初中数学教材留白分析及其对策的研究Word文档下载推荐.docx
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“同学们，你们想想看，人的身体哪儿是对称的？
”小朋友一听乐了，纷纷举手，说了眼睛、眉毛、耳朵、手脚等。
一男生举手站起来大声说：
“老师，人的两个屁股蛋是对称的，男孩的两个小蛋蛋是对称的……”老师大怒，吼道：
“坐下！
”下课后，老师马上找来家长，激动地说：
“你可得好好管管你儿子，不得了啊！
”这位母亲一听急了，马上找来儿子训话：
“儿子，你上课怎能说这些呢？
”儿子听不懂妈妈的话，说：
“哼，他们都不知道，只有我知道。
”家长不知所措，儿子6岁就说这些乱七八糟的，长大了会不会变成流氓啊？
案例2，苏霍姆林斯基小时候住在一间杂货铺附近。
每天他都看到大人们将一种东西交给杂货铺老板，然后换回自己需要的物品。
于是，有一天，他将一把石子递给老板说：
“买糖”。
杂货铺老板迟疑片刻后，收下了石子，然后把糖“卖”给了他。
苏霍姆林斯基说：
“这个老人的善良和对儿童的理解影响了我的一生。
”
儿童对周围的事物有着强烈的好奇心和丰富的想象力，敢想敢说、敢试敢闯。
案例中的老师和母亲，她们的观念抑制甚至扼杀了孩子的个性和创造性思维。
相反，这个杂货铺老板不是教育家，但他拥有教育者的智慧。
他没有用成人的逻辑去分析孩子的行为，而是包容了一个幼小生命的尊严。
这是对儿童精神世界的深刻理解和尊重。
在学生主体地位日益得到重视的今天，数学教育应回归“人性”，不仅要适应未来社会对人才的要求，还应考虑现时人的需求、个性、爱好、经验等；
不仅要关注知识的建构、数学地理解，同时也要关注生活、关注生命、关注全面发展。
〔2〕
“要给学生自主发展的空间，逐步形成数学创新意识”。
如果没有一个宽松的教育环境，其目标很难实现。
因此，数学教师除了要有先进的课改理念，还要有融理性思辨与彰显灵气于一体的实践智慧，更要有付诸实践的创新行动。
“教材留白”是伴随着新课标应运而生的产物，数学教师应将它视为彰显自身教学风格的“自留地”，用心去“经营”，使之成为师生交往、互动，课程体验，追寻生命成长的平台。
由此，笔者认为：
数学课不该是表面的热闹和浅显的探究，数学教学应立足于数学文化与数学思想，让学生能充分认识数学的价值，亲历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用；
要将创新能力的培养贯穿于整个教学过程，不失时机地让每一位学生的潜能得到发挥。
“教材留白”确实棘手，但用心良苦。
它为的是拓展教学空间，让学生的眼光看得深远些，让学生的脑筋转得深邃些，让学生的思维翱翔在更高的地方，真切地体验什么是数学，深刻地理解为什么学数学。
二、教材留白的现实意义
“留白”是艺术表现手法，绘画中的“留白”能产生“无画处皆成妙境”的效果，音乐中的“休止”能达到此时无声胜有声的境界。
“教材留白”是教学的一种新理念，它不是先由教师把什么都讲清楚，而是针对某一目标，由学生依靠自己或小组的努力，初步解决问题，体现原创精神与发散思维，强调支持学生个人经验和尊重学生主体地位，关注数学精神与数学思想的体验，并为高层次的思维发展构筑平台。
1、概念教学需要。
数学概念是客观对象的数量关系和空间形式的本质属性的反映，正确理解概念是学好数学的基础。
〔3〕而数学概念的生成过程，是由具体到抽象、特殊到一般的数学化过程。
“教材留白”已经把形式化的材料转化为蕴涵概念本质特征、贴近学生生活、适合学生探究的情境。
将概念的生成过程转化为一系列带有探究性的问题，有着足够的开放与探索的空间，为后续概念教学奠定基础。
2、问题探究需要。
问题是数学的心脏，也是数学的魅力所在。
没有问题，研究探索难以进行，更难以深入拓展。
因此，在学生的“最近发展区”设计“问题串”，既有利于学生将知识迁移，也可使学生在问题意识驱动下，产生积极的研究探索欲望。
