高中数学常考题型---三角函数(教师版)Word格式文档下载.doc

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，所以的终边在第一或第二或第四象限．

【2】若sinθcosθ<

0，则角θ是（　　）

A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角

因为sinθcosθ<

0，所以或所以角θ是第二或第四象限角．故选D.

题型2、扇形的弧长、周长、面积

【3】如图所示，已知扇形AOB的圆心角∠AOB＝120°

，半径R＝6，求：

（1）的长；

（2）弓形ACB的面积．

（1）因为∠AOB＝120°

＝，R＝6，所以＝×

6＝4π.

（2）S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝R－R2sin∠AOB＝×

4π×

6－×

62×

＝12π－9.

【4】若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为________cm和________rad时，扇形的面积最大．

设该扇形的半径为r，圆心角为θ，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝60，所以l＝60－2r.

所以S＝lr＝（60－2r）r＝－r2＋30r＝－（r－15）2＋225.

所以当r＝15时，S最大，最大值为225cm2.此时，θ＝＝＝2rad.

题型3、利用三角函数线解不等式

【5】求证：

当α∈时，sinα<

α<

tanα.

证明：

如图所示，设角α的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连接AP，则在Rt△POM中，sinα＝MP，在Rt△AOT中，tanα＝AT，又根据弧度制的定义，有＝α·

OP＝α，易知S△POA<

S扇形POA<

S△AOT，即OA·

MP<

·

OA<

OA·

AT，即sinα<

题型4、三角函数的定义求三角函数值

【6】已知角α的终边经过点P（a，2a）（a＞0），求sinα，cosα，tanα的值．

因为角α的终边经过点P（a，2a）（a＞0），

所以r＝a，x＝a，y＝2a.

所以sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝2.

【7】已知角α的终边经过点（－4，3），则cosα＝（　　）

A.B.C．－D．－

cosα＝＝－.故选D.

题型5、利用同角三角函数的关系求三角函数值

【8】已知α∈（0，π），且cosα＝－，则tanα＝（　　）

【9】已知sinα＝，且α为第二象限角，求tanα；

【10】已知sinα＝，求tanα；

α∈（0，π），所以sinα>

0，又cosα＝－，所以sinα＝＝＝，tanα＝＝－.

（1）sinα＝，且α是第二象限角，所以cosα＝－＝－＝－.所以tanα＝＝－.

（2）因为sinα＝，所以α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，

cosα＝＝＝，所以tanα＝＝；

当α是第二象限角时，tanα＝－.

题型6、利用诱导公式求三角函数值

【11】化简.

原式＝＝－tanα.

题型7、配角法求三角函数值

【12】已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.

由题意知，θ＋是第一象限角，得cos＝，根据同角三角函数关系式可得tan＝.

所以tan＝tan＝－＝－.故填－.

【13】已知tan＝，则tan＝________.

因为＋＝π，

所以tan＝－tan＝－tan＝－.故填－.

【14】已知tanα＝－2，tan（α＋β）＝，则tanβ的值为________．

tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝＝＝3.故填3.

【15】设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．

cos＝，α为锐角，则α＋为锐角，sin＝，

由二倍角公式得sin2＝，cos2＝，所以sin＝sin

＝sin2cos－cos2sin＝×

－×

＝.故填.

【16】已知tan（α＋β）＝－1，tan（α－β）＝，则的值为（　　）

＝＝

＝＝.

【17】已知cosα＝，cos（α＋β）＝－，且α，β∈，则cos（α－β）的值等于（　　）

因为α∈，2α∈（0，π），cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－，sin2α＝＝.而α，β∈，所以α＋β∈（0，π），所以sin（α＋β）＝＝.所以cos（α－β）＝cos[2α－（α＋β）]＝cos2αcos（α＋β）＋sin2αsin（α＋β）＝×

＋×

＝.

题型8、关于sinα，cosα的齐次式问题

【18】已知＝－1，求下列各式的值．

（1）；

（2）sin2α＋sinαcosα＋2.

由已知得tanα＝.

（1）＝＝－.

（2）sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.

题型9、求三角函数的值域

【19】函数y＝－3sin2x－4cosx＋4，x∈的值域是________．

原式＝3cos2x－4cosx＋1＝3－，

因为x∈，所以cosx∈.所以当cosx＝－，即x＝π时，y有最大值；

当cosx＝，即x＝时，y有最小值－.所以值域为.故填.

【20】已知函数f（x）＝cos，求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

因为－≤x≤0，所以－π≤2x＋≤，

所以当2x＋＝－π，即x＝－时，f（x）有最小值，f（x）min＝－1；

当2x＋＝0，即x＝－时，f（x）有最大值，f（x）max＝，即f（x）在上的最小值为－1，最大值为.

