如何计算某一天是星期几.docx

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如何计算某一天是星期几

如何计算某一天是星期几?

——蔡勒（Zeller）公式

历史上的某一天是星期几？

未来的某一天是星期几？

关于这个问题，有很多计算公式（两个通用计算公式和一些分段计算公式），其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式。

即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26（m+1）/10]+d-1

公式中的符号含义如下，w：

星期；c：

世纪-1；y：

年（两位数）；m：

月（m大于等于3，小于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算，比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算）；d：

日；[]代表取整，即只要整数部分。

（C是世纪数减一，y是年份后两位，M是月份，d是日数。

1月和2月要按上一年的13月和14月来算，这时C和y均按上一年取值。

）

算出来的W除以7，余数是几就是星期几。

如果余数是0，则为星期日。

以2049年10月1日（100周年国庆）为例，用蔡勒（Zeller）公式进行计算，过程如下：

蔡勒（Zeller）公式：

w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26（m+1）/10]+d-1

=49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26×（10+1）/10]+1-1

=49+[12.25]+5-40+[28.6]

=49+12+5-40+28

=54（除以7余5）

即2049年10月1日（100周年国庆）是星期5。

你的生日（出生时、今年、明年）是星期几？

不妨试一试。

不过，以上公式只适合于1582年10月15日之后的情形（当时的罗马教皇将恺撒大帝制订的儒略历修改成格里历，即今天使用的公历）。

过程的推导:

（对推理不感兴趣的可略过不看）

星期制度是一种有古老传统的制度。

据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六天时间创世纪，第七天休息，所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生活，而星期日是休息日。

从实际的角度来讲，以七天为一个周期，长短也比较合适。

所以尽管中国的传统工作周期是十天（比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”，即是指官员的工作每十日为一个周期，第十日休假），但后来也采取了西方的星期制度。

在日常生活中，我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。

有时候，我们还想知道历史上某一天是星期几。

通常，解决这个方法的有效办法是看日历，但是我们总不会随时随身带着日历，更不可能随时随身带着几千年的万年历。

假如是想在计算机编程中计算某一天是星期几，预先把一本万年历存进去就更不现实了。

这时候是不是有办法通过什么公式，从年月日推出这一天是星期几呢？

答案是肯定的。

其实我们也常常在这样做。

我们先举一个简单的例子。

比如，知道了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出来。

我们可以掰着指头从1日数到31日，同时数星期，最后可以数出5月31日是星期一。

其实运用数学计算，可以不用掰指头。

我们知道星期是七天一轮回的，所以5月1日是星期六，七天之后的5月8日也是星期六。

在日期上，8-1=7，正是7的倍数。

同样，5月15日、5月22日和5月29日也是星期六，它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28，也都是7的倍数。

那么5月31日呢？

31-1=30，虽然不是7的倍数，但是31除以7，余数为2，这就是说，5月31日的星期，是在5月1日的星期之后两天。

星期六之后两天正是星期一。

这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路：

首先，先要知道在想算的日子之前的一个确定的日子是星期几，拿这一天做为推算的标准，也就是相当于一个计算的“原点”。

其次，知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天，用7除这个日期的差值，余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。

如果余数是0，就表示这两天的星期相同。

显然，如果把这个作为“原点”的日子选为星期日，那么余数正好就等于星期几，这样计算就更方便了。

但是直接计算两天之间的天数，还是不免繁琐。

比如1982年7月29日和2004年5月1日之间相隔7947天，就不是一下子能算出来的。

它包括三段时间：

一，1982年7月29日以后这一年的剩余天数；二，1983-2003这二十一个整年的全部天数；三，从2004年元旦到5月1日经过的天数。

第二段比较好算，它等于21*365+5=7670天，之所以要加5，是因为这段时间内有5个闰年。

第一段和第三段就比较麻烦了，比如第三段，需要把5月之前的四个月的天数累加起来，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。

同理，第一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来，再加上7月剩下的天数，一共是155天。

所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。

仔细想想，如果把“原点”日子的日期选为12月31日，那么第一段时间也就是一个整年，这样一来，第一段时间和第二段时间就可以合并计算，整年的总数正好相当于两个日子的年份差值减一。

如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日（或者天文学家所使用的公元0年12月31日），这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。

这样简化之后，就只须计算两段时间：

一，这么多整年的总天数；二，想算的日子是这一年的第几天。

巧的是，按照公历的年月设置，这样反推回去，公元前1年12月31日正好是星期日，也就是说，这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。

