《概率论与数理统计》习题答案复旦大学出版社5Word文档下载推荐.docx
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E（Xi）
14,
35
D（X）
D（
D（Xi）
.
所以
35/3
P{10X
18}P{X|
14|4}421
0.271,
2.假设一条生产线生产的产品合格率是
0.8.要使一批产品的合格率达到在
76%与84%之间的概率不小于
90%，问这批产品至少要生产多少件？
1,若第i个产品是合格品,
【解】令Xi
0,其他情形.
而至少要生产
n件，则i=1,2,⋯,n且
X1，X2，⋯，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.
现要求n,使得
n
0.84}
0.9.
P{0.76
即
0.76n
0.8n
0.84n
i1
P{
}0.9
0.8
0.2
n0.8
由中心极限定理得
0.9,
0.16n
整理得
查表
1.64,
0.95,
10
n≥268.96,
故取n=269.
3.某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为
0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能
15个单位.问至少供应多少单位电
能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.
【解】要确定最低的供应的电能量，
应先确定此车间同时开动的机床数目最大值
m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过
m的概率为95%,
于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）,
E（X）140,D（X）42,
m
140
0.95P{0Xm}P（Xm）
查表知
m140
m=151.
所以供电能
151×
15=2265（单位）.
20
4.一加法器同时收到
20个噪声电压Vk（k=1，2，⋯，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（
0，10）上服从均匀分布
.记V=
Vk，求P{V
k
＞105}的近似值.
100
【解】易知:
E（Vk）=5,D（Vk）=,k=1,2,⋯,20
由中心极限定理知，随机变量
Vk20
Z
k1
V205
近似的
~N（0,1）.
105205
于是P{V105}P
V
0.387
（0.387）
0.348,
P
即有
P{V>
105}≈0.348
5.
有一批建筑房屋用的木柱，其中
80%的长度不小于
3m.现从这批木柱中随机地取出
100根，问其中至少有
30根短于3m的概率是多少？
【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2
P{X
30}
1P{X30}
30
（2.5）
10.9938
0.
6.
某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为
0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于
75人治愈，
就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.
（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是
0.8，问接受这一断言的概率是多少？
（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是
0.7，问接受这一断言的概率是多少？
1,
第i人治愈,
i1,2,
100.
【解】Xi
其他.
0,
令XXi.
（1）X~B（100,0.8），
75
P{
75}
P{X
（1.25）
（1.25）
（2）X~B（100,0.7），
0.7
0.3
（1.09）
0.1379.
（）1
21
7.用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为
0.05的产品中，任取
1000件，其中有
20件废品的概率.
【解】令1000件中废品数X，则
p=0.05,n=1000,X~B（1000,0.05），
E（X）=50，D（X）=47.5.
故
20}
50
47.5
6.895
30
4.5
10.
8.
1，⋯，T30
服从参数λ=0.1[单位：
（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推
设有30个电子器件.它们的使用寿命T
令T为30个器件使用的总计时间，求
T超过350小时的概率.
【解】E（Ti）
D（Ti）
100,
10,
0.1
E（T）
1030
30D（T）
3000
P{T
350}
350
300
（0.913）
0.1814.
9.
上题中的电子器件若每件为
a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以
95%的概率保证够用（假定一年有
306个工作日，每个工作日为
8小时）.
【解】设至少需n件才够用.则E（Ti）=10，D（Ti）=100，
E（T）=10n，D（T）=100n.
306
810n
Ti
0.95,即0.05
从而P{
8}
0.95
10n
2448
1.64
n244.8
n272.
所以需272a
元.
10.
对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、
名家长、2
名家长来参加会议的概率分别为
0.05,0.8,0.15.若学
校共有400
名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布
（1）求参加会议的家长数
X超过450
的概率？
（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于
340的概率.
【解】
（1）以Xi（i=1,2,⋯,400）记第i个学生来参加会议的家长数
.则Xi的分布律为
Xi
0.05
0.15
易知E（Xi
⋯,400.
=1.1）,D（X）=0.19,i=1,2,
400
而X
Xi,由中心极限定理得
4001.1
4001.1近似地
0.19
19
4504001.1
于是P{X450}1P{X450}1
419
1（1.147）0.13
（2）以Y记有一名家长来参加会议的学生数
.则Y~B（400,0.8）
340
P{Y340
（2.5）0.9938.
11.设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？
【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则
X~B（10000，0.515
P{X≤5000}.由中心极限定理有
5000
10000
0.515
5000}
（3）1（3）0.00135.
0.485
12.设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为
0.9.以95%概率估计，在一次行动中：
（1）至少有多少个人能够进入？
（2）至多有多少人能够进入？
【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（
i=1,2,⋯,1000）.
令
=X+X
+⋯+X.
Sn12
1000
（1）
设至少有m人能够进入掩蔽体，要求
P{m≤Sn≤1000}≥0.，95事件
m1000
0.9
Sn
900
{mSn}
90
由中心极限定理知：
P{m
Sn}1P{Sn
m}1
0.95.
m900
0.05,
1.65,
m=900-15.65=884.35≈884人
（2）设至多有M人能进入掩蔽体，要求
P{0≤Sn≤M}≥0.95.
P{Sn
M
M}
查表知M
=1.65,M=900+15.65=915.65
≈916人.
8
13.在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付
12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为
0.006,死亡者其家属可向保险公司领得
1000元赔偿
费.求：
（1）
保险公司没有利润的概率为多大；
（2）
保险公司一年的利润不少于60000
元的概率为多大？
【解】设X
为在一年中参加保险者的死亡人数，则
X~B（10000，0.006）.
（1）公司没有利润当且仅当“1000X=10000×
12”即“X=120”.于是所求概率为
120}
120
0.006
0.994
60
（60/
59.64
e2
0.0517
30.1811
e
（2）因为“公司利润≥60000当”且仅当“0X≤≤60”于是所求概率为
P{0
60
60}
0.5.
（0）
14.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计.
（2001研考）
【解】令Z=X-Y，有
E（Z）0,D（Z）D（XY）D（X）D（Y）2D（X）D（Y）3.
XP
9
P{|Z
E（Z）|6}
P{|X
D（X
Y）
Y|6}
36
15.
某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占
20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.
（1）写出X的概率分布；
（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于
14户且不多于30户的概率近似值.
（1988研考）
（1）X可看作
100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是
0.2，因此，X~B（100,0.2），故X的概率分布是
k}
C100k0.2k0.8100
k,k1,2,
（2）被盗索赔户不少于14户且不多于
30户的概率即为事件
{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得
P{14
14
（1.5）
0.994[9.33]
16.
一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的
.假设每箱平均重
50千克，标准差为
千克，若用最大载重量为
5吨的汽车承运，试利用中心极
限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于
0.977.
【解】设Xi（i=1,2,⋯,n）是装运i箱的重量（单位：
千
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