两角和差正余弦公式的证明.docx

两角和差正余弦公式的证明.docx

《两角和差正余弦公式的证明.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《两角和差正余弦公式的证明.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。

法进行探讨。

F面我们就它们的推导证明方

由角d,0的三角函数值表示的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公

式的功能。

换言之，要推导两角和差的正余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程

将CLIS（（Tt小或GMaF”）与（I,P的三角函数联系起来。

根据诱导公式，由角0的三角函数可以得到0的三角函数。

因此，由和角公式容

易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。

又因为

即原角的余弦等于其余角的正弦

据此，可以实现正弦公式和余弦

公式的相互推导。

因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到。

（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式

注意到单位圆比较容易表示

SlH和α±0，而且角的终边与单位圆的交点坐标可

以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系

“呦I列与CE，E的三角

函数值的等式。

1.和角余弦公式

（方法1）如图所示，在直角坐标系妨中作单位圆O,并作角起，"和一“，使角优的始边为。

T，交［0于点A，终边交L"于点B;角0始边为（旳，终边交

[0于点C;

角"始边为（ZL,终边交[0于点。

从而点A,B,C和D的坐标分别为

XiL（IO,B（C（K亿dace）,C（攻α+Ef⅛a（cc+∕5）,Q伽霸-dn∕J）O

由两点间距离公式得

Q=（CDS（α+∕J）-l）3+≡Λ2（tt+∕5=2-2cαs（α+/!

）；

BDI=（Cos∕l-OTsα）2+（-⅛ι∕J-anα）2=2-2（CDSaelK/J-si∩csh∕J）O

注意到&跖，因此c□sσtos^SinaEin0o

注记：

这是教材上给出的经典证法。

它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公

式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。

注意，公式中的住和0为任意角。

2.差角余弦公式

也可以

仍然在单位圆的框架下，用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段得到我们希望的三角等式。

这就是

（方法2）如图所示，在坐标系中作单位圆"，并作角伍和"，使角必和0的始边均为Cfc,交DO于点C,角狂终边交OO于点A,角0终边交DO于点O从而点A,B的坐标为朮EftNn,A（CE#TanE）o

由两点间距离公式得

^2=（rasα-cos∕92+（≡α^⅛ι∕D^=2-2⅛wtzcDs∕J+smαsiιι∕J）O

由余弦定理得

Jffl=0/*OB2-IaSDSmZJOB+加-2041WaK（α一肉

=2-2诚!

-妙

从而有cos（6rl∕9cos

注记：

方法2中用到了余弦定理，它依赖于ZAOB是三角形的内角。

因此，还需要补充讨论角化和E的终边共线,以及ZAOS大于Jr的情形。

容易验证，公式在以上情形中依然成立。

在上边的证明中，用余弦定理计算AB）的过程也可以用勾股定理来进行。

也可以用向量法来证明。

⅛l⅛（λA>

曲向秋数址积的崔九W

（ZA∙θβ=If）A*（）fiCCis

）.由向Wftfftftl的坐标表示*有

（λA*（）ħ~（eos<1*SirkU）*（COSSIn；J）

COS（O屏）C门歩αcosASin^sintl

（二）在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式，还可以在三角形中构造和角或差角来

证明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式

（一）

（方法3）如图所示,肋为MJJe的虚边上的高,CE为屈边上的高。

设

JC=SZoω=ff,Z⑻=β,则。

从而有

^£=AcaSa,CE=⅛⅛α,

BE=CEniβ=bmavΛβ

BC=CErSCβ=bdn

因此朋AEIBEtSin（TClIt同

JSB=J4^s⅛α=A（ms

注意到BQ二BC诚I*対二B蚯（ZcXEan（α+∕D,

从而有：

（UKiffJSinffCill/0?

