第二章 粘性阻力文档格式.docx
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过渡流：
（3.5~5.0）×
105＜Rex＜3.0×
106
湍流状态：
Rex＞3.0×
由边界层理论求得的界层厚度为：
层流边界层：
δ=5.2
（2-1）
紊流边界层：
δ=
（2-2）
边界层理论的重要意义在于它将流体划分为截然不同的两部分，并加以分别处理。
界层外面视为理想流体，可用势流理论求解；
界层内部则为真实流体，须用边界层理论来研究。
需要说明的是在紊流边界层的底部，有一极薄层水流仍为层流，称为层流底层。
这是因为在紧靠物体表面处的水质点的运动速度极低，雷诺数很小，所以呈层流状态。
二、摩擦阻力成因及主要特性
由边界层理论知，当水、空气流经平板表面时，由于流体的粘性作用，在平板表面附近形成界层。
虽然界层厚度δ极小，但界层内流体速度的变化率，即速度梯度很大。
由牛顿内摩擦定律知，平板表面受到的摩擦切应力τ为：
τ=μ
（2-3）
式中μ——流体的动力粘性系数；
əυ/əy——界层内的速度梯度。
尽管所讨论的介质是水，其动力粘性系数μ较小，但由于在界层内的速度梯度əυ/əy很大，所以平板表面上受到的摩擦切应力不能忽略不计。
由上所述，整个平板上所受到的摩擦阻力Rf应是所有摩擦切应力的合力，可表示为：
Rf=
τdS（2-4）
如图2-3所示，设平板宽度为b，则x一段内全部摩擦阻力为Rf，其无量纲形式可表示为：
Cf=Rf/
ρυ2S=2b
τdx/
ρυ2·
2bx=
（2-5）
其中，Cτ=τ
ρυ2称为局部摩擦阻力系数：
Cf为平均摩擦阻力系数，其为局部摩擦阻力系数Cτ在整个x长度范围内的平均值，如图2-4所示。
同时亦可说明平均摩擦阻力系数较同雷诺数的局部摩擦阻力系数为大。
这一结论无论对层流或紊流情况均相同。
下面讨论摩擦阻力的主要特性：
1．摩擦阻力与流态的关系
由上分析知，当流体介质一定时，对于给定的平板，其所受到的摩擦阻力取决于摩擦切应力τ。
由式（2-3）知，τ与界层内的速度分布有关。
界层内为层流和紊流时的流速分布如图2-5所示。
在紊流边界层中，由于水质点互相撞击产生动量交换，以致界层内的速度分布较层流时丰满，因此在相同来流条件下，速度梯度较大，所以其摩擦切应力必然较层流情况为大。
相应的摩擦阻力系数亦大。
2．雷诺数Re对摩擦阻力的影响
在固定流态情况下，摩擦切应力τ随局部雷诺数Rex=
变化而变化：
（1）当来流速度υ不变时，由x增大引起Rex增大时，由式（2-1）或式（2-2）知，界层厚度增加，从而使界层内的速度分布的丰满度有所下降，速度梯度əυ/əy必然随x增大而减小。
故摩擦切应力和局部摩擦阻力系数均随Rex增大而减小。
（2）当x一定，由υ增大使Rex增大时，仍由式（2-1）或式（2-2）知，界层厚度将减薄，从而使界层内流速分布的丰满度增大，摩擦切应力τ随之增大。
应当指出，由流体力学平板界层求解结果知：
摩擦切应力τ随来流υ增加（x一定时）在紊流和层流流动时分别正比于
和
，亦即τ随υ的增大情况均小于υ2关系。
由此知，其局部摩擦阻力系数Cτ仍然是随Rex增大而减小。
由于平均摩擦阻力系数Cf与局部摩擦阻力系数Cτ具有相同的变化规律，因此可推知：
当Re增大时，无论Cτ或Cf均随之下降。
3.摩擦阻力与平板湿面积的关系
