高中数学函数解题技巧与方法文档格式.doc
《高中数学函数解题技巧与方法文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学函数解题技巧与方法文档格式.doc（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
又知函数f（x）在x＝1处连续，因此，函数f（x）在（0，＋∞）内单调递增．
（ⅲ）当0＜a＜1时，令f¢
（x）＞0，即
解得，或．
因此，函数f（x）在区间内单调递增，在区间内也单调递增．
令f¢
（x）＜0，即x2＋（2a－4）x＋a2＜0，
解得：
因此，函数f（x）在区间内单调递减．
点评：
本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．
例2已知，函数。
设，记曲线在点处的切线为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴交点为。
证明：
①；
②若，则
（Ⅰ）分析：
欲求切线的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线在点的一阶导数值。
求的导数：
，由此得切线的方程：
。
（Ⅱ）分析：
①要求的变化范围，则须找到使产生变化的原因，显然，变化的根本原因可归结为的变化，因此，找到与的等量关系式，就成；
②欲比较与的大小关系，判断它们的差的符号即可。
证：
依题意，切线方程中令y＝0，
.
①由
②
本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。
例3、函数y＝1－的图象是（）
解析一：
该题考查对f（x）＝图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y＝的图形变形到y＝，即向右平移一个单位，再变形到y＝－即将前面图形沿x轴翻转，再变形到y＝－＋1，从而得到答案B.
解析二：
可利用特殊值法，取x＝0，此时y＝1，取x＝2，此时y＝0.因此选B.
答案：
B
1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。
2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：
先判断出函数的标准模型，并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。
考点二：
二次函数
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；
作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系.这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础.因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.
学习二次函数，可以从两个方面入手：
一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；
从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.
例４ 设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明.
在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.
由题意可知.
，
∴，
∴当时，.
又，
∴，
综上可知，所给问题获证.
本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式。
例5已知二次函数，设方程的两个实数根为和.
（1）如果，设函数的对称轴为，求证：
；
（2）如果，，求的取值范围.
条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.
设，则的二根为和.
（1）由及，可得，即，即
两式相加得，所以，;
（2）由，可得.
又，所以同号.
∴，等价于或，
即或
解之得或.
在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。
考点三：
抽象函数
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，
（一）函数性质法
函数的特征是通过其性质（如奇偶性，单调性周期性，特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:
1，利用奇偶性整体思考;
2，利用单调性等价转化;
3，利用周期性回归已知4;
利用对称性数形结合;
5，借助特殊点，布列方程等.
（二）特殊化方法
1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成－x等；
2、在求函数值时，可用特殊值代入；
3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法.
总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.
例6、A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：
①对任意，都有；
②存在常数，使得对任意的，都有
（Ⅰ）设，证明：
（Ⅱ）设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的;
（Ⅲ）设，任取，令证明:
给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式
对任意，，，，所以
对任意的，
所以0＜，
令＝，，
所以
反证法:
设存在两个使得，则
由，得，所以，矛盾，故结论成立。
，所以
＋…
本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。
考点四：
函数的综合应用
函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．
例7设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅰ），
当时，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
（0，1）
（1，2）
递增
极大值
递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，
所以的取值范围为．
本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．
例8甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：
可变部分与速度v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；
固定部分为a元.
①把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.
（读题）由主要关系：
运输总成本＝每小时运输成本×
时间，
（建模）有y＝（a＋bv）
（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：
y＝S（＋bv），其中函数的定义域是v∈（0，c].
整理函数有y＝S（＋bv）＝S（v＋），
由函数y＝x＋（k＞0）的单调性而得：
当＜c时，则v＝时，y取最小值；
当≥c时，则v＝c时，y取最小值.
综上所述，为使全程成本y最小，当＜c时，行驶速度应为v＝；
当≥c时，行驶速度应为v＝c.
1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.
方法总结与2008年高考预测
（一）方法总结
本专题主要思想方法：
1.数形结合
2.分类讨论
3.函数与方程
（二）2008年高考预测
1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性.
2.考查与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力.
3.考查与反函数有关的试题，大多是求函数的解析式，定义域、值域或函数图象等，一般不需求出反函数，只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决.
4.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解决.
5加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力.
6注意与导数结合考查函数的性质.
一、强化训练
（一）选择题（12个）
1.函数的反函数是（ ）
A．B．
C．D．
2.已知是上的减函数，那么的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
3.在下列四个函数中，满足性质：
“对于区间上的任意，恒成立”的只有
（A） （B）（C） （D）
4.已知是周期为2的奇函数，当时，设则
（A） （B） （C） （D）
5.函数的定义域是
A.B.C.D.
6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A.B.C.D.
