江苏省南京市、盐城市2013届高三数学一模试题(含解析)苏教版Word下载.doc

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故答案为：

0.8

本题主要考查了方差公式，解题的关键是正确运用方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题．

4．（5分）（2013•盐城一模）袋中装有2个红球，2个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为　　．

排列、组合及简单计数问题；

古典概型及其概率计算公式．

概率与统计．

根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．

从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有CC种情况是两个球颜色不相同；

故其概率是==．

．

此题考查概率的求法：

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

5．（5分）（2013•盐城一模）在等差数列{an}中，若a3+a5+a7=9，则其前9项和S9的值为　27　．

等差数列的性质；

等差数列的前n项和．

等差数列与等比数列．

由条件可得3a5=9，由此可得a5的值，再根据前9项和S9==9a5求得结果．

在等差数列{an}中，若a3+a5+a7=9，故有3a5=9，a5=3．

则其前9项和S9==9a5=27，

故答案为27．

本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．

6．（5分）（2013•盐城一模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为　26　．

简单线性规划．

计算题；

不等式的解法及应用．

作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=6时，z=2x+3y取得最大值26．

作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，

其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点

设z=F（x，y）=2x+3y，将直线l：

z=2x+3y进行平移，

当l经过点B时，目标函数z达到最大值

∴z最大值=F（4，6）=26

26

本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+3y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

7．（5分）（2013•盐城一模）如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是　3　．

伪代码．

由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当s＜15时，用s+n的值代替s得到新的s值，并且用n﹣1代替n值得到新的n值，直到条件不能满足时结束循环体并输出最后的值，由此即可得到本题答案．

根据题中的程序框图，可得

该程序经过第一次循环，因为s=0＜15，所以得到新的S=0+6=6，n=5；

然后经过第二次循环，因为s=6＜15，所以得到新的S=6+5=11，n=4；

然后经过第三次循环，因为s=11＜15，所以得到新的S=11+4=15，n=3；

接下来判断：

因为s=15，不满足s＜15，所以结束循环体并输出最后的n，

综上所述，可得最后输出的结果是3

3

本题给出程序框图，求最后输出的n值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．

8．（5分）（2013•盐城一模）将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为　　．

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；

正弦函数的奇偶性．

三角函数的图像与性质．

根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，变换后所得函数的解析式为y=sin（2x+2ϕ﹣]，再由它是奇函数，可得

2ϕ﹣=kπ，k∈z，由此求得ϕ的最小值．

将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，

所得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+ϕ）﹣]=sin（2x+2ϕ﹣]，

再由y=sin（2x+2ϕ﹣]为奇函数，可得2ϕ﹣=kπ，k∈z，则ϕ的最小值为，

故答案为．

本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于中档题．

9．（5分）（2013•盐城一模）现有如下命题：

①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；

②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；

③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；

④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．

则所有真命题的序号是　①③④　．

命题的真假判断与应用．

证明题．

①过平面外一点可作唯一一条直线与该平面垂直；

②过平面外一点有无数条直线与该平面平行；

③由平面与平面平行的性质定理可得；

④由平面与平面垂直的性质定理可得．

①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，正确；

②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行，错误，应该是有无数条直线与该平面平行；

③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，正确，由平面与平面平行的性质定理可得；

④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内，正确，

由平面与平面垂直的性质定理可得．

①③④

本题考查命题真假的判断，涉及空间中的线面的位置关系，属基础题．

10．（5分）（2013•盐城一模）在△ABC中，若9cos2A﹣4cos2B=5，则的值为　　．

余弦定理．

解三角形．

由条件9cos2A﹣4cos2B=5利用二倍角公式求得=，再由正弦定理可得=，从而得到答案．

在△ABC中，∵9cos2A﹣4cos2B=5，∴9（1﹣2sin2A）﹣4（1﹣2sin2B）=5，

化简可得9sin2A=4sin2B，故有=．

由正弦定理可得==，

本题主要考查二倍角公式、正弦定理的应用，属于中档题．

11．（5分）（2013•盐城一模）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2，，=，若=，则=　0　．

