必修4第一章三角函数单元测试卷(含详细解答)文档格式.doc
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6．若=（ ）
7．既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（ ）
y=sinx
y=cosx
y=sin2x
y=cos2x
8．设，，，则（ ）
a＜b＜c
a＜c＜b
b＜c＜a
b＜a＜c
9．函数y=2sin（﹣2x），x∈[0，π]）为增函数的区间是（ ）
[0，]
[，]
[，π]
10．要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（ ）
向左平移1个单位
向右平移1个单位
向左平移个单位
向右平移个单位
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．已知点P（﹣3，4）在角α的终边上，则sinα= _________ ．
12．若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα= _________ ．
13．已知f（x）=，则f（）= _________ ．
14．函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 _________ ．
15．函数的图象为C，如下结论中正确的是 _________ ．（写出所有正确结论的编号）
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数f（x）在区间内是增函数；
④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．
三．解答题（共6小题）
16．已知扇形的周长是8，
（1）若圆心角α=2，求弧长l（注）
（2）若弧长为6，求扇形的面积S．
17．已知cosa=﹣，a为第二象限角，求sina，tana．
18．已知．
（1）求sinx﹣cosx的值；
（2）求的值．
19．已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，﹣2）．
（1）求A和ω的值；
（2）已知α∈（0，），且，求f（α）的值．
20．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一部分如图所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的单调区间．
21．如图是函数的一段图象．
（I）求φ的值及函数f（x）的解析式；
（II）求函数的最值及零点．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）（2005•陕西）已知α为第三象限角，则所在的象限是（ ）
考点：
象限角、轴线角；
角的变换、收缩变换．501974
分析：
α为第三象限角，即k∈Z，表示出，然后再判断即可．
解答：
解：
因为α为第三象限角，即k∈Z，
所以，k∈Z当k为奇数时它是第四象限，当k为偶数时它是第二象限的角．
故选D．
点评：
本题考查象限角，角的变换，是基础题．可以推广到其它象限．
2．（5分）（2007•北京）已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（ ）
象限角、轴线角．501974
专题：
计算题．
根据cosθ•tanθ＜0和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角θ所在的象限．
∵cosθ•tanθ＜0，∴角θ是第三或第四象限角，
故选C．
本题的考点是三角函数值得符号判断，需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行判断．
3．（5分）（2007•怀柔区模拟）下列各角中，与30°
终边相同的角．501974
根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与30°
的角终边相同的角α的集合，分析题目中的四个答案，找出是否存在满足条件的k值，即可得到答案．
∵与30°
的角终边相同的角α的集合为
{α|α=30°
+k•360°
，k∈Z}
当k=1时，α=390°
故选D
本题考查的知识点是终边相同的角，其中根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，表示出与30°
的角终边相同的角α的集合，是解答本题的关键．
4．（5分）（2012•辽宁）已知，则tanα=（ ）
同角三角函数间的基本关系．501974
由条件可得1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，从而求得tanα的值．
∵已知，∴1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，tanα=﹣1．
故选A．
本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得α=，是解题的关键，属于基础题．
5．（5分）（2013•石家庄二模）tan（﹣1410°
运用诱导公式化简求值．501974
三角函数的求值．
利用诱导公式把要求的式子化为tan30°
，从而求得结果．
tan（﹣1410°
）=tan（﹣180°
×
8+30°
）=tan30°
=，
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
6．（5分）（2012•茂名一模）若=（ ）
利用诱导公式化简已知等式的左边，求出cosα的值，再由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，再将所求式子中的角度变形后，利用诱导公式变形后，将sinα的值代入即可求出值．
∵cos（π+α）=﹣cosα=，
∴cosα=﹣，又π＜α＜π，
∴sinα=﹣=﹣，
则sin（5π﹣α）=sin[4π+（π﹣α）]=sin（π﹣α）=sinα=﹣．
此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，灵活变换角度，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．（5分）（2013•上海）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（ ）
余弦函数的奇偶性；
余弦函数的单调性．501974
三角函数的图像与性质．
根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论．
由于函数y=sinx和y=sin2x都是奇函数，故排除A、C．
由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件．
由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于π，在（0，）上是减函数，在（，π）上是增函数，故不满足条件．
故选B．
本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
8．（5分）（2008•天津）设，，，则（ ）
正弦函数的单调性；
不等式比较大小；
余弦函数的单调性；
正切函数的单调性．501974
压轴题．
把a，b转化为同一类型的函数，再运用函数的单调性比较大小．
∵，b=．
而＜，sinx在（0，）是递增的，
所以，
此题考查了三角函数的单调性以及相互转换．
9．（5分）（2004•天津）函数y=2sin（﹣2x），x∈[0，π]）为增函数的区间是（ ）
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．501974
先根据诱导公式进行化简，再由复合函数的单调性可知y=﹣2sin（2x﹣）的增区间可由y=2sin（2x﹣）的减区间得到，再由正弦函数的单调性可求出x的范围，最后结合函数的定义域可求得答案．
由y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣）其增区间可由y=2sin（2x﹣）的减区间得到，
即2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z
∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．
令k=0，≤x≤，
本题主要考查三角函数诱导公式的应用和正弦函数的单调性．考查基础知识的综合应用和灵活能力，三角函数的知识点比较多，内容比较琐碎，平时要注意积累基础知识．