平板的摩擦阻力可按（2-4）式计算。
如果流体介质给定，当界层内的流动状态固定时，则意味着动力粘性系数μ和界层内的速度梯度əυ/əy均为常数，因而摩擦切应力τ亦为常数。
显然平板的摩擦阻力值正比于平板的湿面积S。
这一结论对研究船体摩擦阻力具有实用意义。
三、船体边界层
船体表面是个三维曲面，水流经过时，也会产生边界层。
由于船体表面纵向和横向曲率的影响，船体周围的三维边界层与平板的二维边界层有明显的不同。
其主要差别在于：
（1）边界层外缘势流不同：
对于平板，边界层外缘势流的速度和压力均保持不变。
但对于船体这两者沿船体表而均发生变化。
首先，船体表面各处的流速是不同的，船中部大于而首尾两端却小于船的绝对速度。
根据观察，其数值与由理想流体理论计算所得沿船体周围的速度基本相等。
如图2-6所示。
虽然在界层以外的部分也有速度梯度和摩擦切应力，但与界层以内部分相比是很小的，所以粘性影响可以忽略不计。
其次，由于外部势流沿船体表面的流速不同，因而据伯努利方程知，沿船体表面的压力也必不相等，船中较低，首尾较高，即存在纵向压力梯度。
（2）界层内纵向压力分布不同：
根据边界层理论中界层内部压力等于其外缘压力的假定，甲板边界以内纵向压力处处相等，而船体边界层内则存在纵向压力梯度。
即首部压力高，中部较低而尾部又相应有所升高。
由于流体的粘性作用，在这种纵向压力分布情况下，不管尾部是否出现界层分离，均使尾部的压力较首部压力有所下降。
因而船体不但受到摩擦阻力，而且还将受到粘压阻力。
此外，船体边界层在界层相对厚度以及横向绕流对边界层的影响等方面与平板边界层相比亦存在差异。
但是船体摩擦阻力的成因、特性与平板情况基本相同，因此船体摩擦阻力可以应用平板摩擦阻力相同的方法进行处理。
船体摩擦阻力亦可用能量观点作解释：
就某一封闭区而言，当船在静水中航行时，由于粘性作用，必带动一部分水一起运动，这就是边界层。
为了携带这部分水一起前进，在运动过程中船体将不断供给这部分水质点以能量，因而产生摩擦阻力。
2-2摩擦阻力系数计算公式
虽然计算机应用和数值计算均有很大的发展，但要求解像船体这样形状极为复杂的物体的边界层问题仍然是十分困难的。
因此，目前计算船体摩擦阻力均不得不以光滑平板摩擦阻力系数公式为基础。
本节先介绍光滑平板摩擦阻力系数计算公式，然后说明船体摩擦阻力计算的处理方法。
一、光滑平板层流摩擦阻力系数公式
当平板界层内全为层流状态时，勃拉齐（B1asius）早在1908年根据层流界层微分方程式给出了理论上的精确解为：
（2-6）
此式称勃拉齐公式，与实验结果完全相符。
必须说明的是，理论上得到的层流平板摩擦阻力系数的精确计算式，并不适用于造船工程实际，因其对应的雷诺数范围为：
Re＜（3.5~5.0）×
105。
一般船舶的雷诺数在4×
106＜Re＜3×
109，其对应的流动状态应为紊流边界层。
二、光滑平板紊流摩擦阻力系数计算公式
当界层内全为紊流时，即使对于平板，尚无理论上的精确解，而一般的近似计算方法的基础是卡门界层动量积分方程式。
参阅图2-7，设δ为距平板前端x处的界层厚度，根据牛顿第二定律，作用在平板上的摩擦阻力等于单位时间内的动量损失。
而动量损失率等于单位时间内在x处流出的质量ρudy与速度损失（υ-u）的乘积。
所以由平板前端至x处一段内单位宽度平板的摩擦阻力为：
（2-7）
这里υ为边界层外的速度，u为边界层内的速度，又因为：