平面向量数量积的运算．

平面向量及应用．

在等腰三角形ABC中，底边BC=2，因此可取BC的中点O作为坐标原点距离平面直角坐标系．利用向量的坐标运算解决共线与数量积即可得出答案．

∵在等腰三角形ABC中，底边BC=2，∴可取BC的中点O作为坐标原点距离平面直角坐标系．

则B（﹣1，0），C（1，0），

设A（0，a）（a＞0）．∵，∴D．

∴=，=（1，﹣a）．

∵=，∴，解得．

∴．

∵，∴，∴==．

∴===0．

故答案为0．

熟练掌握通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决共线和数量积是解题的关键．

12．（5分）（2013•盐城一模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是　　．

椭圆的简单性质．

圆锥曲线的定义、性质与方程．

利用椭圆的性质：

当|PF2|=a+c=，时，即取得最大值，即可得出．

∵椭圆，∴a=，b=2=c．

设k==，

则当|PF1|=|PF2|时，k取得最小值0；

当|PF2|=a+c=，时，即时，k=取得最大值．

∴k的取值范围是．

故答案为．

熟练掌握椭圆的性质：

当|PF2|=a+c=，时，则取得最大值是解题的关键．

13．（5分）（2013•盐城一模）已知向量a=（sinωx，cosωx），b=（cosωx，﹣cosωx），（ω＞0），函数的图象的两相邻对称轴间的距离为．

（1）求ω值；

（2）若时，，求cos4x的值；

（3）若，x∈（0，π），且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．

三角函数的周期性及其求法；

平面向量数量积的运算；

两角和与差的余弦函数；

两角和与差的正弦函数．

（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用两相邻对称轴间的距离求得函数的周期，进而根据周期公式求得ω．

（2）根据

（1）中整理函数解析式，依据和同角三角函数的基本关系求得cos（4x﹣）的值，进而根据利用两角和公式求得答案．

（3）根据和余弦函数的单调性求得x的范围，令g（x）=m，则可作出，f（x）和g（x）的图象，利用数形结合的方法求得m的值．

由题意，

=

==，

（1）∵两相邻对称轴间的距离为，

∴，

∴ω=2．

（2）由

（1）得，，

∵，

∴=

==．（3）∵，且余弦函数在（0，π）上是减函数，

令=，g（x）=m，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象，

可知m=1或m=﹣．

本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式的化简求值，正弦函数和余弦函数的单调性．考查了三角函数基础知识的综合运用．

14．（5分）（2013•盐城一模）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx（k＞0）有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g（t）=﹣6t+7的值域为　[﹣，﹣1）　．

根的存在性及根的个数判断；

函数的值域．

函数的性质及应用．

同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=kx，因为两图象有且仅有四个公共点，得出最大根t的取值范围．再利用二次函数的性质，即可得到函数g（t）=﹣6t+7的值域．

作出函数f（x）=，当0≤x＜4时的图象，如右图中红色的三个半圆．

将直线y=kx围绕坐标原点进行旋转，可得当直线介于与第二个半圆相切和与第三个半圆相切之间时，两图象有且仅有四个不同的公共点，

此时，其最大根t∈（，），

则函数g（t）=﹣6t+7，t∈（，）的值域为[﹣，﹣1）．

[﹣，﹣1）．

本题以分段函数为例，求方程的最大根，并且用这个根来求值域，着重考查了函数与方程的关系，以及数形结合思想，属于中档题．

二、解答题：

本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．（14分）（2013•盐城一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．