“教材留白”的背景图片与核心问题，既激发兴趣，又创设悬念，使学生自然产生主动求知的心理冲动，孕育着创造的火花。
教材
七上
七下
八上
八下
九上
九下
合计
留白处
40
31
表1
32
24
19
12
158
3、建构主义理论体现。
该理论认为：
人的认知事实上是一个创造性建构的过程，因而学生的学习不是被动地接受知识，而是积极地建构知识的过程。
教师的价值应该是建构的帮助者、促进者，让学生真正掌握必要的基础知识和基本技能，提高自主学习的能力。
浙教版七至九年级六册教材共158处“教材留白”（如表1），涉及数学史、数学应用、数学游戏、数学与生活、数学与社
会文化、数学美育、数学德育、多元文化数学、民族数学等，若能融会贯通，必将使学生的知识建构、能力发展、思想感悟熔于一炉。
4、学科发展需要。
我国著名数学教育家、数学教育心理学研究的开创者和奠基人曹才翰，早在20世纪80年代就呼吁和提倡学校教学中要将数学思想方法的渗透提到日程上来。
158处“教材留白”蕴涵分类思想、化规思想、转化思想、数形结合思想、消元思想、反证思想、图像思想、降次思想、配方思想、换元思想、待定系数思想、方程思想、函数思想、概率统计思想和类比思想。
可见，现有“教材留白”就是教师引导教学的支架、学生数学实践的窗口、数学思想培养的载体。
5、人的发展需要。
“留白”为的是内涵发展，旨在通过数学学科内涵的挖掘，培养学生收集、处理、运用信息的能力，养成运用数学工具解决实际问题的能力。
日本数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》中指出：
“这种数学的精神、思想和方法，充满于初等数学、高等数学之中，在各种教材里大量的存在着，如果教师们利用教科书，向学生们传授这样的精神、思想和方法，并通过这些精神活动以及数学思想、数学方法的适用，反复地锻炼学生们的思维能力，那么，学生们从小学、初中到高中的12年间，通过不同的教材，会成百上千次地接受同一精神、方法、原则的指教与锻炼，纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭记在头脑里，长久地活跃于日常的业务中。
〔4〕因此，教育者要面向未来，立足现有“教材留白”。
三、教材留白的对策
1、留白与补白相结合。
没有留白，补白将缺乏容纳的空间；
没有补白，留白将沦落为装饰。
教材编写专家在编排教材体系时的铺垫留白，为开展数学交流提供必要的认知前提与心理预期。
既然教材有“留白”，那教学就得“补白”。
作为数学教师必须关注“留白”，深入剖析新旧知识间的关系，有效地组织各类材料，更好地服务于教学，使“教材留白”更显活力、彰显魅力。
“教材留白”如果视而不见或望而却步，那是人为偏离教材本意的行为，极大地束缚了学生的思维。
因此，呼吁数学教师切实转变观念，跟进教学行为，将“教材留白”与“教学补白”结合起来。
庄稼挨挨挤挤，棵棵面黄肌瘦，放大生存空间，个个株粗苗壮。
我们相信，给学生一个空间，学生会还课堂一个惊喜。
2、预设与生成相结合。
“留白”是一种智慧，也是一种境界。
“补白”过程不是漫无目的、自发的、无限发散的生成，更不是教师随意发挥、无的放失的“留白”，而是预设与生成的统一。
充分的预设，才能最优的生成。
精心的预设，才有精彩的生成。
“教材留白”有的侧重认知，有的侧重体验，有的侧重实践，有的侧重展示。
教师必须吃透教材的前后联系，抓住有讨论价值的问题，选择对体验实践确有较大实效的突破点，精心预设，引导参与。
生成可能以各种形式外显出来，也可能悄无声息，没有一点刻意的痕迹，完全是一种自然的流露。
由于是不经意的绽放，当然更可能会稍纵即逝。
因此，追求课堂的灵性、教育的创新，需要教师的实践智慧，使预设与生成“别有洞天”。
3、内容和形式相结合。
新教材在许多知识点的教学上，都设计了呼之欲出却欲言又止、仅用一句话的“留白”，如七上3.1平方根中“什么数的平方等于1.44？