10．（5分）（2012•安徽）要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（ ）
常规题型．
化简函数y=cos（2x+1），然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可．
因为函数y=cos（2x+1）=cos[2（x+）]，
所以要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象向左平移个单位．
本题考查三角函数的图象的平移变换，注意平移时x的系数必须是“1”．
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）（2012•顺义区二模）已知点P（﹣3，4）在角α的终边上，则sinα= ．
任意角的三角函数的定义．501974
由于已知点P（﹣3，4）在角α的终边上，可得x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，再由sinα=，求得结果．
∵已知点P（﹣3，4）在角α的终边上，∴x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，
则sinα==，
故答案为．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
12．（5分）（2011•重庆）若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα= ．
根据α∈（π，），cosα=﹣，求出sinα，然后求出tanα，即可．
因为α∈（π，），cosα=﹣，所以sinα=﹣，所以tanα==
故答案为：
本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，注意角所在的象限，三角函数值的符号，是本题解答的关键．
13．（5分）（2012•宿州三模）已知f（x）=，则f（）= ﹣ ．
由题意可得f（）=f（﹣）=sin（﹣），利用诱导公式求出结果．
∵已知f（x）=，则f（）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣，
故答案为﹣．
本题主要考查利用诱导公式求三角函数值，属于基础题．
14．（5分）（2005•上海）函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 （1，3） ．
正弦函数的图象．501974
压轴题；
数形结合．
根据sinx≥0和sinx＜0对应的x的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出k的取值范围．
由题意知，，
在坐标系中画出函数图象：
由其图象可知当直线y=k，k∈（1，3）时，
与f（x）=sinx+2|sinx|，
x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点．
（1，3）．
本题的考点是正弦函数的图象应用，即根据x的范围化简函数解析式，根据正弦函数的图象画出原函数的图象，再由图象求解，考查了数形结合思想和作图能力．
15．（5分）（2007•安徽）函数的图象为C，如下结论中正确的是 ①②③ ．（写出所有正确结论的编号）
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；
正弦函数的对称性．501974
综合题；
整体思想．
把代入求值，只要是的奇数倍，则①正确，把横坐标代入求值，只要是π的倍数，则②对；
同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x=x﹣代入进行化简，再比较判断④是否正确．
①、把代入得，，故①正确；
②、把x=代入得，，故②正确；
③、当时，求得，故③正确；
④、有条件得，，故④不正确．
①②③．
本题考查了复合三角函数图象的性质和图象的变换，把作为一个整体，根据条件和正弦函数的性质进行求解以及判断，考查了整体思想．
三．解答题（共6小题）
扇形面积公式；
弧长公式．501974
（1）直接利用，求出扇形的弧长．
（2）求出扇形的半径，利用面积公式求出扇形的面积．
扇形的周长是8，
（1）若圆心角α=2，弧长l，所以l=2r，l+2r=8，所以l=4，；
（2）若弧长为6，半径r=1，所以扇形的面积S=．
本题是基础题，考查扇形的周长与面积的计算问题，正确利用公式是解题的关键．
17．已知cosa=﹣，a为第二象限角，求sina，tana．
同角三角函数间的基本关系；
先根据α所在的象限，判断出sinα的正负，进而根据同角三角函数的基本关系，利用cosα的值求得sinα，进而求得tanα的值．
∵a为第二象限角，
∴sinα＞0
∴sinα==
tanα==﹣
本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．注意根据角的范围确定三角函数的正负号．
18．已知．
运用诱导公式化简求值；
（1）利用同角三角函数基本关系式直接求出sinx和cosx的值，进而求出结果．
（2）先利用诱导公式化简所求的式子，将原式分子分母同除以cos2x，转化成tanx的表达式去解．
∵
sinx=﹣2cosx，又sin2x+cos2x=1，∴5cos2x=1，
∴
（1）
（2）原式=
=…（12分）
本题考查同角三角函数基本关系式的应用和三角函数的诱导公式，计算要准确，属于中档题．
19．（2012•广州二模）已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，﹣2）．
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；
三角函数的恒等变换及化简求值．501974
（1）由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅A值，相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期，即可求得函数的周期，进而得ω的值
（2）先利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式计算sin2α、cos2α的值，再利用
（1）中结论，将f（α）化简，代入sin2α、cos2α的值求值即可
（1）∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，﹣2）．
∴A=2，T=2×
（﹣）=π
∴ω==2
∴A=2，ω=2
（2）∵α∈（0，），且，∴cosα=
∴sin2α=，cos2α=1﹣2sin2α=﹣
由
（1）知
=sin2α﹣cos2α
=+
=
本题主要考察了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式在三角化简和求值中的应用，属基础题
20．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一部分如图所示：
正弦函数的单调性．501974
（1）由图象直接求出A和T，可求ω，根据特殊点（，2）求出φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据正弦函数的单调性直接求出函数的单调增区间和单调减区间即可．
（1）由图可知A=2T=π∴ω=2
当时f（x）取最大值∴φ=∴φ=符合条件
∴f（x）=2sin（2x+）（6分）
（2）f（x）的单调递增区间为（9分）
f（x）的单调递减区间为（12分）
本题考查三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象及其解析式，三角函数的单调性，考查计算能力，是基础题．
函数的零点．501974
（I）利用三角函数的图象直接求出A，推出函数的周期，利用周期公式求出ω，图象过点，结合φ的范围求φ的值，即可得到函数f（x）的解析式；
（II）通过函数，求出它的表达式，利用正弦函数的最值以及x的取值，求出函数的最值，利用正弦函数的零点求出函数的零点．
（I）由图可知，A=2．…（2分）
函数的周期，所以．…（4分）
因为图象过点，所以，即．
所以．因为，所以．
所以．…（7分）
（II）依题意，．
当，即时，y取得最大值，且最大值等于2．
当，即时，y取得最小值，且最小值等于﹣2．…（10分）
因为时，g（x）=0，
所以，函数g（x）零点为．…（12分）
本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，正弦函数的基本知识，考查计算能力．
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