那么现在的问题就只有一个：

这么多整年里面有多少闰年。

这就需要了解公历的置闰规则了。

我们知道，公历的平年是365天，闰年是366天。

置闰的方法是能被4整除的年份在2月加一天，但能被100整除的不闰，能被400整除的又闰。

因此，像1600、2000、2400年都是闰年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。

公元前1年，按公历也是闰年。

因此，对于从公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年中的闰年数，就等于[（Y-1）/4]-[（Y-1）/100]+[（Y-1）/400]，

[...]表示只取整数部分。

第一项表示需要加上被4整除的年份数，第二项表示需要去掉被100整除的年份数，第三项表示需要再加上被400整除的年份数。

之所以Y要减一，这样，我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式：

W=（Y-1）*365+[（Y-1）/4]-[（Y-1）/100]+[（Y-1）/400]+D．

（1）

其中D是这个日子在这一年中的累积天数。

算出来的W就是公元前1年（或公元0年）12月31日到这一天之间的间隔日数。

把W用7除，余数是几，这一天就是星期几。

比如我们来算2004年5月1日：

W=（2004-1）*365+[（2004-1）/4]-[（2004-1）/100]+[（2004-1）/400]+（31+29+31+30+1）

=731702，

731702/7=104528……6，余数为六，说明这一天是星期六。

这和事实是符合的。

上面的公式

（1）虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。

仔细想想，其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。

这启发我们是不是可以简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数来代替，用数论上的术语来说，就是找一个和它同余的较小的正整数，照样可以计算出准确的星期数。

显然，W这么大的原因是因为公式中的第一项（Y-1）*365太大了。

其实，

（Y-1）*365=（Y-1）*（364+1）

=（Y-1）*（7*52+1）

=52*（Y-1）*7+（Y-1），

这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数为0，因此（Y-1）*365除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。

这个关系可以表示为：

（Y-1）*365≡Y-1（mod7）．

其中，≡是数论中表示同余的符号，mod7的意思是指在用7作模数（也就是除数）的情况下≡号两边的数是同余的。

因此，完全可以用（Y-1）代替（Y-1）*365，这样我们就得到了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式：

W=（Y-1）+[（Y-1）/4]-[（Y-1）/100]+[（Y-1）/400]+D．

（2）

这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，因为累积天数D的计算也比较麻烦。

是不是可以用月份数和日期直接计算呢？

答案也是肯定的。

我们不妨来观察一下各个月的日数，列表如下：

月份：

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

--------------------------------------------------------------------------

天数：

3128（29）31303130313130313031

如果把这个天数都减去28（=4*7），不影响W除以7的余数值。

这样我们就得到另一张表：

月份：

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

------------------------------------------------------------------------

剩余天数：

30

（1）3232332323

平年累积：

33681113161921242629

闰年累积：

34791214172022252730

仔细观察的话，我们会发现除去1月和2月，3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,3；8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个重复。

相应的累积天数中，后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。

正是因为这种规律的存在，平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达：

╭d；（当M＝1）

D={31+d；（当M＝2）（3）

╰[13*（M+1）/5]-7+（M-1）*28+d+i．（当M≥3）

其中[...]仍表示只取整数部分；M和d分别是想算的日子的月份和日数；平年i=0，闰年i=1。

对于M≥3的表达式需要说明一下：

[13*（M+1）/5]-7算出来的就是上面第二个表中的平年累积值，再加上（M-1）*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。

这是一个很巧妙的办法，利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。

比如，对2004年5月1日，有：

D=[13*（5+1）/5]-7+（5-1）*28+1+1=122，这正是5月1日在2004年的累积天数。

假如，我们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”，不仅仍然符合这个公式，而且因为这样一来，闰日成了上一“年”（一共有14个月）的最后一天，成了d的一部分，于是平闰年的影响也去掉了，公式就简化成：

D=[13*（M+1）/5]-7+（M-1）*28+d．（3≤M≤14）（4）

上面计算星期几的公式，也就可以进一步简化成：

W=（Y-1）+[（Y-1）/4]-[（Y-1）/100]+[（Y-1）/400]+[13*（M+1）/5]-7+（M-1）*28+d．

因为其中的-7和（M-1）*28两项都可以被7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变，

公式变成：

W=（Y-1）+[（Y-1）/4]-[（Y-1）/100]+[（Y-1）/400]+[13*（M+1）/5]+d．（5）

当然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月，因此在计算1月和2月的日子

的星期时，除了M要按13或14算，年份Y也要减一。

比如，2004年1月1日是星期四，用这

个公式来算，有：

W=（2003-1）+[（2003-1）/4]-[（2003-1）/100]+[（2003-1）/400]+[13*（13+1）/5]