Jnff-JJn（TrΛi√∕jm（ffIID

sn（a+β}=mdosβ+aκasuιβ

注记：

在方法3中，用j4C和与底角CZ,卩相关的三角函数,从两个角度来表示

XC边上高ED，从而得到所希望的等式关系。

这一证明所用的图形是基于钝角三角形

的，对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。

利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的

（方法4）如图所示，IiD为MBC的JC边上的高，CE为屈边上的高。

M扰-心八血0,则山⑷屮。

AEAD

注意到AACjiLWD,则有僅AZI,即。

（方法5）如图所示，CO为人血的曲边上的高。

设厶CiS住

BCAB

-

sΛβSUIa⅛i（ce+∕F）

其中d为445C的外接圆直径。

由j1∕J-J（λ:

OS（TIZJCcOSp得dI肋JSin∕Γ∣Λ∣sfJ*dsiιι亦心“

从而有

an（α÷∕7）=⅛ιcccos∕7+cosα9iι∕?

O

2.和角正弦公式

（二）

方法3,4和5利用的图形框架是将角ff,"放在三角形的两个底角上。

如果将这两

（方法6~11）。

（方法6）如图所示，作J仏丄RC于D,交外接圆于E,连RA和C■£。

设

HAE=a,ZctE=0,则饭E二住，ZCBE=B,皿C=a*0O

设biβC的外接圆直径为d,则有，

ΛE=Jma

JiD=JfSCoSβ=dsn（icosβCE=drn/fCD=CECoSa=tfsmβcos（Z

注意到ΛC=rfan（α+/J）,从而啦α*甸二血αcos0+c∞αs⅛0o

（方法7）如图所示,ED为LiSE的M边上的高,Cfi为曲边上的高。

设

乙姓LFME0,则M4为设CEh,则

JJJ=At3∏∕f,JJC=Asec/?

曲=JE+M=畑狂+阪罚

肋二屈ShH屈OKa=畑α+aQ∞sα

又f>i）-RC^∏（μt/9-AStT7⅛ιn（fft∕0

从而（taιαItan/9cosyset∕fsin（αt斟

整理可得血位I貝血口匚05上｛IC（KCZ血0。

（方法8）如图所示，作劝丄OC于D,过D作QF丄于F,WJ丄胚于G。

设乙40C口，〃。

（：

-"，则//ORU*“,设（MT,从而

RD二Fsia0,仞二FaK0,BG二M曲a二F血EaKa,

GE=HF=ODSiII比=FcOS#血"O

所以RERQlGEr^in^eaS（IIcos∕⅛π（L）O

注意到胚F血©丨切，则有

sin（α*甸=⅛ιαcos0+cosα血0。

注记：

我们用两种不同的方法计算〃也，得到了和角的正弦公式。

如果我们用两种方

法来计算QE,则可以得到和角的余弦公式。

由上图可得

QF=GOCoSa=rc∣B^cπsα

5

EF=（H）=JtOflftg=rj⅛jB¾aftff

从而有M-0F处-厂伽（ZaISIi位IlrID。

注意到f知，

从而可得CaSffern/f口IIaa"。

方法6,7和8都是用角ff,0的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段,从

而构造出我们所希望的等式关系。

（方法9）如图所示，设CD为MJc的曲边上的高。

设口,

ZaM=£^=i,BC=a,从而有

»10=bcosCCJRD—aCgβ

CZ）—frsinα=σsinβ

因此5ac二工MC十S二rβι?

=-ADTCD+-BDJ2D

22

=idCOSOCaSinβ+^aCOSβ∑bsin

二—口αCOSβ+CoS（ZSinβ）

又因为从而可得

SAABC=—ACJBCSillJLIiCB=丄口bsin（cr+Q}

SiIl血+/?

）=SinCyCoSβ+CoSCCSinβ

方法9利用面积关系构造三角恒等式。

下面这两个证法的思路则有所不同。

AB-dCoSβBC=t/sinβ

CD-^SillQrIZλ⅛=^cosa

RD=dsin（α+β}

由托勒密定理知

ΛCZBD=ABS+ADzBC

即dZdsin（α÷jδ）=^CoSSincr÷e∕cosαΞ∕sinβ

整理即得

sin（ff+∕3）-SilldrCOs/?