（2-8）
（2-9）
即
或
（2-10）
式中
称为动量损失厚度。
式（2-10）为光滑平板的动量积分方程，对层流和紊流均适用。
将（2-10）式代入（2-8）式，沿整个平板长度L积分，并注意到x=0时，θ=0；
x=L时，θ=θL，即为平板末端的动量损失厚度，这样可得到仅考虑一侧表面的平板摩擦阻力为：
（2-11）
由此可见，如能确定边界层内的速度分布，则平板紊流摩擦阻力公式即可导出。
通常在运用动量积分方程解决界层问题时，界层内的速度分布情况是假定的。
由于所假定的速度分布形式不同，导出的光滑平板紊流阻力系数计算公式也不相同，现分述如下：
1．速度为指数分布的计算方法
设平板紊流边界层内的速度分布形式为：
（2-12）
根据边界层的实验结果，对于不同的雷诺数，n值是不同的。
当Re＜2×
107时，n=7，代入平板边界层的动量积分方程（2-10），最后得：
Cf=0.072/
（2-13）
经过实验结果修正，光滑平板紊流摩擦阻力系数取为：
（2-14）
2．速度为对数分布的计算方法
如果Re＞2×
107，指数的速度分布规律就不适当，可用对数速度分布求解。
（1）桑海（Schoenherr）公式：
1932年桑海运用对数速度分布规律，并根据平板拖曳试验结果，给出下面公式；
（2-15）
这就是桑海公式，在美国应用最为普遍。
1947年美国船模试验池会议（简称ATTC）决定以该公式作为计算摩擦阻力的标准公式，故此式又称1947ATTC公式。
由于该式在实际计算时较为困难，故当Re在106~109范围内，式（2-15）可化成具有相同结果的简便公式：
（2-16）
（2）柏兰特-许立汀（Prandtl-Schlichting）公式：
柏兰特和许立汀应用上述相同的原则，获得了与（2-16）式形式十分相似的柏兰特-许立汀公式：
（2-17）
此式在欧洲大陆应用最为普遍，过去我国也曾采用过。
（3）休斯（Hughes）公式
因为上述桑海公式及柏兰特-许立汀公式都是根据平板试验结果得来的，分析时都未考虑几何相似问题，因按照相似理论中的雷诺定律，即摩擦阻力系数为雷诺数的函数仅适用于几何相似的平板。
若平板的几何形状不相似，也就是其展弦比，即宽度与长度比B/L不相等时，则其摩擦阻力系数应是雷诺数和B/L两者的函数，即
Cf=f（Re，B/L）（2-18）
由于平板展弦比不同对摩擦阻力系数的影响称为边缘作用。
1952年休斯分析了以往所发表的许多平板数据，证实平板摩擦阻力系数与展弦比有关。
1954年休斯发表了他的平板试验资料，试验平板的雷诺数在Re=2×
104~3×
109，展弦比为0.0156～42。
由此得出展弦比为无穷大的二因次紊流光滑平板公式：
（2-19）
称之为休斯公式。
此式较桑海公式为低，因桑海公式是根据有限展弦比（三因次流动）平板数据外插而得。
3．界层内不同区域的对数速度分布——平板摩擦阻力系数的普遍公式
1953年兰伟培（Landweber）认为紊流平板边界层内的速度分布在不同区域内并不完全相同。
依据与平板表面的距离不同，可以有三种分布规律：
（1）内部速度规律：
应用于邻近平板表面处。
假定边界层内平均速度u的分布与距离平板表面垂直距离y、平板表面处的切应力τ、水的质量密度ρ和运动粘性系数ν等有关，即
u=f（y,τ,ρ,ν）（2-20）
根据量纲分析法的π定理，可得：
（2-21）
其中，uτ=
称为摩擦速度。