”，七上4.1用字母表示数中“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；
两只青蛙两张嘴，四只眼晴八条腿，扑通扑通跳下水……”，七上6.3条形统计图和折线统计图中“这是2000年第五次全国人口普查中各省市、自治区、特别行政区的统计数据”等等。
这些“留白”，给学生留下思考的余地，同时也给教师留下了创造性使用教材的空间。
因此，教师要分析各个“教材留白”的核心知识、开合程度与数学思想，分门别类、等级分层，以此教学方式。
简单的、浅显的“留白”，可以放手学生，以自学的方式来理解和感悟。
对于探索性“留白”，就要让学生经历实践和创新的过程。
4、主导与主动相结合。
“教师主导”与“学生主动”是开启师生数学交流平台的两大引擎，只有充分的课前预设伴随精彩的课堂生成，才能做到“教师主导”与“学生主动”的和谐共生，从而实现师生数学交流的最优化。
在“留白”与“补白”中，教师要把握好开与合的“度”，做到“收放自如”。
教师的主导如兴奋剂、催化剂和搅拌器，诱导学生积极地、愉快地参与到“补白”中来，凸现“学生主动”。
真实的课堂具有动态生成性和不确定性，再完善的教学预案也不能涵盖教学实际的复杂变化，因此必须融入教师的实践智慧，及时、敏锐地把握和利用课堂中的生成性资源，适时调整自己的教学行为和教学策略。
教师的实践智慧既可体现在“教材留白”呈现方式，又体现在补白时生成性资源的灵活应变处理，尤其是后者。
5、独立与合作相结合。
独立与合作是矛盾的统一体，合作学习必须以独立探究为支撑，独立探究只有在合作交流中得以验证和完善。
不经过独立思考，就不会有独立的思想，人云亦云谈不上创新发展。
在对话交流前，教师要留有时间，让每位学生直面“留白”文本，与之充分对话。
静默思考虽没有各抒己见的热闹，但默默的心灵对话，却是思维的碰撞、文字的感悟。
萧伯纳有句名言：
“两个人，每人一个苹果，交换一下，仍是每人一个苹果；
两个人，每人一种思想，交换一下，每人就有两种思想。
”这句话道出了合作交流这一学习方式所体现的哲学思想，因此“补白”交流就是合作学习、拓展延伸、动态生成的过程，为多维度的开展数学交流提供可能。
四、课例研究
（一）课例1：
浙教版七下“1.2三角形的角平分线和中线”。
“教材留白”文本：
用折纸的方法可以帮助我们找到三角形的角平分线和中线，试一试。
背景插图，略。
1、留白分析。
这是“认识三角形”后学习三角形三线的第一节，试图通过动手操作，使学生对三角形的角平分线和中线有一个感性认识的过程，有利于概念的生成和发展。
①核心知识：
三角形角平分线和中线概念；
三角形角平分线和中线画法；
②数学思想：
数形结合；
③数学文化：
数学与生活，数学游戏；
④开合度：
可独立完成；
⑤关键点：
经历操作过程，形成最初对概念具体、形象的直观感受。
2、应对策略：
课前独立操作，课内展示交流。
在家尝试操作，寻找规律与特征。
3、课内补白交流：
师：
请谁来展示三角形的角平分线和中线的折纸方法，并用自己的语言描述过程。
众生举手，教师抽一中下学生上台展示，并描述过程，其他同学评价。
谁能说出这种操作的数学依据是什么？
生：
两个角重叠。
可以测量这两个角的度数相等。
师问：
你有什么发现？
三角形有三条角平分线、三条中线。
追问：
三条角平分线和中线分别在三角形的哪里？
都在三角形内部。
钝角三角形、直角三角形都这样吗？
等待，因为学生一般都定势在锐角三角形。
齐答：
是的。
三角形的角平分线是射线、直线还是线段？
谈谈你的认识。
自由发言，相互评价。
你还有其他发现吗？
（没人举手，等待）
三角形的一条中线把原三角形分成两个面积相等的三角形。
聪明，确实如此。
你能告诉这是为什么？
等底同高。
好，来点掌声。
其实三角形的角平分线还有一些特征，需要我们进一步去发现与研究，揭题：
1.2.
