第一轮复习自己整理绝对经典2016数列--第一轮Word文件下载.doc

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A．6B．7C．8D．9

练习：

2：

在等差数列{an}中，已知，则

3：

设为等差数列{an}的前n项和，，则＝________

3.等差中项的概念

定义：

如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。

其中。

若，，成等差数列即：

（）

例10：

设是公差为正数的等差数列，若，，则

例11：

已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（为该直线外一点），则等于（）A．2012B．1006C．D．

【15年广东理科】在等差数列中，若，则=

【15年北京理科】设是等差数列.下列结论中正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

4.等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；

（3）在等差数列中，对任意，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则；

例12：

在正项等比数列中，，则____________

例13：

已知等差数列的前n项和为，若，则的值为__________

例14：

若是等差数列的前n项和，且的值为__________

4：

等差数列的前项和为，当变化时，若是一个定值，那么下列各数中也是定值的是（）

5：

在等差数列中，若，则的值为（）

A、20B、22C、24D、28

5.等差数列的前和的求和公式：

（是等差数列）递推公式：

例15：

如果等差数列中，，那么_________

例16：

设是等差数列的前n项和，已知，，则等于_________

例17：

若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有

例18：

已知等差数列的前项和为，若

设等差数列的前n项和为,若,则

6：

等差数列的前项和记为，已知，①求通项；

②若=242，求

6.等差数列中，，若等差数列，的前n项和分别为，则有

例19：

在等差数列{an}中，则前23项的和＝________

例20：

设、分别是等差数列、的前项和，，则

7：

设是等差数列的前n项和，若（）

8：

已知为等差数列的前项和，，则.

7.对与一个等差数列，仍成等差数列

例21：

等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）

例22：

一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为

例23：

已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为

例24：

设是等差数列｛an｝的前n项和为，若＝，则＝

9.已知等差数列的前项和为，且,则（）

A． B． C． D．4

8.数列的最值问题

（1），时，有最大值；

，时，有最小值；

（2）最值的求法：

①若已知，的最值可求二次函数的最值；

可用二次函数最值的求法。

或者求出中的正、负分界项，即：

若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

例25：

等差数列中，，则前项的和最大

例26：

设等差数列的前项和为，已知

①求出公差的范围②指出中哪一个值最大，并说明理由

例27：

已知是各项不为零的等差数列，，公差，若,数列前项和的最大值

例28：

在等差数列中，，，则的最大值为

10：

数列{an}的通项公式是，那么数列的前n项和取得最小值时，n为_______

11：

已知等差数列前n项和为，若则此数列中绝对值最小的项为_______

12：

已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值（）

A．25 B．50 C．100 D．不存在

13：

等差数列中，已知，，使得的最小正整数n为（）

A．7 B．8 C．9 D．10

14：

已知等差数列中，为其前n项和，若，，则当取到最小值时n的值为（）

A．5B．7C．8D．7或8

9.判断或证明一个数列是等差数列的方法

①定义法：

是等差数列②中项法：

是等差数列③通项公式法：

是等差数列④前项和公式法：

是等差数列

例29：

已知一个数列的前n项和，则数列为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

例30：

已知一个数列满足，则数列为（）

三：

等比数列及其性质

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示，即：

：

2.递推关系与通项公式

例31：

在等比数列中,，则

例32：

在等比数列中,,则

例33：

在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为

例34：

在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则

3.等比中项：

若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件.

例35：

和的等比中项为

例36：

设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和

【15年广东文科】若三个正数，，成等比数列，其中，，则．

【15年浙江文科】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（）

A.B.C.D.

【15年浙江理科】已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则

　　　　　　，　　　　　　　．

4.等比数列的基本性质

（1）

（2）（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.

（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.

例37：

在等比数列中,和是方程的两个根,则

例38：

在等比数列，已知，，则=

例39：

等比数列的各项为正数，且

例40：

已知等比数列满足，且，则当时，

【15年新课标2文科】已知等比数列满足,,则（）

5.前项和公式

例41：

已知等比数列的首相，公比，则其前n项和

例42：

设，则等于

例43：

设等比数列｛an｝的前n项和为，若，则数列的公比q为

例44：

设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则.

5.若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列.

如下图所示：

例45：

一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为

例46：

已知数列是等比数列，且

例47：

设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=

6.等比数列的判定法

（1）定义法：

为等比数列；

（2）中项法：

（3）通项公式法：

（4）前项和法：

为等比数列

为等比数列

例48：

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

例49：

已知数列为等比数列，则的值为

四：

求数列的通项

1.已知等差等比求通项（一般化为和的式子，解方程组）

例50：

等差数列的前项和记为，已知，

（1）求通项；

（2）若=242，求

例51：

已知是等差数列,其前项和为.已知,.

