高考小题不等式练习Word文档格式.docx

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A．（－2,2] B．（－2,2）

C．（－∞，－2）∪[2，＋∞） D．（－∞，2]

解析　原不等式等价于（m－2）x2＋2（m－2）x－4<

0，

①当m＝2时，对任意x不等式都成立；

②当m－2<

0时，Δ＝4（m－2）2＋16（m－2）<

∴－2<

m<

2，综合①②，得m∈（－2,2]．

3．（2016·

山东）若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是（　　）

A．4B．9C．10D．12

答案　C

解析　满足条件的可行域如图阴影部分（包括边界），

x2＋y2是可行域上的动点（x，y）到原点（0,0）的距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.

4．若log4（3a＋4b）＝log2，则a＋b的最小值是（　　）

A．6＋2 B．7＋2

C．6＋4 D．7＋4

答案　D

解析　由题意得所以

又log4（3a＋4b）＝log2，

所以log4（3a＋4b）＝log4ab，

所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.

所以a＋b＝（a＋b）（＋）＝7＋＋

≥7＋2＝7＋4，

当且仅当＝时取等号，故选D.

5．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by（a>

0，b>

0）的最大值为8，则ab的最大值为（　　）

A．1 B．2

C. D．4

解析　由约束条件作出可行域如图（含边界）．

联立解得B（，）．

化z＝ax＋by为y＝－x＋，由图可知，当直线y＝－x＋过点B时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z＝a＋b＝8，即3a＋14b＝20.

∵a>

0，∴20＝3a＋14b≥2，即ab≤.

∴ab的最大值为，故选C.

6．已知变量x，y满足约束条件若≤，则实数a的取值范围为（　　）

A．（0,1] B．[0,1）

C．[0,1] D．（0,1）

解析　表示区域内点（x，y）与定点A（2,0）连线的斜率k，由图易观察到BC与y轴重合时，|k|≤kAC＝，

当BC向右移动时，|k|≤kAC<

.

综上，a∈[0,1]．

7．已知直线ax＋by＝1经过点（1,2），则2a＋4b的最小值为（　　）

A. B．2

C．4 D．4

答案　B

解析　∵直线ax＋by＝1经过点（1,2），所以a＋2b＝1，

则2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2.

故选B.

8．不等式x2＋2x<

＋对任意a，b∈（0，＋∞）恒成立，则实数x的取值范围是（　　）

A．（－2,0）

B．（－∞，－2）∪（0，＋∞）

C．（－4,2）

D．（－∞，－4）∪（2，＋∞）

解析　∵a，b∈（0，＋∞），∴＋≥2＝8，

当且仅当a＝4b时，等号成立，

∴由题意得x2＋2x<

8，解得－4<

x<

2，故选C.

9．设D为不等式组表示的平面区域，圆C：

（x－5）2＋y2＝1上的点与区域D上的点之间的距离的取值范围为（　　）

A．[－1，＋1] B．[－1，＋1]

C．[，] D．[－1，－1]

解析　首先求解平面区域的顶点，确定各顶点到圆心的距离d＝，最后求出最小距离减半径和最大距离加半径，即为所求范围.

交点

（0,0）

（0,3）

（1,1）

距离d

5

故所求范围为[－1，＋1]．

10．已知正实数a，b满足＋＝3，则（a＋1）（b＋2）的最小值是（　　）

A. B.

C．7 D．6

解析　∵正实数a，b满足＋＝3，

∴3＝＋≥2，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴≥，∴ab≥.∵＋＝3，∴2a＋b＝3ab，

∴（a＋1）（b＋2）＝ab＋2a＋b＋2＝4ab＋2

≥4×

＋2＝，

∴（a＋1）（b＋2）的最小值是，故选B.

11．如图所示，一张正方形状的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b（2≤a≤10），剪去部分的面积为8，则＋的最大值为（　　）

A．1 B.

C. D．2

解析　由题意，得2ab＝8，∴b＝.

∵2≤a≤10，∴＋＝＋

＝1＋≤1＋＝，当且仅当a＝，即a＝6时，＋的最大值为，故选C.

12．已知实数x，y满足（a>

0），的最大值为6，则实数a的值为（　　）

C．3 D．4

解析　＝（）2－2·

（）＋3＝（－1）2＋2，

设k＝，则k的几何意义是过区域内的点与原点的直线的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示（含边界）：

由得即A（1,1），

则点A（1,1）在直线x＋y<

a内，即a>

1＋1＝2，

由　得即B（1，a－1）．

AC对应直线为y＝x，斜率k＝1，

则k＝的最大值为k＝a－1，则1≤k≤a－1（a≥2），

则当＝a－1时，取得最大值为6，

即（a－1－1）2＋2＝6，

即（a－2）2＝4，解得a－2＝2或a－2＝－2，

即a＝4或a＝0（舍），故选D.

13．已知变量x，y满足则z＝log4（2x＋y＋4）的最大值为________．

答案　

解析　作的可行域如图阴影部分（含边界）：

易知可行域为一个三角形，验证知在点A（1,2）处，z1＝2x＋y＋4取得最大值8，∴z＝log4（2x＋y＋4）的最大值是，故答案为.

14．设a>

0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值是________．

答案　4

解析　∵是3a与3b的等比中项，

∴3a·

3b＝3a＋b＝3，

∴a＋b＝1，∴ab≤＝（当且仅当a＝b时等号成立），∴＋＝＝≥4.

15．设关于x，y的不等式组表示的平面区域为D，已知点O（0,0），A（1，0），点M是D上的动点，·

＝λ||，则λ的最大值为________．

解析　作可行域如图阴影部分（含边界）：

由题意知：

B（，1），C（，2）．所以∈[，]．

设M（x，y），由·

＝λ||得：

x＝λ，

所以λ＝＝∈[，]，

即λ的最大值为＝.

16．已知自变量x，y满足则当3≤S≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围为________．

答案　[7,8]

解析　

（1）当x＋y＝S与y＋2x＝4有交点时，最大值在两直线交点处取得，最小范围是当S＝3时，代入得z＝7.

（2）当x＋y＝S与y＋2x＝4没有交点时，最大值在（0，4）处取得，代入得z＝2×

4＝8.

综上，z的最大值的变化范围是[7,8]．

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