广东省惠州市惠阳高级中学2016-2017学年高一(下)期中数学试卷(解析版)Word文档下载推荐.doc

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12．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知{an}是等比数列，a1=1，a3﹣a2=2，则此数列的公比q=　　．

14．已知不等式ax2+3x﹣2＞0的解集为{x|1＜x＜b}，则a+b=　　．

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=　　．

16．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=　　，b=　　．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分）

17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．

18．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．

（1）求AB的长；

（2）求cos（A﹣）的值．

19．已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x﹣1，（x∈R）

（1）求函数f（x）的最大值；

（2）若f（+）=，α∈（，），求cosα的值．

20．在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，

（1）求sinA，sinB，sinC的值

（2）设BC=5，求△ABC的面积．

21．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=25，且a1，a2，a5成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

22．已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1=2，nan+1=Sn+n（n+1）．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）设Tn为数列的前n项和，求Tn．

参考答案与试题解析

【考点】H1：

三角函数的周期性及其求法．

【分析】由于ω＞0，利用正弦函数的周期公式即可求得ω的值．

【解答】解：

∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，

∴T==，

∴ω=4．

故选C．

【考点】HR：

余弦定理．

【分析】直接由等差中项的概念结合三角形的内角和定理，特殊角的三角函数值可得答案．

∵三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，

∴A+C=2B，

又A+C+B=180°

，

∴3B=180°

则B=60°

．cosB=．

故选：

A．

【考点】4K：

对数函数的定义域．

【分析】函数y=lg（2x2﹣x﹣1）的定义域满足2x2﹣x﹣1＞0，由此能求出函数y=lg（2x2﹣x﹣1）的定义域．

函数y=lg（2x2﹣x﹣1）的定义域满足：

2x2﹣x﹣1＞0，解得x＜﹣或x＞1，

∴函数y=lg（2x2﹣x﹣1）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．

D．

【考点】84：

等差数列的通项公式．

【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式能求出数列{an}前10项和．

∵{an}是等差数列，a2=3，a9=7，

∴数列{an}前10项和为：

=5（3+7）=50．

B．

【考点】R3：

不等式的基本性质．

【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可得出．

A．取a=1，b=﹣2，不成立．

B．取a=1，b=﹣2，不成立．

C．a＞b⇔2a＞2b，成立．

D．取a=1，b=﹣2，不成立．

C．

【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，由此能求出数列{an}的公差．

∵等差数列{an}中，a3+a11=50，a4=13，

∴，

解得a1=1，d=4，

∴数列{an}的公差等于4．

【考点】8G：

等比数列的性质．

【分析】由a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，利用韦达定理求出两根之积，即得到a3a9的值，再根据数列为等比数列，利用等比数列的性质即可得到a62=a3a9，把a3a9的值代入，开方即可求出a6的值．

∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，

∴a3a9=3，

又数列{an}是等比数列，

则a62=a3a9=3，即a6=±

．

故选C

【考点】7F：

基本不等式；

9R：

平面向量数量积的运算．

【分析】点A（x，1），B（2，y）均在第一象限，且•=1，可得x，y＞0，∴2x+y=1．可得+=（2x+y）=4+，再利用基本不等式的性质即可得出．

∵点A（x，1），B（2，y）均在第一象限，且•=1，

∴x，y＞0，∴2x+y=1．

则+=（2x+y）=4+≥4+2=8．

【考点】3H：

函数的最值及其几何意义．

【分析】把函数解析式变形，然后利用基本不等式求最值．

∵x＞1，

∴f（x）===．

当且仅当x﹣1=，即x=2时上式取等号．

∴函数f（x）=（x＞1）的最小值为4．

【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．

∵a=，c=2，cosA=，

∴由余弦定理可得：

cosA===，整理可得：

3b2﹣8b﹣3=0，

∴解得：

b=3或﹣（舍去）．

等比数列的性质；

89：

等比数列的前n项和．

【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．

a2•a3=a1q•a1q2=2a1

∴a4=2

a4+2a7=a4+2a4q3=2×

∴q=，a1==16

故S5==31

【考点】HU：

解三角形的实际应用；

HT：

三角形中的几何计算．

【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．

∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，

∴AB=BC，

由余弦定理得：

AC===BC，

故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，

∴sinA=，

D

13．已知{an}是等比数列，a1=1，a3﹣a2=2，则此数列的公比q=　﹣1或2　．

【考点】88：

等比数列的通项公式．

【分析】利用等比数列通项公式列出方程，能求出此数列的公比．

∵{an}是等比数列，a1=1，a3﹣a2=2，

∴q2﹣q=2，

解得此数列的公比q=﹣1或q=2．

故答案为：

﹣1或2．

14．已知不等式ax2+3x﹣2＞0的解集为{x|1＜x＜b}，则a+b=　1　．

【考点】74：

一元二次不等式的解法．

【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值即可．

不等式ax2+3x﹣2＞0的解集为{x|1＜x＜b}，

∴1和b是方程ax2+3x﹣2=0的实数根，

由根与系数的关系得，

解得a=﹣1，b=2；

∴a+b=﹣1+2=1．

1．

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=　　．

【考点】HX：

解三角形．

【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．

由cosA=，cosC=，可得

sinA===，

sinC===，

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×

+×

=，

由正弦定理可得b=

==．

16．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=　　，b=　1　．

【考点】GQ：

两角和与差的正弦函数．

【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．

∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x

=1+（cos2x+sin2x）

=sin（2x+）+1，

∴A=，b=1，

；

【考点】89：

等比数列的前n项和；

88：

【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．

设{an}的公比为q，由题意得：

解得：

或，

当a1=3，q=2时：

an=3×

2n﹣1，Sn=3×

（2n﹣1）；

当a1=2，q=3时：

an=2×

3n﹣1，Sn=3n﹣1．

解三角形；

HP：

正弦定理；

HR：

【分析】

（1）利用正弦定理，即可求AB的长；

（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．

（1）∵△ABC中，cosB=，

∴sinB=，

∵，

∴AB==5；

（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．

∵A为三角形的内角，

∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．

【考点】GL：

三角函数中的恒等变换应用；

H2：

正弦函数的图象．

（1）利用二倍角公式和差角公式化简f（x），根据正弦函数的性质得出f（x）的最大值；

（2）由f（+）=可得sin（）=，根据α的范围得出cos（）=﹣，再利用差角公式计算cosα．

（1）f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），

∴f（x）的最大值为．

（2）∵f（+）=sin（）=，

∴sin（）=，

∵α∈（，），∴∈（，），

∴cos（）=﹣，

∴cosα=cos[（）﹣]=cos（）cos+sin（）sin=﹣+=．

【考点】HP：

HQ：

正弦定理的应用．

（1）根据cosB，cosA的值可分别求得sinA，sinB的值，继而根据sinC=sin（A+B）利用两角和公式求得sinC的值．

（2）先根据正弦定理求得AC的值，最后根据三角形面积公式求得答案．

（1）sinA==，sinB==，

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×

﹣×

=．

（2）由正弦定理知=，

∴AC=•sinB=×

∴S△ABC=BC•AC•sinC=×

5×

×

【考点】8E：

数列的求和；

8H：

数列递推式．

（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差即可得出an，Sn；

（2）使用裂项法求和．

（1）∵S5=25，且a1，a2，a5成等比数列，

又d≠0，解得a1=1，d=2．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

Sn==n2．

（2）bn=﹣=（﹣）．

∴Tn=（1﹣++…+﹣）=（1﹣）=．

84：

（1）由nan+1=Sn+n结合通项和前n项和的关系，转化为an+1﹣an=2（n≥2）再由等差数列的定义求解，要注意分类讨论．

（2）由

（1）求得an代入整理得是一个等差数列与等比数列对应项积的形式，用错位相减法求其前n项和．

（1）nan+1﹣（n﹣1）an=an+2n，an+1﹣an=2（n≥2）a1=2，a2=s1+2，

∴a2﹣a1=2，所以{an}等差an=2n

（2）

2017年6月29日

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