小学五年级数学思维训练(奥数)集.docx

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目 录

第一讲 整数计算 2

第二讲 小数计算 6

第三讲 和差问题 10

第四讲 和倍问题 12

第五讲 差倍问题 14

第六讲 相遇问题 16

第七讲 追及问题 20

第八讲 火车行程 21

第九讲 平均数应问题 25

第十讲 植树问题 27

第十一讲 假设法解题 29

第十二讲 代换法解题 31

第十三讲 消去法解题 33

第十四讲 数图形 35

第十五讲 组合图形的面积 37

五年级上册思维测试题一 45

五年级上册思维测试题二 48

43

第一讲整数计算

整数计算

（一）

同学们老师出了这样一道计算题：

1＋2＋3＋4＋„＋100的和是多少？

在大家都在埋头运算时有一名同学很快报出得数5050，原来，他是用（1＋100）×50算出最后得数的，这就是著名的数学家高斯小时候的故事。

掌握一些速算和巧算的方法，会让复杂的计算变得简单，而且可以节省计算时间，提高计算正确率。

例1计算：

9＋99＋999＋9999＋99999。

分析观察题目中的四个数，都接近整十、整百、整千„„我们可以把它们看成整十、整百、整千„„再把多出的数减去， 9可以看做10－1，99可以看做100－1，999可以看做1000－1，9999可以看做10000－1，99999可以看做100000－1。

解答 原式=10－1＋100－1＋1000－1＋10000－1＋100000－1

=10 ＋100＋1000＋10000＋10000－（1＋1＋1＋1＋1）

=1111110 －5

=111105

例2计算：

125×25×32

分析125 和8相乘的积是1000，25和4相乘的积是100，而32刚好可以拆成8和4

两个因数，运用乘法结合律，计算就可以简便。

解答125 ×25×32=125×25×8×4=（125×8）×（25×4）

=1000 ×100

=100000

例3计算：

32×17＋151÷17－26×17+155÷17

分析 观察题目中的各数，发现有两个求积的算式、求积的两个算式都有因数17，求商的两个算式除数都是17，根据这一特点，可以根据运算定律进行简便计算。

解答 原式=32×17－26×17＋151÷17＋155÷17

= （32－26）×17＋（151＋155）÷17

=6 ×17＋306÷17

=6 ×17＋18=6×（17－3）=120

例4计算：

100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋„＋4＋3－2－1。

分析 题目中的数是100，99，98，97，„，1，运算符号依次是＋，＋，－，－，＋，

＋，－，－„„我们可以把四个数看成一组，即 100＋99－97－97，96＋95－94－93，„，4＋3－2－1，总共100个数，正好是25组，而且每组的得数都是4，一共有25个4。

解答 原式=（100＋99－98－97）＋（96＋95－94－93）＋„＋（4＋3－2－1）

=4 ×25

=100

拓展1写出下面各题的得数。

（1）654＋399

（2）965－202

（3）863－（763－245） （4）125×23×16

（5）25×57＋25×42＋25（6）630÷18

拓展2用简便方法计算下面各题。

（1）19＋199＋1999＋19999

（2）54×43＋54×58－54

（3）125×125×64（4）（91×48×75）÷（25×13×16）

（4）2003－2002＋2001－2000＋„＋5－4＋3－2＋1

整数计算

（二）

整数四则计算，有的题目可以根据题中数字的特点，考虑运用“凑整”或“运算定律”来进行简便计算，也有的题目从表面上看，好像有能简便计算，但有可能在算出一部分结果后可以简便计算，所以，每一步都要看能否可以简便计算，哪一步能简便就在哪一步简便计算，不过有的题目，需要一些算式进行研究转化，如66×33=22×99，转化以后，就可以发现题中数据的特点，再进行简便计算器；转化算式，有时要对一数进行拆分，把一个数拆成两个或几个数的和或积，拆分以后，就可以把一道看起来很复杂的计算题通过简单计算，轻松算出来。

例1计算：

139×（55＋46）

分析题目是一个数乘以两个数的和，可以运用运算定律，用139分别和55与46相乘、再把乘得的积相加，但这样计算一点也不简便。

按题目的运算顺序，先算出小括号内的和，得101，这时，就会发现得到的乘法算式139×101可以进行简便计算，把101拆成100与

1的和，这时再用乘法分配律进行简便计算。

解答 原式=139×101

=139 ×100＋139×1

=13900 ＋139

=14039

例2计算：

99×315＋33×55

分析 此题看上去无法简便计算，既不能凑整，又不能运用运算定律。

但仔细观察发现，

99刚好是33的3倍，把99拆成33与3的积，这样题目前后两个式子就都有33，这时就可以考虑乘法分配律的应用了。

解答 原式=33×3×315＋33×55

=33 ×（945＋55）

=33 ×1000=33000

例3计算：

2000×200120012001－2001×200020002000。

分析 题目让人感觉能简便计算，可是又觉得无从下手。

虽然算式前后都出现 2000和2001，但前面是2000，后面是200020002000，面后面的2001，在前面又是200120012001，如果算式不作一些转化，就无法简便计算。