+COSaSltIβ

ZCAD=a

（方法10）如图所示,设JYJ为人超I的外接圆直径d,长度为d。

设丛忆3,则也必a川,从而

AB-dCOSβBC-rfsinβ

RD=r∕sin（α+β）

由托勒密定理知

ACZBD=ABg+ADzBC

即dZdsin（α÷>β）=^cos∕^sinoJ÷e∕cosαΞ∕sinβ

整理即得

sin（tf+∕3）-SiIlaCOSβ+COSOfSltIβ

注记：

这一证明用到了托勒密定理：

若/C和ED是圆内接四边形的对角线，贝y有

IO=cfCoS∕D∕anα+t∕CoSaQf9n^

（方法ιi）如图所示,ED为的M边上的高。

设ZJlcna,

ZJiCD-β,则ZACB-d∖β。

设皿二^,则

AC=h^eca^C=⅛sec^

9

由正弦定理可得屛

ABACBC

sin（ct+β）sin5SinA

即

从而

即

整理即得

血_/C_JfiC

sιπ（tZ÷^）COSβCOSCr

AB_ΛC+BC

SiileX+Qcos/5+COSa

Λ（tanα+tanβ）_⅛ecα+secj∕¾

WitI（CT+β}CoS0+CQSα

sin（tz+/3）=SillaCDSβ+CoStzsin

方法10和11将某一线段作为基本量，利用与角CE,/F相关的三角函数表示其它线段，再通过联系这些线段的几何定理（托勒密定理或正弦定理）,构造出我们希望的等

式关系。

3.差角正弦公式

仍然还是在三角形中，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。

方法12和13便是用这种想法来证明的。

（方法12）如图所示

ZACR^-

设加C二L如Re=A记肋二山作

E

CD=方SinQDE=bm{a-β）

S

DA-DESeCa=b^n（a-β）s^ca

因此有

AC—CD-∖-DA=b（sinQ十sin（t7-β}SeCOL）

注意到

jffC=⅛cosβAC=JffCtana=⅛cos/Jtana

（方法13）如图所示，曲为A-ISC的外接圆直径，长度为d。

设山4Da,

ZCAD=β,则ZED=β,Zc^li=u-βo从而

-dCOSiZBD=

3

BC-dSin（α-β）AC-dCOS（Cr-β）

DE-.4Z）tanQ=deos仅tan/?

BE=BCSeC/5=i∕siπ（

所以

BD=AE+DE=£（5in（迂—/3）+cosortanβ）

注意到畐D

=^Sinaf^ifn

SitlCf=SilI（Of-β）sec/?

+CClStZtanβ

整理可得

Sin（Cr-Q=Sintrcosβ-COS（Zsinβ

1

方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段，借此来构造等式关

系。

很显然，在这十二种证法中，方法1和2更具普遍性。

换言之，这两种方法中出

现的角a,〃是任意角。

而其余方法中，角□和"则有一定的限制，它们都是三角形的内角（甚至都是锐角）。

因此，对于方法3~13,我们需要将我们的结果推广到角（1和

〃是任意角的情形。

具体而言，我们要证明：

如果公式对任意成立，则对

任意角也成立。

容易验证，角（I和"中至少有一个是轴上角（即终边在坐标轴上的角），我们的

公式是成立的。

下面证明，角CZ和“都是象限角（即终边在坐标系的某一象限中的

角）时，我们的公式也成立。

不妨设代为第二象限角，0为第三象限角，从而有

πr.π

a-2tnπ+-+a.0<αr1<—

2,2

^=（2λ+1）∕t+^<~2nez

因此有

SinOt—COSOfICOSa--SirLafI

Sinβ=-Sinβ1CoSβ=-cosβ1

从而

■■71■-

Sin（Of+目）=sin[（2m^r+—十α1）+（（2n+Ix+吗）]

2

=sin[（2pι+2H+^）π+（α1+^l）]

=-cos（α1+0J

=-cosαLCOS^+smα1SirlA

=CoSa1（-COS∕⅞）+（-Sinafi）（-Sin

-SinaCOSβ+COSaSinβ

同理可证，公式对于象限角1征和0的其它组合方式都成立。

因此，我们可以将方法

的等式或方程；

（3）解决问题：

利用单位圆或三角形作为联系必和0三角函数与E如为或

GnW1JtJ）的工具，寻找我们希望的等式关系；

（4）完善解决问题的方法：

考察方法是否有普遍性。

如果普遍性有欠缺，可考虑将其

化归为已解决的情形，必要时还要进行分类讨论。