的数——1001。
因为1001=7×
11×
13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。
例2判断306371能否被7整除？
能否被13整除？
例3已知10□8971能被13整除，求□中的数。
例4说明12位数abbaabbaabba一定是3、7、13的倍数。
例5如果41位数55……5□99……9能被7整除，那么中间方格内的数字是几？
︸︸
20个20个
判断一个数能否被27或37整除的方法：
对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；
否则，这个数就不能被27（或37）整除。
例6判断下列各数能否被27或37整除：
（1）2673135；
（2）8990615496。
判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：
为了叙述方便，将个位是9的数记为k9（=10k+9），其中k为自然数。
对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。
连续进行这一变换。
如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；
否则，这个数就不能被k9整除。
例7
（1）判断18937能否被29整除；
（2）判断296416与37289能否被59整除。
练习6
1.下列各数哪些能被7整除？
哪些能被13整除？
88205，167128，250894，396500， 675696，796842，805532，75778885。
2.六位数175□62是13的倍数。
□中的数字是几？
3、已知七位数132A679是7的倍数，求A？
4、六位数ababab能否被7和13整除？
5、12位数aabbaabbaabb能否被7和13整除？
6、33……3□88……8能被13整除，求中间□中的数？
20个20个
7.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。
8.在下列各数中，哪些能被27整除？
哪些能被37整除？
1861026，1884924，2175683，2560437，11159126，131313555，266117778。
9.在下列各数中，哪些能被19整除？
哪些能被79整除？
55119，55537，62899，71258， 186637，872231，5381717。
第7讲奇偶性
（一）
整数按照能不能被2整除，可以分为两类：
（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如 0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如 1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。
相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。
因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；
因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。
奇偶数有如下一些重要性质：
（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；
两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。
反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；
两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。
（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；
偶数个奇数的和（或差）是偶数。
任意多个偶数的和（或差）是偶数。
（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；
如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。
反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；
如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；
偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。
奇数肯定不能被偶数整除。
（6）偶数的平方能被4整除；
奇数的平方除以4的余数是1。
因为（2n）2=4n2=4×
n2，所以（2n）2能被4整除；
因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×
（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。
（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；
如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。
有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。
例1下式的和是奇数还是偶数？
1+2+3+4+…+1997+1998。
例2能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=36。
例3任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。
那么，这两个五位数的和能不能等于99999？
例4在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。
请问：
握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？
请说明理由。
例5五
（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。
评分标准是：
答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。
试问：
这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？
练习7
1.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？
2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。
这位同学的计算有没有错？
3.甲、乙两人做游戏。
任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。
游戏规则是：
若积是偶数，则甲胜；
若积是奇数，则乙胜。
请说明谁将获胜。
4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。
写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？
5.A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30道，记分方法是：
底分15分，每答对一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一道扣1分。
如果有333名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？
6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
试讲出理由。
7.红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影。
有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？
第8讲奇偶性
（二）
例1用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两
位数的和最大是多少？
例27只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。
能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？
例3有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。
经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
例4一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，…，15页。
如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？
例5有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。
阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；
若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。
从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？
它们都是什么颜色？
例6一串数排成一行：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？
练习8
1.在11，111，1111，11111，…这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。
这样说对吗？
2.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，…，17页。
这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。
如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？
3.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。
如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？
4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：
0，1，3，8，21，…问：
最右边的一个数是奇数还是偶数？
5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：
“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？
”小明说：
“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。
”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？
6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。
原来写的三个整数能否是1，3，5？
7.将888件礼品分给若干个小朋友。
分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？
第9讲奇偶性（三）
例1在7×
7的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子，要求每个方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子，这是为什么？
例2对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？
为什么？
例3下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。
有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
例4下图是由14个大小相同的方格组成的图形。
能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？
例5在右图的每个○中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的○中的数字之差（大数减小数）恰好等于它们之间所标的数字。
能否办到？
例6下页上图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。
众所周知，马是走“日”字的。
这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
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