【21】求函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域．

设t＝sinx－cosx，则t2＝1－2sinxcosx，sinxcosx＝，且－≤t≤.

所以y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1.当t＝1时，ymax＝1；

当t＝－时，ymin＝－－.

所以函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为.

三角函数值域的求法

求三角函数的值域常见的有以下几种类型：

（1）形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再求值域；

（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域；

（3）形如y＝asinxcosx＋b（sinx±

cosx）＋c的三角函数，可先设t＝sinx±

cosx，化为关于t的二次函数求值域．

题型10、三角函数的定义域

【22】函数y＝lg（sinx－cosx）的定义域是__________________________．

要使函数有意义，必须使sinx－cosx＞0.

解法一：

利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：

在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，在内sinx＞cosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z}．

解法二：

利用三角函数线．

如图，MN为正弦线，OM为余弦线，

要使sinx＞cosx，只须＜x＜（在[0，2π]内）．所以定义域为．

解法三：

sinx－cosx＝sin＞0，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ＜x－＜π＋2kπ，解得2kπ＋＜x＜＋2kπ，k∈Z.所以定义域为.

故填.

题型11、三角函数的周期

【23】在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为（　　）

A．②④B．①③④C．①②③D．①③

可分别求出各个函数的最小正周期．

①y＝cos|2x|＝cos2x，T＝＝π；

②由图象知，函数的最小正周期T＝π；

③T＝＝π；

④T＝.

综上知，最小正周期为π的所有函数为①②③.故选C.

【24】函数f（x）＝（sinx＋cosx）（cosx－sinx）的最小正周期是（　　）

A.B．πC.D．2π

f（x）＝2sin×

2cos＝2sin，故最小正周期T＝＝π.故选B.

题型12、三角函数的奇偶性

【25】已知函数f（x）＝2sin是偶函数，则θ的值为（　　）

A．0 B. C. D.

因为函数f（x）为偶函数，所以θ＋＝kπ＋（k∈Z）．又因为θ∈，所以θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．故选B.

题型13、三角函数的单调性

【26】求函数y＝sin的单调递减区间；

【27】求y＝3tan的最小正周期及单调区间．

（1）y＝sin＝－sin，故由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋π（k∈Z）．

所以函数的单调递减区间为（k∈Z）．

（2）y＝3tan＝－3tan，T＝＝＝4π.由kπ－<

－<

kπ＋，解得4kπ－π<

x<

4kπ＋π（k∈Z）．

题型14、三角函数的对称性

【28】函数y＝sin＋1的图象的一个对称中心的坐标是（　　）

A. B.C. D.

对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ，解得x＝－＋，k∈Z.当k＝1时，x＝，y＝1.故选B.

题型15、求三角函数的解析式

【29】函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则（　　）

A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin

由图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法结合各选项可知2×

＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.故选A.

点拨：

已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：

（1）升降零点法，由ω＝，即可求出ω；

求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（或ωx0＋φ＝π），即可求出φ；

（2）代入最值法，将最值点（最高点、最低点）坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.

根据y＝Asin（ωx＋φ），x∈R的图象求解析式的步骤：

（1）首先确定振幅和周期，从而得到A与ω.

（Ⅰ）A为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半．

（Ⅱ）ω由周期得到：

①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；

②函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；

③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的个周期（借助图象很好理解记忆）．

（2）求φ的值时最好选用最值点求．

峰点：

ωx＋φ＝＋2kπ；

谷点：

ωx＋φ＝－＋2kπ.

也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点．

升零点（图象上升时与x轴的交点）：

ωx＋φ＝2kπ；

降零点（图象下降时与x轴的交点）：

ωx＋φ＝π＋2kπ（以上k∈Z）．

题型16、三角函数的图像变换

【30】说明由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象．

（1）y＝sin；

（2）y＝sin；

（3）y＝；

（4）y＝sin.

（1）将y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象．

（2）解法一：

将y＝sinx的图象向右平移π个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），就得到y＝sin的图象．

先把y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到y＝sin2x的图象，再将y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，就得到y＝sin的图象．

（3）将y＝sinx的图象的x轴下方部分翻折到x轴上方，去掉x轴下方图象，即可得到y＝的图象．

（4）先去掉y轴左边的y＝sinx的图象，再将y轴右边的图象翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，即可得到y＝sin的图象．

题型17、三角函数的图像

【31】函数f（x）＝sin（2x＋φ）＋acos（2x＋φ），其中a为正常数且0<

φ<

π，若f（x）的图象关于直线x＝对称，f（x）的最大值为2.

（1）求a和φ的值；

（2）求f（x）的振幅、周期和初相；

（1）f（x）＝sin（2x＋φ）＋acos（2x＋φ）≤，则由＝2及a>

0，得a＝.