兰伟培将各种不同的资料数据，按（2-21）式做成函数关系．如图2-8（a）所示。
由图可见，当
＞30时有：
（2-22）
假定这种关系适用于自平板表面至层流底层的极限处为止。
一般取：
作为层流底层的极限，设δ0为层流底层的厚度，则
（2-23）
（2）外部速度规律：
应用于距平板表面一定距离处，那里紊流占支配地位。
速度损失（υ-u）可表示为：
（2-24）
将不同的资料数据，绘成如图2-8（b）所示，可见当
＜0.16时，速度损失可表示为：
（2-25）
假定这种关系适用于自层流底层厚度极限处至边界层外缘为止。
这就是外部速度分布规律。
（3）内外部速度规律的交叉：
由上可知，当
＞30和
＜0.16时，即在层流底层与紊流区之间的过渡区，内部和外部速度规律都适用，且服从线性对数规律，其形式可以为：
（2-26）
（2-27）
其中a、b、k分别为常数，内部和外部速度规律均适用的范围为自δ0至δ1为止，如图2-9所示。
而δ0由（2-23）式给出，δ1=0.16δ。
兰伟培应用上述内部和外部规律得到了平板摩擦阻力系数与雷诺数Re之间的一般关系式：
（2-28）
式（2-28）称为平板摩擦阻力的普遍公式，其中β、γ为边界层常数，A为级数展开式的系数。
只要对（2-28）式作—定的简化就可以得到某些常用的平板公式。
如忽略（2-28）式中
的高阶项，同时，含有
的项相对lnRe项来说是小量，并可认为
与1/
成线性关系，即有：
则（2-28）式即变成桑海公式的形式：
（2-29）
同样，如果对（2-28）式的其它项分别应用线性化假定，则可得相应的平板摩擦阻力系数公式，在此不作详述。
三、1957ITTC公式
已有的各光滑平板摩擦阻力公式的计算结果虽然很接近，但还有一定的差别。
尤其在把船模试验结果换算到实船时，由于应用公式不同，计算所得的实船阻力均存在不同程度的差别。
为此1957年在西班牙马德里召开的第八届国际船模试验池会议（简称ITTC）上根据分析几何相似船模阻力试验结果，认为桑海公式等在低雷诺数时所得的数值偏低。
最后提出下列新公式，叫做“1957年国际船模试验池实船-船模换算公式”，简称1957ITTC公式：
（2-30）
应该指出，1957ITTC公式并不完全是紊流光滑平板摩擦阻力系数公式，它专用于船模和实船的阻力换算。
我国现用ITTC公式。
图2-10是按照不同公式计算所得的摩擦阻力系数曲线，由图知，在低雷诺数时，ITTC公式的坡度较其他各式为陡；
而在高雷诺数时，此式与桑海公式相差甚微。
ITTC公式与休斯公式在形式上十分相似，但其数值约大12.5%，而柏兰特-许立汀公式与桑海公式不但在形式上极为相似，且其数值上至多约大2.0%～2.5%。
四、过渡流平板摩擦阻力系数公式
根据边界层理论知，界层内的流动状态取决于雷诺数。
靠近平板前端，局部雷诺数比较小，所以产生层流。
随着局部雷诺数的增高，则产生过渡流，直到最后完全呈紊流状态。
所以，在平板边界层内三种流动情况都存在着。
若平板的雷诺数Re较大，则紊流部分很大，基本上是紊流阻力。
前端的层流和过渡流对整个平板的阻力影响较小。
反之，Re较小时，前端尾流和过渡流占整个平板界层的较大部分，以致对整个平板的平均阻力产生明显影响。
过渡流平板摩擦阻力系数可按柏兰特所给出的半经验公式计算：
（2-31）
为层流影响修正值。
显见当Re很大时，该值趋于零，上式即成为柏兰特-许立汀公式。
