版高考数学一轮复习第九章解析几何99圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题理Word格式.docx

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当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．

解　

（1）由题意设椭圆方程为＋＝1（a>

b>

0），①

焦点F（c,0），因为＝，②

将点B（c，）的坐标代入方程①得＋＝1.③

由②③结合a2＝b2＋c2，得a＝，b＝1.

故所求椭圆方程为＋y2＝1.

（2）由得（2＋t2）y2＋2tλy＋λ2－2＝0.

因为l为切线，所以Δ＝（2tλ）2－4（t2＋2）（λ2－2）＝0，

即t2－λ2＋2＝0.④

设圆与x轴的交点为T（x0,0），

则＝（－－x0，y1），＝（－x0，y2）．

因为MN为圆的直径，

故·

＝x－2＋y1y2＝0.⑤

当t＝0时，不符合题意，故t≠0.

因为y1＝，y2＝，

所以y1y2＝，代入⑤结合④得

·

＝

＝，

要使上式为零，当且仅当x＝1，解得x0＝±

1.

所以T为定点，故动圆过x轴上的定点（－1,0）与（1,0），

即椭圆的两个焦点．

题型二　定值问题

例2　（2016·

广西柳州铁路一中月考）椭圆有两顶点A（－1，0），B（1,0），过其焦点F（0,1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

（1）当|CD|＝时，求直线l的方程；

（2）当点P异于A，B两点时，求证：

为定值．

（1）解　∵椭圆的焦点在y轴上，

故设椭圆的标准方程为＋＝1（a>

0），

由已知得b＝1，c＝1，∴a＝，

∴椭圆的方程为＋x2＝1.

当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，与题意不符；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，

C（x1，y1），D（x2，y2）．

联立化简得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0,

则x1＋x2＝－，x1·

x2＝－.

∴|CD|＝

＝·

＝＝，

解得k＝±

.

∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.

（2）证明　当直线l的斜率不存在时，与题意不符．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1（k≠0，k≠±

1），C（x1，y1），D（x2，y2），

∴点P的坐标为（－，0）．

由

（1）知x1＋x2＝－，x1x2＝－，

且直线AC的方程为y＝（x＋1），

直线BD的方程为y＝（x－1），

将两直线方程联立，消去y，

得＝.

∵－1<

x1<

1，－1<

x2<

1，∴与异号，

（）2＝

＝＝（）2，

y1y2＝k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1

＝k2（－）＋k（－）＋1

＝－，

∵与y1y2异号，∴与同号，

∴＝，解得x＝－k，

故点Q的坐标为（－k，y0），

＝（－，0）·

（－k，y0）＝1，

思维升华　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

（1）求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；

（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；

（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

珠海模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点F（，0），直线l：

x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.

（1）求动点Q的轨迹C的方程；

（2）设圆M过A（1,0），且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？

请说明理由．

解　

（1）依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，

∴RQ是线段FP的垂直平分线．

∵点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|，

又|PQ|是点Q到直线l的距离，

故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x（x>

0）．

（2）弦长|TS|为定值．理由如下：

取曲线C上点M（x0，y0），M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝，

则|TS|＝2＝2，

∵点M在曲线C上，∴x0＝，

∴|TS|＝2＝2是定值．

题型三　探索性问题

例3　（2015·

四川）如图，椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率是，过点P（0,1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.

（1）求椭圆E的方程；

（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？

若存在，求出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

解　

（1）由已知，点（，1）在椭圆E上，

因此

解得a＝2，b＝，

所以椭圆E的方程为＋＝1.

（2）当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点，

如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，

即|QC|＝|QD|，

所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为（0，y0）．

当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为（0，），（0，－），

由＝，有＝，解得y0＝1或y0＝2，

所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为（0,2），

下面证明：

对任意直线l，均有＝，

当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，

A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

联立得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0，

其判别式Δ＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0，

所以x1＋x2＝－，

x1x2＝－，

因此＋＝＝2k，

易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为（－x2，y2），

又kQA＝＝＝k－，

kQB′＝＝＝－k＋＝k－，

所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，

所以＝＝＝，

故存在与P不同的定点Q（0,2），使得＝恒成立．

思维升华　解决探索性问题的注意事项

探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．

（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；

（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．

　（2015·

湖北）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C的方程；

（2）设动直线l与两定直线l1：

x－2y＝0和l2：

x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：

△OPQ的面积是否存在最小值？

若存在，求出该最小值；

若不存在，说明理由．

解　

（1）设点D（t,0）（|t|≤2），N（x0，y0），M（x，y），依题意，＝2，且||＝||＝1，

所以（t－x，－y）＝2（x0－t，y0），且

即且t（t－2x0）＝0.

由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，

于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，代入x＋y＝1，

可得＋＝1，即所求曲线C的方程为＋＝1.

（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×

4×

4＝8.

②当直线l的斜率存在时，

设直线l：

y＝kx＋m，

由消去y，

可得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－16＝0.

因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，

所以Δ＝64k2m2－4（1＋4k2）（4m2－16）＝0，

即m2＝16k2＋4.（*1）

又由可得P；

同理可得Q.

由原点O到直线PQ的距离为d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得S△OPQ＝·

|PQ|·

d＝·

|m|·

|xP－xQ|＝·

＝.（*2）

将（*1）式代入（*2）式得，S△OPQ＝＝8.

当k2>

时，S△OPQ＝8＝8>

8；

当0≤k2<

时，

S△OPQ＝8＝8.

因为0≤k2<

，则0<

1－4k2≤1，≥2，

所以S△OPQ＝8≥8，

当且仅当k＝0时取等号．

所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.