于是f（x）＝sin（2x＋φ）＋cos（2x＋φ）＝2sin.

又f（x）的图象关于直线x＝对称，所以当x＝时，f（x）取得最值，即2×

＋φ＋＝kπ＋，

得φ＝kπ＋－＝kπ－（k∈Z）．又0<

π，所以φ＝.

（2）由

（1）可知f（x）＝2sin，所以函数f（x）的振幅为2，周期T＝＝π，初相为.

题型18、辅助角公式

辅助角公式asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）（φ由tanα＝确定）的应用是高考的热点，应予以重视．

【32】已知函数y＝sin＋cos（x∈R）．求它的振幅、周期及初相；

（1）y＝sin＋cos＝2＝2sin.根据解析式，

振幅A＝2，周期T＝4π，初相φ＝.

题型19、三角恒等变换求三角函数值

【33】求值：

（1）sin18°

cos36°

；

（2）.

（1）原式＝＝＝＝.

（2）原式＝＝＝＝.

（3）sin20°

cos10°

－cos160°

sin10°

＝（　　）

A．－B.C．－D.

原式＝sin20°

＋cos20°

＝sin30°

＝.故选D.

题型20、正弦定理

【34】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为（　　）

A．－B.C．1D.

由正弦定理得＝－1＝2－1＝2×

－1＝.故选D.

题型21、余弦定理

【35】在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则sinA＝________.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×

1×

2×

＝4，即c＝2，cosA＝＝＝，所以sinA＝.故填.

在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝（　　）

由题意可得a＝csin＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cosA＝＝＝－.故选C.

题型22、解三角形中的面积问题

【36】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.

（1）求B的大小；

（2）若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

（1）由余弦定理知，cosB＝，cosC＝，将上式代入＝－得

＝－，整理得a2＋c2－b2＝－ac.所以cosB＝＝＝－.

因为B为三角形的内角，所以B＝π.

（2）将b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得13＝42－2ac－2accosπ，解得ac＝3.所以S△ABC＝acsinB＝.

【37】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.

（1）求B；

（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．

（1）由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.①

因为A＝π－（B＋C），所以sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC.②

由①，②和C∈（0，π）得sinB＝cosB.又B∈（0，π），所以B＝.

（2）△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，

即4＝a2＋c2－2accos，又a2＋c2≥2ac，所以ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．

因此△ABC面积的最大值为＋1.

题型23、判断三角形的形状

【38】在三角形ABC中，若tanA∶tanB＝a2∶b2，试判断三角形ABC的形状．

由正弦定理，得＝，所以＝，所以＝，即sin2A＝sin2B.

所以2A＝2B，或2A＋2B＝π，因此A＝B或A＋B＝，从而△ABC是等腰三角形或直角三角形．

由正弦定理，得＝，所以＝，所以＝，再由正、余弦定理，得＝，化简得（a2－b2）（c2－a2－b2）＝0，即a2＝b2或c2＝a2＋b2.从而△ABC是等腰三角形或直角三角形．

【39】在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角，lgb＋lg＝lgsinA＝－lg，则△ABC为（　　）

A．锐角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形

由lgb＋lg＝lg＝－lg＝lg，得＝，即c＝b.

由lgsinA＝－lg，得sinA＝，又A为锐角，所以cosA＝.

由余弦定理：

a2＝b2＋c2－2bccosA得a＝b，故B＝A＝45°

，因此C＝90°

.故选D.

题型24、三角形外接圆的半径

【40】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B＋sin2C＝2sinAsinBsinC，且a＝2，则△ABC的外接圆半径R＝________.

由正弦定理可得a2＋b2＋c2＝2absinC，

又c2＝a2＋b2－2abcosC，代入上式得，2（a2＋b2）＝2absinC＋2abcosC，

所以2（a2＋b2）＝4absin，所以a2＋b2＝2absin≤2ab，

又a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2＝2ab，所以（a－b）2＝0，且sin＝1，

所以a＝b，且C＝，所以△ABC为正三角形，所以2R＝＝＝，所以R＝.故填.

题型25、三角函数与向量的综合

【41】已知向量a＝，b＝，函数f（x）＝a·

b.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＝ac，且角B的大小为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

（1）向量a＝，b＝，

则函数f（x）＝a·

b＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin＋，

令2kπ－≤＋≤2kπ＋，k∈Z.解得3kπ－π≤x≤3kπ＋，k∈Z，

故函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

（2）因为b2＝ac，所以cosx＝＝≥＝，

又－1<

cosx<

1，所以≤cosx<

1，所以0<

x≤，所以<

＋≤，所以<

sin≤1，

所以<

sin＋≤1＋，即函数f（x）的值域为