数学建模淋雨量模型文档格式.docx

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大学通信工程学院

二O一七年十月

摘要

本文针对淋雨量最小问题，采用matlab仿真等方法，得到不同风向下淋雨量与跑步速度的关系。

针对问题一，可以得到淋雨量最小是2.44L

针对问题二，通过matlab仿真可以得到迎面淋雨时跑步速度最大，淋雨量最小。

且淋雨量大小与跑步方向和雨线夹角有关。

针对问题三，通过matlab仿真可以知道背面淋雨时，跑步方向和雨线夹角不太小时，当跑步速度与雨速在同一方向分量相等时淋雨量最小，此时只有顶面淋雨。

在本文的最后，对模型的优缺点进行分析，并提出一些改进。

关键字：

淋雨量最小，跑步速度，雨线与跑步方向夹角，matlab

一、问题描述

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。

讨论淋雨量与人体跑步速度的关系。

二、问题分析

这是一个简单优化问题，根据雨速大小和方向、人速度大小进行合理分析，使得人淋雨量最小。

淋雨面积与雨的方向有关，淋雨时间与跑步速度与雨速相对速度大小有关，所以在不同情况下有不同的最优解。

三、模型假设

1.人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m,厚c=0.2m；

2.雨速u是常数（4m/s），在跑步过程中降雨量w是常数（2cm/h）；

3.在整个过程中人跑步速度v是常数，且有最大速度Vmax=5m/s;

4.雨线的方向是确定的;

5.跑步距离一定d=1000m.

四、符号说明

符号

符号说明

v

跑步速度

a

人体长

b

人体宽

c

人体厚

w

降雨量（cm/h）

d

跑步距离

u

雨速

Q

淋雨量

аθγ

雨线与人体的夹角

五、模型的建立与求解

根据题意，按以下步骤进行讨论：

5.1不考虑雨的方向，设雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

淋雨面积s=2ab+2ac+ab=2.2m2,跑完时间t=d/v=200s,降雨量w=2cm/h=1/1.8X105m/s,

淋雨量Q=swt=2.44X10-3m3。

5.2雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v的关系，求解总淋雨量最少的最优解，并计算θ=0，θ=30。

的总淋雨量。

（1）淋雨量分为正面和顶面两部分，正面面积s1=ab=0.75m2,正面单位面积单位时间的淋雨量为w（usinθ+v）/u,淋雨时间t=d/v

;

顶面面积S2=bc=0.1m2,顶面单位面积单位时间的淋雨量为wcosθ,淋雨时间t=d/v,

总淋雨量

（2）模型求解得·

·

很明显当v=5m/s时Q最小。

用matlab仿真得到：

当θ=0时，

QMIN=1.1526L

当θ=30。

时，

QMIN=1.5535L

5.3雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面，且与人体的夹角为а，建立总淋雨量与速度v的关系，求解总淋雨量最少的最优解，并计算а=30。

（1）淋雨量分为顶面和背面淋雨，顶面淋雨量为

背面淋雨可以看做是追击问题，分为同位置雨滴追得上人体和人体追上前面上的雨滴两种情况。

淋雨量分别为

总淋雨量为

（2）模型求解

分析单调性可知，Q在

时单调递减

当

时，Q在上单调递增，v=4sinа时Q最小

时，Q在上单调递减，v=5时Q最小

当а=30.时，满足

当v=2时。

QMIN=0.2365L

当а=90。

时

满足v=5时Q最小。

（4）解释上图结果的实际意义。

雨从背面吹来，只要а满足

，当v=4sinа时Q最小，这时人体背面不淋雨，只有顶面淋雨，超过此值，迎面淋雨增加。

当а过小时，主要是顶面淋雨，这就与淋雨时间有很大关系，跑得越快，淋雨时间越短，淋雨量越小。

（5）若雨线与跑步方向不在同一平面，模型会有什麽变化？

模型会增加一角，没有其他变化。

六、模型评价

6.1模型优点

上述讨论，考虑了各种淋雨情况，比较全面的分析了因风向不同导致雨线方向不同的淋雨情况，可以在现实情况下应用。

6.2模型缺点

主要将跑步速度常量化，忽略了人的体质问题，还有雨速方向是时刻变化的，可以建立函数表示，而不是简单固定不变。

6.3模型改进

可以将人跑步看成匀加速、匀速、匀减速过程；

雨速方向与跑步方向夹角在一定围变化。

七、参考文献

数学模型（第四版）启源、金星、叶俊编，高等教育2013