关于麦克斯韦方程组Word文件下载.docx
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麦克斯韦方程组的积分形式:
这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。
（1）描述了电场的性质。
在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。
（2）描述了磁场的性质。
磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。
（3）描述了变化的磁场激发电场的规律。
（4）描述了变化的电场激发磁场的规律。
变化场与稳恒场的关系：
当
时，
方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程：
在没有场源的自由空间，即q=0,I=0，方程组就成为如下形式：
（inmatter）
麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量（D、E、B、H）和场源（电荷q、电流I）之间的关系。
微分形式
麦克斯韦方程组微分形式：
在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。
从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。
利用矢量分析方法，可得：
注意：
（1）在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。
（2）应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。
例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：
在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。
在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E（x,y,z,t）和B（x,y,z,t）。
科学意义
（一）经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来的。
但麦克斯韦的主要功绩恰恰是他能够跳出经典力学框架的束缚：
在物理上以"
场"
而不是以"
力"
作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。
这两条是发现电磁波方程的基础。
这就是说，实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是由于当时的历史条件，人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁场理论。
现代数学，H空间中的数学分析是在19世纪与20世纪之交的时候才出现的。
而量子力学的物质波的概念则在更晚的时候才被发现，特别是对于现代数学与量子物理学之间的不可分割的数理逻辑联系至今也还没有完全被人们所理解和接受。
从麦克斯韦建立电磁场理论到现在，人们一直以欧氏空间中的经典数学作为求解麦克斯韦方程组的基本方法。
（二）我们从麦克斯韦方程组的产生,形式,内容和它的历史过程中可以看到：
第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所撑握，所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的，一种新的具有认识意义的公理体系的建立才是科学理论进步的标志。
第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对象的"
存在"
。
由此，第三，我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实,，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。
（三）麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美，这种优美以现代数学形式得到充分的表达。
但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式才能充分展示经验方法中看不到的整体性（电磁对称性），但另一方面，我们也不应当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。
因此我们应当认识到应在数学的表达方式中"
发现"
或"
看出"
了这种对称性，而不是从物理数学公式中直接推演出这种本质。
对麦克斯韦方程组的部分理解
麦克斯韦方程组（采用国际单位制）:
式中左、右列分别是方程组的积分、微分形式；
E、B、D、H分别是描述电场（指带电体产生的电场与变化磁场产生的有旋电场之和）和磁场（指电流产生的磁场与变化电场即位移电流产生的磁场之和）的电场强度、磁感应强度、电位移、磁场强度；
q、ρ为自由电荷、自由电荷体密度；
I、J为传导电流强度和传导电流密度。
四个公式分别是电场、磁场的高斯定理、电磁感应定律以及安培环路定理。
成立条件拓宽了，最为关键的是第四式中补充了位移电流密度项。
和E、B和H、J和E的关系称为介质方程，对于线性各向同性介质，介质方程为：
式中ε、μ、σ分别是介质的电容率（介电常量）、磁导率和电导率。
介质方程与上述电磁场方程组联立，构成完备的方程组。
麦克斯韦方程组关于电磁波等的预言为实验所证实，证明了位移电流假设和电磁场理论的正确性。
这个电磁场理论对电磁学、光学、材料科学以及通讯、广播、电视等等的发展都产生了广泛而深远的影响。
它是物理学中继牛顿力学之后的又一伟大成就。
我们还是举一个具体的例子吧！
如图：
在半径为r的圆形区域内，存在指向纸里的均匀磁场，且磁场强度的变化率等于dB/dt，
那么它周围和内部的电场强度怎么求？
根据麦克斯韦方程组：
▽×
E=-偏B/偏t
再根据斯托克斯定律：
某矢量沿闭合曲线的线积分等于在此线为边界的任一面的旋度的面积分.又由于对称性，以O为圆心，a为半径的圆上任一点的电场强度均相等，故电场E乘以此圆周长2πa，等于E的旋度乘以有磁场区域的面积πr²
，即：
2πaE=-πr²
偏B/偏t
得：
E=-r²
/2a·
偏B/偏t
负号仅表示方向，这里的方向也可以由楞次定律直接得出。
以上讨论的是A点位于磁场之外的情况，如果所求点位于磁场内部，如何算？
比如B点位于磁场内部，到圆心距离为b，那么以O为圆心，b为半径作圆，此圆上所有点都是对称的，电场强度应该相同，同样根据斯托克斯定律：
2πbE=-πb²
偏B/偏t，也就是说此圆内部的磁场变化才对电场有贡献，外部的磁场变化对此点电场没有贡献。
结果算得：
E=-b/2·
我知道，它是在x，y，z方向上求偏导，但是比如一个力点乘或者叉乘一个力有什么意义？
我看过一道题，其中一个力是关于x，y，z的函数，然后用这个力叉乘▽为0.从而证明这个力是保守力，为什么？
问题补充：
不好意思，多问下，那么那个散度，旋度是描述什么的量呢