根据算式数据的特点，2000和200020002000，

2001和200120012001如何联系，从联系中能否找到可简算的地方。

200020002000可以拆

成2000与100010001两个数的积，200120012001可以拆成2001与100010001两个数的积，这样拆以后，题目就很容易看出来该如何去计算了。

解答 原式=2000×2001×100010001－2001×2000×100010001

=0

拓展174×25＋25×52÷2

拓展2517×161＋90×517－51×517

拓展3200－199＋198－197＋„＋4－3＋2－1

拓展4（9999×9999＋19999）÷1000000

拓展59999×2222＋6666×1667

拓展61998×19991999－1999×19981998

第二讲小数计算

小数计算

（一）

小数加、减法与整数加、减方法基本相同，依然要做到相同数位对齐，从低位算起，加法时，满法时，退一当十。

小数加减法要特别注意小数点的位置，得数的小数点和算式中的小数点要对齐。

小数乘法，先按整数的方法出积，再定小数点的位置。

因数中一共有几位小数，积就有几位小数。

小数除法分为两种情况。

当除数为整数时，按照整数除法的方法去除，商的小数点要

和被除数的小数点对齐；当除数是小数时，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点缶右移动几位，被告数的小数点也向右移动几位，然后再按除数是整数的小数除法进行计算。

小数四则混合运算的顺序和整数一样。

在小数四则混合运算时，常常也可以简便运算，整数四则运算时的方法、运算定律在小数四则计算中同样适用。

例1计算：

[25－24.5÷（3.2＋1.7）]×0.25

分析这是一道典型的小数四则运算题。

算式中有加、有减、有乘、有除，有小括号、有中括号。

按照运算顺序，先算小括号里的，再算中括号里的，中括号里先算除法再算减法，最后再算括号外的乘法。

解答 原式=[25－24.5÷4.9]×0.25

=[25 －5]×0.25

=20 ×0.25

=5

例2计算：

14.8×17－14.8×19＋14.8×72

分析观察算式，先求三个积，再把三个积相加、减，但每一个求积的算式中都有一个因数14.8，可以根据乘法分配律进行简便计算。

整数运算中的一些运算定律在小数运算中同样适用。

解答 原式=14.8×（47－19＋72）

=14.8 ×100

=1480

例3计算：

0.258×448＋0.677×258－1.25×25.8

分析这道题是先求三个乘法算式的积，再把三个积相加减，但如果把三个积先求出来再计算，显然太麻烦，也容易出差错，然而从题目表面上看不出该如何简便计算。

仔细观察题目中各数，可以发现三个求积的算式中都有一个因数含有2，5，8，这三个数字，但小数点位置不算同，大小不一样。

如果能把这几个因数转化为相同的因数，就可以运用乘法分配律进行简便计算。

根据乘法算式中因数变化的规律，可以找到一个共同的因数。

解答 原式=25.8×4.48＋6.77×25.8－1.25×25.8

=25.8 ×（4.48＋6.77－1.25）

=25.8 ×10

=258

拓展1计算。

630÷[3.14＋4.5×（3.2－3.12）]

拓展2计算。

（1）95.07－35.43－24.57＋25.93

（2）9.9＋99.9＋999.9＋9999.9

拓展3计算。

（1）2.69×4.56＋4.56×6.31＋4.56

（2）5.45×24×0.2－3.45×4.8

拓展4用简便方法计算。

（1）2.3×5.6＋77×0.56

（2）4.26×52.7＋35.2×5.27＋0.222×527

循环周期

（二）

在日常生活中，经常会有一种按照一定的规律不断重复出现的现象。

如我国的十二生肖，就是按鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这样的顺序不断重复出现的。

在数学中，也常会碰到一些重复出现的问题。

在研究这些问题时，我们不仅要能发现其不断重复出现这一现象，还要找到重复出现的规律，也就是要找出循环的固定数，即一个周期。

如上所述的十二生肖，12种动物循环出现，也就是12个数的循环，周期是12；又如，一个星期有7天，也是一个循环，按星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六这样的顺序不断重复出现，7个数的循环，周期是7。