4、课后反思
①设计说明：
本节课以“教材留白”的补白来导入课题。
通过课前预设，让学生经历动手实践与独立思考，并在“补白”交流中感悟与提升，使概念的形成由直观、具体到抽象、一般，为概念生成奠定基础。
同时，又有未了的心愿，带着期望进入课题，激发学习兴趣。
②课后建议：
可通过“几何画板”展示、验证，概念的生成过程更为直观化、一般化，也为后续研究作好铺垫。
（二）课例2：
浙教版数学七下“5.4 乘法公式”。
靠垫是舒适实用的家庭小点缀，一些心灵手巧的人喜欢自己动手制作靠垫。
右上角的靠垫面子用5块布料拼合而成，应用了哪些数学知识？
背景插图，如图1.
图1
1、留白分析：
前三节学了同底数幂的乘法、单项式的乘法、多项式的乘法，本节公两课时，将学习平方差公式和完全平方公式。
图形构造与面积关系；
、
之间的等量关系；
数形结合，分类思想，换元思想；
数学应用，数学美育；
较大开放性，探究方向难以把握；
理解两种计算方法，明白面积相等。
课前独立探究与理性思考，课内合作交流、共同探讨。
思考如图靠垫面子的拼合，你发现什么？
“几何画板”展示靠垫面子的图形构造，如图2。
你发现了什么？
四个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形。
这张图很美。
（大笑）
大正方形面积等于小正方形面积加上四个长方形面积。
用“几何画板”验证。
这个大正方形实际就是一个小正方形和一个长方形拼成。
（学生惊讶，教师也没想到）
说说你的想法。
生4：
四个相同的长方形放在一起不就是一个长方形。
实际操作确实如此，画图示意。
大小两个正方形的边长与长方形的长与宽有什么关系吗？
大正方形的边长等于长方形的长与宽的和，小正方形的边长等于长方形的长与宽的差。
一个美丽的图形，让我们发现了很多数学知识，真不简单。
之间有什么关系吗？
揭题：
5.4乘法公式
（1）.
将抽象问题形象化的几何直觉能力是空间想象能力结构中的最高层次，是创造力的源泉。
〔5〕整个过程自然流畅，由形到数，先直观得到
与
，再用法则得到验证，这样的公式发现水到渠成。
让学生灵动的思维火花不断迸发，创造的意识不断增强，充分享受学习的乐趣，同时养成用数学来解决问题的习惯。
②建议：
这样的靠垫让学生再亲自制作一个，有利于对图形的边长与面积关系有深刻理解。
综上所述，“教材留白”与“教学补白”是共同体，缺一不可。
如果说“留白”是为了创新，那么“补白”是为再创新夯实基础、拓展知识。
“教学补白”是“教材留白”的应对与延续，根深才叶茂，厚积才薄发。
新课程改革呼唤充满智慧的教师，用“留白”与“补白”演绎精彩的教育，用实践的智慧去点燃学生的智慧！
参考文献：
1．吴锋刃.浅谈数学课堂教学中的问题意识培养.中学教研（数学）2007•12.浙江师范大学
2．张维忠 徐晓芳.基于数学文化的教学案例设计述评.中学数学教与学 2008•10.中国人民大学书报资料中心
3．李曙静.数学开放式教学的探索与思考.中学数学教与学.2008•10.中国人民大学书报资料中心
4．燕学敏 华国栋.国内外关于现代数学思想方法的研究综述与启示.中学数学教与学 2008•10.中国人民大学书报资料中心
5．谷晓凯.新课程背景下培养学生空间想象力的有效途径.中国数学教育 2009•3.中国数学教育杂志社出师表
两汉：
诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。
诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。
宫中府中，俱为一体；
陟罚臧否，不宜异同。
若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；
不宜偏私，使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：
愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。
将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：
愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。
亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；
亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。
先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。
侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也
。
臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。
先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。
后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。
先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。
受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；
故五月渡泸，深入不毛。
今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。
此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。
至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。
愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。
若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；
陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。
臣不胜受恩感激。
今当远离，临表涕零，不知所言。
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