梯度记做GRAD比较好理解，就是沿着某方向的变化率，算子▽直接作用在函数上。
散度记做DIV是向量场的发散度，算子▽点乘向量函数。
向量场通过封闭曲面外侧的流量，等于该曲面所围区域的散度总和。
由散度为0可以推出向量场无源。
旋度记做ROT,是算子▽叉乘向量函数。
意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。
旋量为0的向量场叫做无旋场，只有这种场才有势函数，也就是保守场。
对位移电流的解释
位移电流是电位移矢量随时间的变化率对曲面的积分。
英国物理学家麦克斯韦首先提出这种变化将产生磁场的假设并称其为“位移电流”。
但位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应、化学效应等。
继电磁感应现象发现之后麦克斯韦的这一假设更加深入一步揭示了电现象与磁现象之间的联系。
位移电流是建立麦克斯韦方程组的一个重要依据。
注：
位移电流不是电荷作定向运动的电流，但它引起的变化电场，也相当于一种电流。
位移电流也可以描述成:
电容器充电时,极板间变化的电场被视为等效电流记作Id.位移电流与传导电流两者相比，唯一共同点仅在于都可以在空间激发磁场，但二者本质是不同的：
（1）位移电流的本质是变化着的电场，而传导电流则是自由电荷的定向运动；
（2）传导电流在通过导体时会产生焦耳热，而位移电流则不会产生焦耳热；
（3）位移电流也即变化着的电场可以存在于真空、导体、电介质中，而传导电流只能存在于导体中。
欧几里德空间
简介
欧几里德空间（EuclideanSpace），简称为欧氏空间（也可以称为平直空间），在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。
这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。
欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。
内积空间是对欧氏空间的一般化。
内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。
这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。
微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。
当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。
严格定义
定义
设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
（1）g（x,y）=g（y,x）；
（2）g（x+y,z）=g（x,z）+g（y,z）；
（3）g（kx,y）=kg（x,y）；
（4）g（x,x）>
=0，而且g（x,x）=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
例子
1.（经典欧几里德空间E^n）在n维实向量空间R^n中定义内积（x,y）=x_1y_1+...+x_ny_n，则R^n为欧几里德空间。
（事实上，任意一个n维欧几里德空间V等距同构于E^n。
）
2.设V是[0,1]区间上连续实函数全体，则V是R上线性空间，对于如下内积是欧几里德空间：
（f,g）定义为fg在[0,1]区间上的积分值。
拓扑
拓扑谜题——剪刀、纽扣和绳结
数学定义
设X是一个非空集合。
X的一个子集族τ称为X的一个拓扑，如果它满足：
（1）X和空集{}都属于τ；
（2）τ中任意多个成员的并集仍在τ中；
（3）τ中有限多个成员的交集仍在τ中。
定义中的三个条件称为拓扑公理。
条件（3）可以等价的换为τ中两个成员的交集仍在τ中。
称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,τ）。
称τ中的成员为这个拓扑空间的开集。
从定义上看，给出某集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。
这些规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。
一般说来，一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑。
在不引起误解的情况下，也常用集合来代指一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等。
例子：
1.欧几里德空间在通常开集的意义下是拓扑空间，它的拓扑就是所有开集组成的集合。
2.设X是一个非空集合。
则集合t：
{X,{}}是X的一个拓扑。
称t为X的平凡拓扑。
显然（X,t）只有两个开集，X和{}。
3.设X是一个非空集合。
则X的幂集T=2^X也是X的一个拓扑。
称T为X的离散拓扑。
显然X的任意子集都是（X,T）的开集。
4.一个具体的例子。
设X={1,2,3}。
则{X,{},{1,2}}是X的一个拓扑，但｛X,｛｝,｛1｝,｛2｝｝不是拓扑。
（自己想想为什么）
拓扑学的由来
几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。
那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。
十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。
人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：
能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。
这个问题看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。
看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。
欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。
那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。
经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。
并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。
这是拓扑学的“先声”。
在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。
这个定理内容是：
如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：
f+v-e=2。
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：
只存在五种正多面体。
它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：
