利用导数证明不等式原创全套整理Word文档格式.doc

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函数的定义域为．＝－1＝－

当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，

因此，当时，≤，即≤0∴．

令则＝．

∴当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．

∴当时，≥，即≥0，∴．

综上可知，当时，有．

练习：

（1）证明时，不等式

（2），证明：

（3）时，求证：

W例2.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：

ab＞ba.

证法一：

∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,

只要证blna＞alnb,设f（x）=xlna－alnx（x＞e）,则

f′（x）=lna－.∵x＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′（x）＞0.∴函数f（x）=xlna－alnx在（e,+∞）上是增函数，

∴f（b）＞f（a）=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.

证法二：

要证ab＞ba,只要证blna＞alnb（e＜a＜b,即证,设f（x）=（x＞e），则f′（x）=＜0,∴函数f（x）在（e,+∞）上是减函数，又∵e＜a＜b,

∴f（a）＞f（b）,即,∴ab＞ba.

练习:

若,证明:

例3.当时,证明:

证:

令,则,而

当时,

∴在上递减,即,从而在（0,1）递减

∴f（x）<

f（0）=0,从而原不等式得证.

Ex:

证明:

略解:

注意x=1时,原不等式”=”成立,而

作F（x）=,则F

（1）=0

且，从而F

（1）=0推出

与同号，得证。

练习

证明

（1）

（2）

思考（3）,证明,并指出”=”成立的条件

总结：

（一）象上述例子一样，通过作辅助函数并对辅助函数求导来证明不等的的方法是对相当广泛一类不等式适用的。

用此方法证明f（x）≧g（x）（a≦x≦b）的一般步骤是：

（１）作辅助函数Ｆ（x）=f（x）-g（x）,原不等式归结为Ｆ（x）≧0（a≦x≦b）,这等价于Ｆ（x）在［a,b］上的最小值大于等于0.

（２）对Ｆ（x）求导，确定F＇（x）在所考虑的区间上的符号，从而确定Ｆ（x）的增减性、极值、最值等性质（主要是单调性），如象例３F＇（x）的符号直接确定不了，这时一般需计算Ｆ＇＇（x）,直到符号能够确定为止．

（二）作辅助函数Ｆ（x）不同，确定F＇（x）符号难易程度可能不同，所以作辅助函数要不拘一格，可对原题作适当变更．不同辅助函数构造一般来源对原不等式的不同同解变形．

一般来说:

辅助函数构造方法主要有下面两种:

（1）由欲证形式构造“形似”函数；

（2）由欲证形式做恒等变形，变成初等函数四则运算的形式，再将其中一个常数改为x，移项使等式一端为0，则另一端即为所求作的辅助函数F（x）

如思考题（3），可取对数，变为求证：

令