7、函数的反函数的图像与轴交于点
（如右图所示），则方程在上的根是
A.4B.3C.2D.1
8、设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是
（A）是奇函数（B）是奇函数
（C）是偶函数（D）是偶函数
9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A．B．
C．D．
10、设
（A）0 （B）1（C）2（D）3
11、对a，bR，记max{a，b}＝，函数f（x）＝max{|x＋1|，|x－2|}（xR）的最小值是
（A）0（B）（C）（D）3
12、关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
（二）填空题（4个）
1.函数对于任意实数满足条件，若则_______________。
2设则__________
3.已知函数，若为奇函数，则________。
4.设，函数有最小值，则不等式的解集为。
（三）解答题（6个）
1.设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合.试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：
在区间上，的图像位于函数图像的上方.
2、设f（x）＝3ax，f（0）＞0，f
（1）＞0，求证：
（Ⅰ）a＞0且－2＜＜－1；
（Ⅱ）方程f（x）＝0在（0，1）内有两个实根.
3.已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
4.设函数f（x）＝其中a为实数.
（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围;
（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单减区间.
5.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：
（）．
6.已知函数，是方程f（x）＝0的两个根，是f（x）的导数；
设，（n＝1，2，……）
（1）求的值；
（2）证明：
对任意的正整数n，都有＞a；
（3）记（n＝1，2，……），求数列{bn}的前n项和Sn。
（四）创新试题
1.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：
单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则
（A）（B）（C）（D）
2.设函数f（x）＝3sinx＋2cosx＋1。
若实数a、b、c使得af（x）＋bf（x−c）＝1对任意实数x恒成立，则的值等于（）
A. B. C.−1 D.1
解答：
一、选择题
1解：
由得：
，所以为所求，故选D。
２解：
依题意，有0<
a<
1且3a－1<
0，解得0<
，又当x<
1时，（3a－1）x＋4a>
7a－1，当x>
1时，logax<
0，所以7a－1³
0解得x³
故选C
３解：
|>
1<
1\|<
|x1－x2|故选A
４解：
已知是周期为2的奇函数，当时，设，，＜0，∴，选D.
５解：
由，故选B.
６解：
B在其定义域内是奇函数但不是减函数;
C在其定义域内既是奇函数又是增函数;
D在其定义域内不是奇函数，是减函数;
故选A.
７解：
的根是2，故选C
８解：
A中则，
即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，
C中，，即函数为奇函数，D中，，即函数为偶函数，故选择答案D。
９解：
函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即＝，∴，选D.
１０解：
f（f
（2））＝f
（1）＝2，选C
１１解：
当x<
－1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为（－x－1）－（2－x）＝－3<
0，所以2－x>
－x－1；
当－1£
x<
时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为（x＋1）－（2－x）＝2x－1<
0，x＋1<
2－x；
当£
2时，x＋1³
当x³
2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1>
x－2；
故据此求得最小值为。
选C
１２解：
关于x的方程可化为…
（1）
或（－1<
1）…………
（2）
①当k＝－2时，方程
（1）的解为±
，方程
（2）无解，原方程恰有2个不同的实根
②当k＝时，方程
（1）有两个不同的实根±
，方程
（2）有两个不同的实根±
，即原方程恰有4个不同的实根
③当k＝0时，方程
（1）的解为－1，＋1，±
，方程
（2）的解为x＝0，原方程恰有5个不同的实根
④当k＝时，方程
（1）的解为±
，±
，方程
（2）的解为±
，即原方程恰有8个不同的实根
选A
二、填空题。
１解：
由得，所以，则。
函数若为奇函数，则，即，a＝.
由，函数有最小值可知a>
1，所以不等式可化为x－1>
1，即x>
2.
三、解答题
（1）
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此
.
由于.
（3）[解法一]当时，.
，
.又，
①当，即时，取，
.
，
则.
②当，即时，取，＝.
由①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
[解法二]当时，.
由得，
令，解得或，
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；
当时，的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到.因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
2（I）证明：
因为，所以.
由条件，消去，得；
由条件，消去，得，.
故.
（II）抛物线的顶点坐标为，
在的两边乘以，得.
又因为而
所以方程在区间与内分别有一实根。
故方程在内有两个实根.
3解：
（Ⅰ）因为是奇函数，所以＝0，即
又由f
（1）＝－f（－1）知
（Ⅱ）解法一：
由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数。
又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：
从而判别式
解法二：
由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
，
即 ：
整理得
上式对一切均成立，从而判别式
4解：
（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，
，即当时的定义域为．
（Ⅱ），令，得．
由，得或，又，
时，由得；
当时，；
当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为．
5解：
（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：
，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
6解析：
（1）∵，是方程f（x）＝0的两个根，
∴；
（2），
＝，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n＝1，2，……），
（3），而，即，
，同理，，又
四、创新试题
依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，\x1<
x3，同理，x2＝30＋x1－20＝x1＋10\x1<
x2，同理，x3＝30＋x2－35＝x2－5\x3<
x2故选C
2解：
令c＝π，则对任意的x∈R，都有f（x）＋f（x−c）＝2，于是取，c＝π，则对任意的x∈R，af（x）＋bf（x−c）＝1，由此得。
选Ｃ。
二、复习建议
基本函数：
一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石.求反函数，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法
升级会员 