这说明平板界层内紊流占绝对主要部分，所以可按全部紊流平板公式计算。
图2-10中同时给出了按（2-31）式计算的摩擦阻力系数曲线（曲线2）。
五、船体摩擦阻力计算的处理方法
船体表面是个三维曲面，目前还没有直接能用于计算船体摩擦阻力的可靠公式，而只是在“相当平板”假定的前提下，应用平板摩擦阻力公式来计算船体的摩擦阻力。
“相当平板”假定认为：
实船或船模的摩擦阻力分别等于与其同速度、同长度、同湿面积的光滑平板摩擦阻力。
这样，当已知船的水线长Lwl，航速Vs，及湿表面积S就可以利用平板摩擦阻力公式来计算船体摩擦阻力。
应该指出的是：
在应用试验方法研究船的快速性问题时，由于模型与实船（或实桨）之间的绝对尺度不同，且不能同时满足所有的有关的动力相似定律，因而引起某些力、力矩、或压力系数甚至流态等性能方面的差别，这种差别称为尺度效应或尺度作用。
显然应用相当平板假定计算船体摩擦阻力时，必须注意到船模与实船之间的尺度效应问
题。
因为与实船相比，船模的尺度较小，同时又为了满足傅汝德定律，所以其速度也较低。
因而实船与船模的雷诺数是不同的，两者的摩擦阻力系数的差别称为摩擦阻力尺度效应。
在实船-船模阻力换算过程中，考虑到这种差别称为“摩擦阻力修正”或“尺度效应修正”。
相当平板假定忽略了实际船体与“光滑平板”间的重要差别，其中最主要的是船体表面弯曲度和粗糙度的影响。
这些因素对摩擦阻力的影响作用以及处理方法必须予以研究。
§
2-3船体表面弯曲度对摩擦阻力的影响
由于船体表面是三维曲面，其周围的流动情况与平板有着明显的不同，因而船体摩擦阻力与平板摩擦阻力亦有所差别。
一、船体表面弯曲度对摩擦阻力的影响
当水流流经具有纵向弯曲的船体表面时，各处的流速是不同的。
总的说来，船体表面的大部分与水流的相对速度较船速υ为大，而仅首尾两端附近较υ为小。
因此，水流的平均速度有所增加。
但平板各处与水流的相对速度都等于其绝对前进速度．既然纵向弯曲表面的水流之平均相对速度较平板情况为大，其平均边界层厚度必较薄。
这将导致速度梯度和摩擦阻力增大。
船体横向弯曲的影响与纵向弯曲情况相同。
实际测量结果指出，具有横向弯曲处其边界层厚度较相当平板为薄，在曲度较大的舭部尤为显著。
所以阻力也相应增大。
此外，有时船首处的边界层流至舭部处，往往会分成纵向和横向
流动，其结果使舭部所受的局部摩擦阻力增大。
船体表面弯曲度的另一个影响方面是由于弯曲表面易发生边界层分离以致产生旋涡，如图2-11所示。
旋涡区的出现不但改变了外部流线，且旋涡区的水流速度较低，该处的摩擦阻力随之减小。
由此可见，船体弯曲表面的影响相当复杂，傅汝德假定具有一定的近似性。
由于船体弯曲表面影响使其摩擦阻力与相当平板计算所得结果的差别称为形状效应。
二、船体形状效应的修正
多年来对船体表面弯曲度的影响进行过许多理论和试验研究。
史高斯用理论方法计算了在无分离情况下的二因次对称扁柱和三因次回转体的摩擦阻力，计算结果如图2-12所示。
图中n为弯曲表面的摩擦阻力与相当平板的摩擦阻力之比。
由图可见：
弯曲表面情况下的摩擦阻力均较相当平板时为大，且随着厚度比T/C，即弯曲度增大而增大；
同时亦可看到由于二因次对称扁柱与水流的平均相对速度较三因次回转体为大，因而平均界层厚度较薄，所以摩擦阻力的增加更为显著。
史高斯得出的另一个重要结论是，由于表面弯曲所增加的摩擦阻力与相当平板摩擦阻力的百分比可认为与雷诺数无关。