综合①②可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.

23．设而不求，整体代换

典例　（12分）椭圆C：

＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m,0），求m的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值．

思想方法指导　对题目涉及的变量巧妙地引进参数（如设动点坐标、动直线方程等），利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．

规范解答

解　

（1）由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±

由题意知＝1，即a＝2b2.

又e＝＝，所以a＝2，b＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.[2分]

（2）设P（x0，y0）（y0≠0），

又F1（－，0），F2（，0），

所以直线PF1，PF2的方程分别为

：

y0x－（x0＋）y＋y0＝0，

y0x－（x0－）y－y0＝0.

由题意知＝.

由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.

所以＝.[4分]

因为－<

m<

，－2<

x0<

2，

可得＝，

所以m＝x0，因此－<

.[6分]

（3）设P（x0，y0）（y0≠0），

则直线l的方程为y－y0＝k（x－x0）．

联立得

整理得（1＋4k2）x2＋8（ky0－k2x0）x＋4（y－2kx0y0＋k2x－1）＝0.[10分]

由题意Δ＝0，即（4－x）k2＋2x0y0k＋1－y＝0.

又＋y＝1，

所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，故k＝－.

由

（2）知＋＝＋＝，

所以＋＝＝·

＝－8，

因此＋为定值，这个定值为－8.[12分]

1．（2016·

北京西城区模拟）已知椭圆C：

0）的离心率e＝，短轴长为2.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？

请证明你的结论．

解　

（1）由短轴长为2，得b＝，

由e＝＝＝，

得a2＝4，b2＝2.

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

（2）以MN为直径的圆过定点F（±

，0）．

证明如下：

设P（x0，y0），则Q（－x0，－y0），

且＋＝1，即x＋2y＝4，

因为A（－2,0），所以直线PA方程为y＝（x＋2），

所以M（0，），直线QA方程为y＝（x＋2），

所以N（0，），以MN为直径的圆为（x－0）（x－0）＋（y－）（y－）＝0，

即x2＋y2－y＋＝0，

因为x－4＝－2y，所以x2＋y2＋2y－2＝0，

令y＝0，则x2－2＝0，解得x＝±

所以以MN为直径的圆过定点F（±

2．（2016·

安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测）椭圆E：

0）的离心率为，点（，）为椭圆上的一点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若斜率为k的直线l过点A（0,1），且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：

对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．

（1）解　因为e＝，所以c＝a，a2＝b2＋（a）2.①

又椭圆过点（，），所以＋＝1.②

由①②，解得a2＝6，b2＝4，

所以椭圆E的标准方程为＋＝1.

（2）证明　设直线l：

y＝kx＋1，

联立

得（3k2＋2）x2＋6kx－9＝0.

设C（x1，y1），D（x2，y2），则

x1＋x2＝－，x1x2＝－，

易知B（0，－2），

故kBC·

kBD＝·

＝k2＋＋

＝k2＋3k·

－（3k2＋2）

＝－2.

所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．

3.如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且·

＝1，||＝1.

（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：

是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求直线l的方程；

解　

（1）设椭圆方程为＋＝1（a>

0），则c＝1，

又∵·

＝（a＋c）·

（a－c）

＝a2－c2＝1.

∴a2＝2，b2＝1，

故椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，

且F恰为△PQM的垂心，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵M（0,1），F（1,0），∴直线l的斜率k＝1.

于是设直线l为y＝x＋m，

由

得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，

x1＋x2＝－m，①

x1x2＝.②

∵·

＝x1（x2－1）＋y2（y1－1）＝0.

又yi＝xi＋m（i＝1,2），

∴x1（x2－1）＋（x2＋m）（x1＋m－1）＝0，

即2x1x2＋（x1＋x2）（m－1）＋m2－m＝0.（*）

将①②代入（*）式得2·

－（m－1）＋m2－m＝0，

解得m＝－或m＝1，

经检验m＝－符合条件．

故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，

直线l的方程为3x－3y－4＝0.

*4.（2016·

江西三校第一次联考）已知半椭圆＋＝1（x≥0）与半椭圆＋＝1（x<

0）组成的曲线称为“果圆”，其中a2＝b2＋c2，a>

c>

0.如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点．

（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）若|A1A2|>

|B1B2|，求的取值范围；

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点M的轨迹方程落在某个椭圆上？

若存在，求出所有k的值；

解　

（1）∵F0（c,0），F1（0，－），F2（0，），

∴|F0F2|＝＝b＝1，

|F1F2|＝2＝1，

∴c2＝，a2＝b2＋c2＝，

∴所求“果圆”的方程为

（2）由题意，得a＋c>

2b，

即>

2b－a，

∴a2－b2>

（2b－a）2，得<

又b2>

c2＝a2－b2，∴>

∴∈（，）．

（3）设“果圆”C的方程为

记平行弦的斜率为k，当k＝0时，

直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆＋＝1（x≥0）的交点是P（a，t），与半椭圆＋＝1（x<

0）的交点是Q（－c，t）．

∴P，Q的中点M（x，y）满足x＝·

，y＝t，得

＋＝1.

∵a2＝b2＋c2<

2b2，∴a<

b，

∴（）2－b2＝·

<

0.

综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．

当k>

0时，过B1的直线l与半椭圆＋＝1（x≥0）的交点是（，）．

因此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为（，），

轨迹在直线y＝－x上，即不在某一椭圆上．

当k<

0时，可类似讨论得到平行弦的中点的轨迹不在某一椭圆上．