+1

=2002+500-20+5+36+1

=2524；

2524/7=360……4．这和实际是一致的。

公式（5）已经是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还不是最简练的，对于年份的处理还有改进的方法。

我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期，列表如下：

年份：

1（401,801,…,2001）101（501,901,…,2101）

--------------------------------------------------------------------

星期：

42

==============================================

年份：

201（601,1001,…,2201）301（701,1101,…,2301）

--------------------------------------------------------------------

星期：

05

可以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。

假如我们把301（701,1101,…,2301）年3月1日的星期数看成是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可以做这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。

据此，我们可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式：

W=（4-Cmod4）*2-4．（6）

式中，C是该世纪的世纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。

比如，对于2001年3月1日，C=20，则：

W=（4-20mod4）*2-4

=8-4

=4．

把公式（6）代入公式（5），经过变换，可得：

（Y-1）+[（Y-1）/4]-[（Y-1）/100]+[（Y-1）/400]≡（4-Cmod4）*2-1

（mod7）．（7）

因此，公式（5）中的（Y-1）+[（Y-1）/4]-[（Y-1）/100]+[（Y-1）/400]这四项，在计算每个世纪第一年的日期的星期时，可以用（4-Cmod4）*2-1来代替。

这个公式写出来就是：

W=（4-Cmod4）*2-1+[13*（M+1）/5]+d．（8）

有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式，计算这个世纪其他各年的日期星期的公式就很容易得到了。

因为在一个世纪里，末尾为00的年份是最后一年，因此就用不着再考虑“一百年不闰，四百年又闰”的规则，只须考虑“四年一闰”的规则。

仿照由公式

（1）

简化为公式

（2）的方法，我们很容易就可以从式（8）得到一个比公式（5）更简单的计算任意一天是星期几的公式：

W=（4-Cmod4）*2-1+（y-1）+[y/4]+[13*（M+1）/5]+d．（9）

式中，y是年份的后两位数字。

如果再考虑到取模运算不是四则运算，我们还可以把（4-Cmod4）*2进一步改写成只含四则运算的表达式。

因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系：

4q+r=C，

其中r即是Cmod4，因此，有：

r=C-4q

=C-4*[C/4]．（10）

则

（4-Cmod4）*2＝（4-C+4*[C/4]）*2

＝8-2C+8*[C/4]

≡[C/4]-2C+1（mod7）．（11）

把式（11）代入（9），得到：

W=[C/4]-2C+y+[y/4]+[13*（M+1）/5]+d-1．（12）

这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W，再除以7，得到的余数是几就表示这一天是星期几，唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月，C和y都按上一年的年份取值。

因此，人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的公式。

这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（ChristianZeller,1822-1899）在1886年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller’sFormula）。

为方便口算，式中的[13*（M+1）/5]也往往写成[26*（M+1）/10]。

现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期，显然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒公式，有：

W=[20/4]-40+4+1+[13*（5+1）/5]+1-1

=-15．

注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。

为了方便计算，我们可以给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上70，得到55。

再除以7，余6，说明这一天是星期六。

这和实际是一致的，也和公式

（2）计算所得的结果一致。

最后需要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高利历）的置闰规则来考虑的。

对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是：

W=5-C+y+[y/4]+[13*（M+1）/5]+d-1．（13）

这样，我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。

∙用这个天数除以7,余数加上起始这天的星期数就可以了.例如星期一之后10天是星期四.12个代表数字：

一月2二月5三月5 四月1五月3六月6 七月1八月4九月0          十月2十一月5十二月0

∙1条计算公式:

（日数+月代表数字）÷7=a余b

这也不难，只要会两位数减法就可以了，一年为52周＋1天，即一年后的同一天在星期几上后错一天；当年的日期也可以作类似计算,方法为：

1、背下某一个月的日历（如1月）

2、算出同一年指定一天的日子（如三月十五，则以一月十五星期几加3）

3、算出任一年同一日子星期几（如五年后，则以2中结果加6或7，看有几个闰年）

先看今天几号,星期几,再看离那天有几天,用天数除以7,用除得的余数加今天星期数就是那天星期数（这个"今天”由你算那天定）