（1）求证：

直线A1B1∥平面ABD；

（2）求证：

平面ABD⊥平面BCC1B1．

平面与平面垂直的判定；

直线与平面平行的判定．

空间位置关系与距离．

（1）根据直棱柱的性质判定线线平行，再由线线平行证线面平行即可；

（2）先由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直即可．

证明：

（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得A1B1∥AB，

又EF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，

∴EF∥平面ABD．

（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥BB1，AB⊥BC，

∴AB⊥平面BCC1B1，

又∵AB⊂平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BCC1B1．

本题考查面面垂直及线面平行的判定．

16．（14分）（2013•盐城一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

（1）若cos（A+）=sinA，求A的值；

（2）若cosA=，4b=c，求sinB的值．

余弦定理；

三角函数中的恒等变换应用．

（1）在△ABC中，由cos（A+）=sinA，求得tanA=，从而得到A的值．

（2）若cosA=，4b=c，由余弦定理可得a=b，利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，再由正弦定理求得sinB的值．

（1）在△ABC中，若cos（A+）=sinA，则有cosAcos﹣sinAsin=sinA，

化简可得cosA=sinA，显然，cosA≠0，故tanA=，所以A=．

（2）若cosA=，4b=c，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，解得a=b．

由于sinA==，再由正弦定理可得，解得sinB=．

本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．

17．（14分）（2013•盐城一模）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：

万元）与太阳能电池板的面积（单位：

平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：

万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：

平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．

（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；

（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？

最小值是多少万元？

函数最值的应用．

应用题；

（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C（0）==24，可求得k，从而得到F关于x的函数关系式；

（2）利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值时x的值．

（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，

即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）

由C（0）==24，得k=2400…（3分）

所以F=15×

+0.5x=+0.5x，x≥0…（7分）

（2）因为+0.5（x+5）﹣2.5≥2﹣2.5=57.5，…（10分）

当且仅当=0.5（x+5），即x=55时取等号…（13分）

所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…（14分）

本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．

18．（16分）（2013•盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）经过点M（3，），椭圆的离心率e=，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．

①若直线MA过坐标原点O，试求△MAF2外接圆的方程；

②若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？

若是，请给予证明；

若不是，请说明理由．

直线与圆锥曲线的关系；

直线的斜率；

椭圆的标准方程．

（1）利用椭圆的离心率化简方程，根据椭圆过点M（3，），即可求椭圆C的方程；

（2）①求得MA的中垂线方程、MF2的中垂线方程，从而可得圆心与半径，即可求△MAF2外接圆的方程；

②直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，即可得到结论．

（1）由椭圆的离心率e=，可得a2=9b2，故椭圆方程为…（3分）

又椭圆过点M（3，），则，解得b2=4，

所以椭圆的方程为…（5分）

（2）①记△MAF2的外接圆的圆心为T．

因为，所以MA的中垂线方程为y=﹣3x，

又由M（3，），F2（，0），得MF1的中点为，

而=﹣1，

所以MF2的中垂线方程为，

由，得T（）…（8分）

所以圆T的半径为=，

故△MAF2的外接圆的方程为…（10分）

（3）设直线MA的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）．（x2＞x1）

由题直线MA与MB的斜率互为相反数，

∴直线MB的斜率为﹣k．

联立直线MA与椭圆方程，可得（9k2+1）x2+x+162k2﹣108k﹣18=0

∴x1+x2=﹣，…（13分）

又

∴==为定值…（16分）

本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的外接圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

19．（16分）（2013•盐城一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x0∈D，均有f（x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．

（1）试判断f（x）=x﹣1在区间[﹣2.1]上是否封闭，并说明理由；

（1）若函数g（x）=在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；

（1）若函数h（x）=x3﹣3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．

函数恒成立问题．

新定义．

（1）由函数f（x）=x﹣1在区间[﹣2，1]上是增函数求出在[﹣2，1]上的值域，不满足在区间上封闭的概念；

（2）把给出的函数g（x）=变形为3+，分a=3，a＞3，a＜3三种情况进行讨论，利用函数在区间[3，10]上封闭列式求出a的取值范围；

（3）求出函数h（x）=x3﹣3x的导函数，得到三个不同的单调区间，然后对a，b的取值分类进行求解．

（1）f（x）=x﹣1在区间[﹣2，1]上单调递增，所以f（x）的值域为[﹣3，0]