对于船体弯曲表面的研究表明，船体的摩擦阻力的确大于相当平板的摩擦阻力。
但是这种阻力的增加量是比较小的，其原因在于由于弯曲表面引起的摩擦阻力的增大与分离点后旋涡区域摩擦阻力的减小有所抵消。
考虑到各种因素之间的相互抵消作用，因此傅汝德假定在实用上不致发生很大误差。
对形状效应问题，许多人进行过研究，对船体弯曲度的修正也提出了一些具体方法，但至今未有定论。
汤恩假定船在运动过程中产生平行下沉现象的主要原因在于船体表面弯曲。
因其使船底平均流速增加而造成压力下降。
根据伯努利方程，平均相对水流流速υm与平行下沉Δz之间的关系是：
所以
（2-32）
其中υ0为绝对前进速度，Δz可以由船模试验时测量得到，因为舷侧接近直壁，故不考虑船侧的速度变化。
但汤恩认为舷侧与船底具有相同的速度增加，即认为船体周围的流速均为υm。
故船体弯曲表面所增加的摩擦阻力ΔRf与相当平板摩擦阻力Rf之间的关系为：
（2-33）
在分析大量船模试验结果的基础上，汤恩给出下列经验公式：
（2-34）
以上公式适用于Fr=0.10~0.35。
由汤恩公式可说明船体弯曲表面所增加的摩擦阻力与船体形状有关。
不少人认为，船体弯曲表面的摩擦阻力较平板时有所增加是由于船体表面纵向曲率引起的，因此其摩擦阻力的增加值主要与长宽比L/B有关，L/B越小，这个增加量就越大，若L/B越大，则增加量就越小。
引入形状效应修正因子kt，则船体表面的摩擦阻力可定义为：
（2-35）
系按相当平板计算所得的摩擦阻力。
形状效应修正因子kt可由图2-13查得，或由阿普赫金（Апухтин）给出的与L/B成线性关系求得，如图中虚线所示。
由图可见，船体弯曲度对摩擦阻力的影响并不显著，故一般认为想通过改变船体线型的办法来减小摩擦阻力，其效果是不大的。
同时，由于目前对形状效应的修正尚无公认的办法，故一般对此不作修正。
但是应该指出，这部分的影响可以合并到船体粘压阻力中去。
因为它也是船体形状的函数，故可与粘压阻力合并，并由试验来确定。
2-4船体表面粗糙度对摩擦阻力的影响
实践证明，船体表面粗糙度对摩擦阻力的影响是很显著的。
对船体阻力来说，由于表面粗糙度而增加的阻力占有相当的百分比，因此研究粗糙度问题在整个阻力问题中占有相当重要的地位。
船体表面粗糙度可分成两类：
普遍粗糙度和局部粗糙度。
普遍粗糙度，又称漆面粗糙度，主要是油漆面的粗糙度和壳板表面的凹凸不平等。
局部粗糙度又称结构粗糙度，主要为焊缝、铆钉、开孔以及突出物等粗糙度。
显然，即使是新建船舶，其船体表面同样存在着粗糙度。
至于已使用过或长期停泊的船，则还有污底影响以及油漆剥落等现象，更增加了船体表面的粗糙度，导致阻力的急剧增加。
船体表面粗糙度对摩擦阻力的影响既显著又敏感，试验证明微小的粗糙度会导致摩擦阻力较大的增加。
相同粗糙度的平板因敷涂油漆不同所增加的阻力可能相差很多，甚至使用相同油漆而仅涂刷方法不同，所增加的阻力也有相当差别。
姐妹船在试航情况下，所需主机功率有时相差可达15%。
其根源可能是因表面粗糙度不同而引起的。
为了计算不同粗糙度情况下的船体摩擦阻力，不少人曾从事这方面的研究工作。
一、普遍粗糙度
船体普遍粗糙度所研究的是带有均布性质的粗糙因素，重点在于对漆面粗糙度的研究。
为了研究漆面粗糙
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