研究循环周期问题时，还要能根据周期数确定余数，从面根据余数来判定所求的问题

是一个循环中的第几数。

例1假设所有自然数按下面的方式排列起来，那么1826应该在哪个字母的下面？

ABCDE

12345

678910

1112131415

：

：

：

：

：

：

：

：

：

：

：

：

：

：

：

分析从排列情况可知，这此自然数是按从小到大、5个数一个循环排列的，也就是周期是5，从1826里算出有多少个周期，还余几，再根据余数判断1826所在的位置。

解答1826 ÷5=365„„ 1

余数是1，所以1826排在字母A的下面。

例2下面的数是按一定的规律排列的：

5，8，13，21，34，55，89„

从第三个数起，每个数都是前两个数的和，那么在这一串数中，第1001个数被3除后所得的余数是几？

分析如果要找第1001个数是多少，然后再求余数，显然比较困难。

用这一组数分别除以3，所得的余数是否会有什么规律呢？

根据这个思路，依次求出前几个数除以3得到的余数分别是2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0„余数按2，2，1，0，1，1，2，0循环出现，8个数一循环，周期是8，根据这个循环周期可求出第1001个数被3除后所得的余数。

解答5÷3=1„„ 28÷3=2„„ 213÷3=4„„ 1

21 ÷3=7„„ 234÷3=11„„ 155÷3=18„„ 1

89 ÷3=29„„ 2144÷3=38„„ 0233÷3=77„„ 2

377 ÷3=125„„ 2„

余数按2，2，1，0，1，1，2，0这个规律重复出现，周期是8。

1001÷8=125„„ 1

余数是1，就是第一个数除以3所得的余数，所以1001除以3所得的余数2。

拓展16月1日是星期二，6月30日是星期几？

拓展26月1日是星期二，再过30天是星期几？

拓展3连续写100个12，得到一个自然数121212„12，这个数除以7的余数是几？

200位

拓展4720的个位是几？

拓展5a是不为0的自然数，a3的个位数字与a的个位数字一样。

例如当a为4时，a3=64，个位也为4，像这样的自然数a还有很多，如果把它们按从小到大的顺序排列，第35个这样的自然数是多少？

拓展622000被7除余几？

第三讲和差问题

所谓和差问题，一般是知道两个数的和与这两个数的差，分别求出这两个数的应题。

这两个数一个大些，我们称它为大数，一个小些，称它为小数。

我们可以用线段图来表示两个数之间的关系：

大数

差 和

小数

从线段图我们可以知道：

大数=（和＋差）÷2小数=（和－差）÷2根据以上的关系式，我们可以正确解答这类应用题。

例1甲、乙两筐苹果共90千克，从甲筐取出8千克放入乙筐，甲筐比乙筐还多4千克，甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？