而[﹣3，0]⊈[﹣2，1]，所以f（x）在区间[﹣2，1]上不是封闭的；

（2）因为g（x）==3+，

①当a=3时，函数g（x）的值域为{3}⊆[3，10]，适合题意．

②当a＞3时，函数g（x）=3+在区间[3，10]上单调递减，故它的值域为，

由⊆[3，10]，得，解得3≤a≤31，故3＜a≤31．

③当a＜3时，在区间[3，10]上有，显然不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是3≤a≤31；

（3）因为h（x）=x3﹣3x，所以h′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

当x∈（﹣∞，﹣1）时，h′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，h′（x）0．

所以h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上递减，在（1，+∞）上递增．

①当a＜b≤﹣1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以，

即，解得﹣2≤a≤0或a≥2，b≤﹣2或0≤b≤2，又a＜b≤﹣1，此时无解．

②当a≤﹣1且﹣1＜b≤1时，因h（x）max=h（﹣1）=2＞b，矛盾，不合题意

③当a≤﹣1且b＞1时，因为h（﹣1）=2，h

（1）=﹣2都在函数的值域内，故a≤﹣2，b≥2，

又，得，解得﹣2≤a≤0或a≥2，b≤﹣2或0≤b≤2，从而a=﹣2，b=2．

④当﹣1≤a＜b≤1时，h（x）在区间[a，b]上递减，，即（*）

而a，b∈Z，经检验，满足﹣1≤a＜b≤1的整数组a，b均不合（*）式．

⑤当﹣1＜a＜1且b≥1时，因h（x）min=h

（1）=﹣2＜a，矛盾，不合题意．

⑥当b＞a≥1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以，

即，解得﹣2≤a≤0或a≥2，b≤﹣2或0≤b≤2，又b＞a≥1，此时无解．

综上所述，所求整数a，b的值为a=﹣2，b=2．

本题是新定义题，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论得数学思想方法，解答此题的关键是正确分类，因该题需要较细致的分类，对学生来说是有一定难度的题目．

20．（16分）（2013•盐城一模）若数列{an}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列；

数列{bn}的前n项和为Sn=3n﹣t．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）若数列{bn}是等比数列，试证明：

对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数Cn，使得bn+1=a，并求数列{cn}的前n项和Tn；

（3）设数列{dn}满足dn=an•bn，且{dn}中不存在这样的项dt，使得“dk＜dk﹣1与dk＜dk+1”同时成立（其中k≥2，k∈N*），试求实数t的取值范围．

等差数列与等比数列的综合．

（1）根据等差数列的通项公式，可得an=6n﹣12t；

再由数列前n项和与第n项的关系，即可算出{bn}的通项公式；

（2）由{bn}是等比数列，结合

（1）的通项公式可得bn=2•3n﹣1，算出出t=1从而得到an=6n﹣12t．通过变形整理，得到bn+1=6（3n﹣1+2）﹣12，从而得到存在cn=3n﹣1+2∈N*，使=bn+1成立，由等比数列求和公式即可算出{cn}的前n项和Tn；

（3）根据

（1）的结论，得，由此进行作差，得dn+1﹣dn=8[n﹣（2t﹣）]•3n（n≥2）．因此，分t＜、2和m（m∈N且m≥3）三种情况加以讨论，分别根据数列{dn}的单调性解关于t的不等式，最后综合即可得到实数t的取值范围．

（1）∵{an}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列，

∴an=（6﹣12t）+（n﹣1）×

6=6n﹣12t…（2分）

而数列{bn}的前n项和为Sn=3n﹣t，所以

当n≥2时，bn=（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）=2•3n﹣1，

又∵b1=S1=3﹣t，

∴…（4分）

（2）∵数列{bn}是等比数列，∴b1=3﹣t=2•31﹣1=2，解之得t=1，

因此，bn=2•3n﹣1，且an=6n﹣12…（5分）

对任意的n（n∈N，n≥1），由于bn+1=2•3n=6•3n﹣1=6（3n﹣1+2）﹣12，

令cn=3n﹣1+2∈N*，则=6（3n﹣1+2）