“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。
但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。
不久，泰勒的证明也被人们否定了。
于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。
这些就是“拓扑学”的先声。
什么是拓扑学？
拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。
我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。
拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。
通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。
拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。
拓扑结构的性质
莫比乌斯带
拓扑性质有那些呢？
首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。
比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。
左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。
在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。
一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。
应该指出，环面不具有这个性质。
比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。
所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。
在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。
但德国数学家莫比乌斯（1790～1868）在1858年发现了莫比乌斯曲面。
这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。
拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。
特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。
二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。
拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。
拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。
通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。
本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。
比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。
有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究曲线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。
1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。
一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。
另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。
现在，这两个分支又有统一的趋势。
拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。
三维设计技术中的拓扑
以3DSMAX软件为例。
创建对象和图形后，将会为每个顶点和/或面指定一个编号。
通常，这些编号是内部使用的，它们可以确定指定时间选择的顶点或面。
这种数值型的结构称作拓朴。
选择顶点或面，并对选择对象应用修改器之后，该修改器堆栈将会记录它影响的面/顶点。
如果稍后返回到堆栈选择层级，可以将该拓朴更改为应用该修改器。
术语拓朴参考了面和顶点的结构及其编号。
例如，通过仔细设置各种参数，可以使方框和圆柱体具有相同的顶点数。
此后，您可能会认为，您可以使用该方框作为圆柱体的变形目标。
但是，因为这两个对象是使用大相径庭的方法创建的，所以，这些对象顶点编号的顺序将大不一样。
如果进行变形，会使每个带有编号的顶点转至变形目标上相应的位置。
在这种情况下，即存在两个拓朴结构大相径庭的对象，如果从一个对象变形为另一个对象，会使该对象在变形时弯曲或内部外翻。
拓朴相关修改器可以对具有拓朴结构的显式子对象执行选择操作。
对显式顶点或面数执行操作或选择的修改器包括“编辑网格”和“网格选择”修改器。
当堆栈中包含这些修改器时，如果访问以前的堆栈操作，并更改向其传递的拓朴（面和顶点的数目和顺序），可能会对结果产生负面影响。
如果这样做的话，拓朴相关警告会提示您注意这种情况。
注：
拓扑也称拓朴
网络拓扑
计算机网络的拓扑结构是引用拓扑学中研究与大小，形状无关的点，线关系的方法。
把网络中的计算机和通信设备抽象为一个点，把传输介质抽象为一条线，由点和线组成的几何图形就是计算机网络的拓扑结构。
网络的拓扑结构反映出网中各实体的结构关系，是建设计算机网络的第一步，是实现各种网络协议的基础，它对网络的性能，系统的可靠性与通信费用都有重大影响。
①总线拓扑结构是将网络中的所有设备通过相应的硬件接口直接连接到公共总线上，结点之间按广播方式通信，一个结点发出的信息，总线上的其它结点均可“收听”到。
优点：
结构简单、布线容易、可靠性较高，易于扩充，是局域网常采用的拓扑结构。
缺点：
所有的数据都需经过总线传送，总线成为整个网络的瓶颈；
出现故障诊断较为困难。
最著名的总线拓扑结构是以太网（Ethernet）。
②星型拓扑结构每个结点都由一条单独的通信线路与中心结点连结。
结构简单、容易实现、便于管理，连接点的故障容易监测和排除。
中心结点是全网络的可靠瓶颈，中心结点出现故障会导致网络的瘫痪。
③环形拓扑结构各结点通过通信线路组成闭合回路，环中数据只能单向传输。
结构简单、容易实现，适合使用光纤，传输距离远，传输延迟确定。
环网中的每个结点均成为网络可靠性的瓶颈，任意结点出现故障都会造成网络瘫痪，另外故障诊断也较困难。
最著名的环形拓扑结构网络是令牌环网（TokenRing）
④树型拓扑结构是一种层次结构，结点按层次连结，信息交换主要在上下结点之间进行，相邻结点或同层结点之间一般不进行数据交换。
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