（1）求数列的通项公式;

（2）设,求;

【15北京文科】已知等差数列满足，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列满足，，问：

与数列的第几项相等？

2.证明类题型

例52：

已知数列满足，（），求通项公式

例53：

设数列的前项和为，已知.

（1）设，证明数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式．

例54：

已知数列｛｝中，，点在直线上，其中，令，求证数列是等比数列

例55：

已知数列中，，，.求证：

是等差数列；

并求数列的通项

例56：

已知数列中，，，证明是等比，并求数列的通项公式

【15年广东文科】设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．

求的值；

证明：

求数列的通项公式．

【15年昆明市统考】已知数列中，

（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式

（2）设，求数列的通项公式

3.由公式（注意：

不能忘记讨论）求通项

例58：

已知数列的前n项的和满足,则=.

例59：

已知数列前项和，则__________.

例60：

设数列满足，求数列的通项公式

例61：

若数列的前n项和满足，则，数列

例62：

数列{an}的前n项和记为Sn，，，求的通项公式

例63：

已知等差数列的首项0,且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列的第一项、第二项、第三项｡（I）求数列和的通项公式;

（II）设数列对任意的,求数列的前n项和｡

【15四川文科】设数列{an}（n＝1，2，3…）的前n项和Sn满足Sn＝2an－a3，且a1，a2＋1，a3成等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn.

【15浙江文科】已知数列和满足，

.

（1）求与;

（2）记数列的前n项和为，求.

4.累加（形如）、累乘法求通项

例64：

已知的首项，，求的通项公式，并求的值

例65：

数列中，，求数列的通项

例66：

如果数列中求数列

例67：

已知数列满足，，求此数列的通项公式

【15江苏文科】数列满足，且（），则数列的前10项和为

5.两边同加系数法求通项（形如，两边同加）

例68：

数列中，,，求的通项公式

例69：

数列中，，求通项公式

例70：

已知数列中，，求数列的通项公式

6.倒数变换法（同除）

例71：

已知数列满足，求数列的通项公式。

72：

已知是首项为2的数列，并且，求通项公式

15.已知各项均为正数的数列满足，且是的等差中项，求数列的通项公式

16.设{an}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3,……），则它的通项公式是=

17.数列{an}中，a1=2,，则=

7.其它题型

分类讨论

例73：

，求数列

例74：

，求数列

周期数列

例75：

，求数列

例76：

如果已知数列，，求

例77：

已知数列满足，　（），则

有关等和与等积

例:

78：

数列{}满足,,求数列{an}的通项公式

例79：

例80：

已知数列,求此数列{an}的通项公式

五：

数列的求和

1.公式法:

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

3、前个正整数的和

前个正整数的平方和

前个正整数的立方和

公式法求和注意事项

（1）弄准求和项数的值；

（2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。

例81：

求数列的所有项的和

例82：

求和（）

例83：

已知，求的前n项和

例84：

等比数列中，已知对任意自然数n,,求的和

例85：

等差数列中，公差，且，则.

例86：

已知，且，则.

2.分组求和法：

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例87：

已知数列中，，求

例88：

求数列的前n项和

例89：

求的和

【15福建文科】等差数列中，，．

（Ⅱ）设，求的值．

3.错位相减法：

（考试重点）主要用于求数列{an·

bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差和等比.求和时一般在已知和式的两边都乘以等比数列的公比q；

然后再将得到的式子和原式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

错位相减法注意事项1：

要考虑当公比x为值1时为特殊情况2：

错位相减时要注意末项

例90：

求和：

例91：

已知，求的前n项和

4.裂项相消法:

实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

例93：

求和

例94：

数列中，，满足，。

⑴求数列的通项公式；

（2）设=，求最大的整数，使得对任意，均有成立.

例95：

设数列满足：

.设数列的前项和为，证明：

例96：

例97：

已知数列满足数列的前项和为.

（1）求证：

数列为等差数列；

（2）设，求证：

【15安徽文科】已知数列是递增的等比数列，且

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。

5.绝对值的前n项和求法：

实质是分段求和的思想

97：

例98：

6.证明题及放缩法的应用

【14全国2卷17】已知数列满足=1，.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）证明：

【2013广东，理19】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，，n∈N*.

（1）求a2的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：

对一切正整数n，有.

【2012广东，理19】设数列的前项和为，满足，且成等差数列。

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

对一切正整数，有。

【15年安徽理科】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，

（2）记，证明.

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