分析这是一道和差问题，知道了甲、乙两筐苹果共90千克，但没有直接告诉我们原来两筐苹果的质量差，只是说“从甲筐取出8千克放入乙筐，甲筐比乙筐还多4千克”。

从这个条件我们可以知道，原来甲、乙两筐苹果的质量差。

知道了“和”与“差”，我们可以用和差问题的方法正确解答。

解答8 ×2＋4=20（千克）

（20＋90）÷2=55（千克）

（90－20）÷2=35（千克）

答：

甲筐原有苹果55千克，乙筐原有苹果35千克。

例2学校四、五、六三个年级共植树120棵，四年级比五年级少植8棵，六年级比五年

级多植8棵，三个年级各植树多少棵？

分析这题也是和差问题，它从2个数扩展到3个数。

以五年级植树的棵数为标准，

四年级比五年级少植树8棵，四年级再增加8棵就和五年级同样多；六年级比五年级多8

棵，六年级比五年级多植8棵，六年级去掉8棵就和五年级同样多。

从120棵里加上四年级要增加的，减去六年级要去掉的就是五年级棵数的倍，求出五年级植树棵数，再求出四年级、六年级植树棵数。

解答120 ＋8－8=120（棵）

120 ÷3=40（棵）„„五年级植树棵数

40 －8=32（棵）„„四年级植树棵数

40 ＋8=48（棵）„„四年级植树棵数

答：

四年级植树32棵，五年级植树40棵，六年级植树48棵。

拓展1甲、乙两个数的和是70，甲比乙多16，甲、乙各是多少？

拓展2某校二年级有学生106人，分成了两个班。

如果一班调2个学生到二班去，两个班学生人数就相等。

原来一班和二班各有学生多少人？

拓展3长方形的周长是84厘米，长比宽多8厘米，长方形的面积是多少平方厘米？

拓展4学校进行体检活动，小明和小刚共70千克，小刚和小海共80千克，小海和小明

共66千克，小明、小刚、小海各多少千克？

拓展5兄弟俩共有人民币50元，哥哥给弟弟8元钱后，还比弟弟多2元，哥哥和弟弟原来各有多少钱？

拓展6小明期中考试，语、数、外三门总分270分，语文比数学少10分，外语比数学少

5分，小明三门各考多少分？

第四讲和倍问题

已知两个数的和与它们之间的倍数，分别求出这两个数的应用题叫和倍应用题。

要顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确迅速地列出解答。

例1李爷爷家养了40只鸡，母鸡的只数是公鸡的4倍，李爷爷家养的公鸡和母鸡各有多少只？

由右图可以看出，如果把公鸡的只数看做“1份”，那么，母鸡的只数就有这样的“4份”，公鸡与母鸡的只数和就是4＋1=5（份），5份是40只，就可以求出1份是多少只了。

解答40÷（1＋4）=8（只）8×4=32（只）或40－8=32（只）答：

李爷爷家养了8只公鸡，32只母鸡。

例2商店运来苹果、橘子和香蕉共120千克，苹果的质量比香蕉的2倍多5千克，橘

子的质量比香蕉的3倍少11千克，三种水果各多少千克？

分析：

题目出现苹果、橘子和香蕉三种数量，苹果和橘子的质量都与香蕉有联系，我们可以把香蕉看做1份，画出线段图：

从图上可以香出，苹果去掉5千克就刚好是香蕉

的2倍，橘子增加11千克就刚好是香蕉的3倍，这时三种水果总质量为120－5＋11=126（千克），正好是香蕉质量的1＋2＋3=6（倍）

解答：

（120－5＋11）÷（1＋2＋3）=21（千克）

21×2＋5=47（千克）21 ×3－11=52（千克）

答：

香蕉有21千克，苹果有47千克，橘子有52千克。

例3甲、乙、丙三个数的和是180，甲数是乙数的一半，丙数是乙数的3倍，甲、乙、丙三数各是多少？

分析甲数是乙数的一半，乙数是甲数的2倍，把甲数看做“1份），乙数就是2份，丙数就是2×3=6（份）。

解答180÷（1＋2＋2×3）=2020×2=4040×3=120

答：

甲数是20，乙数是40，丙数是120。

从以上几题的分析可知，和倍问题的基本数量关系式是：

小数=和÷（倍数＋1）

大数=小数×倍数 或 大数=和－小数

拓展1某厂共有职工680人，男工人数是女工人数的4倍，男工、女工各有多少人？

拓展2甲、乙两个数的和是200.2，甲数的小数点向右移动一位就和乙一样大，甲、乙两数各是多少？

拓展3果园里有桃树、犁树和苹果树共200棵，桃树是犁树的3倍，苹果树是桃树的2

倍，三种树各有多少棵？

拓展4一根电线长240米，把它截成三段，使第一段比第二段长20米，第三段是第一段

的2倍，这三段电线各长多少米？

拓展5把一个减法算式的被减数、减数与差相加得数是880，已知减数是差的3倍，减数是多少？

拓展6被除数除以除数，商17余8，已知被除数、除数、商、余数的和是501，被除数、除数各是多少？

第五讲差倍问题

已知两个数的差及这两个数之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题叫差倍应用题。

差倍问题与和倍问题有相似的地方，都要知道两个数的倍数关系，都要先求出1倍数，再求出几倍数；不同之处是和倍问题通过“和”求出一倍数，差倍问题通过“差”求出一倍数。

两类题目都可以用线段图帮助理解韪的数量关系。

例1小时家科技书比故事书少50本，故事书的本数是科技书的6倍，小时家故事书、科技书各有多少本？

分析根据题意，画出线段图：

从线段图上可以看出，科技书的本数为1份，故事书的本数就是6份。

这样，

故事书比科技书多的50本就是6－1=5（份）

，把50平均分成5份，可求出其中的1份数即科技书的本数。

解答50÷（6－1）=10（本）10×6=60（本）答：

科技书有10本，故事书有60本。

例2父亲今年50岁，儿子今年14岁，几年前父亲的年龄是儿子的5倍？

分析：

今年父亲和儿子的年龄差是50－14=36（岁），年龄是同时增加的，所以无论是几年前还是几年后，父亲和儿子的年龄差始终不变，画出父亲的年龄是儿子5倍时的线段图：

从线段图上可知，当父亲年龄是儿子5倍时，父

亲比儿子大的岁数就是儿子年龄的4倍，知道儿

子年龄的4倍是多少，就可以求出儿子当时的年龄。

解答50 －14=36（岁）

36 ÷（5－1）=9（岁）14 －9=5（年）答：

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