求线面角的三种常见思路方法Word下载.doc

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（Ⅰ）证明略．

下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒

思路1：

直接作出线面角求解﹒

分析：

因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点在特殊位置上——线段的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图2，取的中点，连结，，，则面面，过作于，则面，连结，则是和平面所成的角﹒

解法1如图2，设是的中点，连结，，．由正三棱柱的性质及是的中点知，，．

又，所以平面．

而，

所以平面．又平面，故

平面平面．

过点作垂直于点，

则平面．

连结，则是直线和平面所成的角．

由已知，不妨设，则，，，

，，．

所以．

即直线AD和平面所成角的正弦值为．

思路2：

用等体积法求出点到面的距离，为所求线面角的正弦值．

分析如图3，连结，，即得四棱锥．用等体积法，即，容易求出点到平面的距离，为所求线面角的正弦值．

解法2：

如图3，连结，．因为平面平面，，所以平面．

不妨设，则，，，=.

易求，．

设在平面内的射影为，，连结，则是直线和平面所成的角．

因为，所以有

，

，

．

思路3：

坐标向量法．

解法3如图4，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直

角坐标系，不妨设，则，相关各点的坐标分别是

，，，．

易知=（，1，0），=（0，2，），=．

设平面的一个法向量为（x，y，z），则有

解得，．

故可取．

由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为．

评析：

上题图形比较特殊，容易作出线面角，三种方法中解法1解法最简洁，解法1是首选．上题容易建立空间直角坐标系，容易求点的坐标，解法3也是不错的选择．方法2相对来说计算稍复杂一些，是最后的选择．

下面对上题的“Ⅱ小题”作两种变式，并对三种解法作比较评析．

变式1：

如图5，将题设条件“点D是的中点”改为“点D是棱上一点，”，其他不变．

解法1：

如图6，分别取，的中点，，设与交与点，在上取点，使，连结，，．

易证，，又，所以平面，又平面，所以平面平面，过作于，则平面，连结，则是直线和平面所成的角．

不妨设，则，，，，，

．

，

解法2：

如图7，连结，取的中点，连结，则

，平面．

不妨设，则，，．

解法3：

如图8，同原题解法3建立空间直角坐标系，设，点，，，，及平面的法向量的坐标同前面解法3．不同的是：

，=．

所以．

与原题解法1比较，变式1的解法1的作图与运算明显要复杂一些．比较变式1的三种解法，解法2和解法3比解法1要简单一些，解法1是最后的选择．

变式2：

原题题设不变，将结论改为“求直线和平面所成角的正弦值”．

解法1：

点不是特殊点，它在平面内的射影不好定位．可利用垂面法，作出点在平面内的射影．如图9，过作于，在平面内过作交于，连结，则平面，又平面，所以平面平面．再过作于，则平面，连结，则是直线和平面所成的角．这样虽然作出了线面角，但要求出运算很复杂，决定放弃此法．

如图10，不妨设，则，，，．

取的中点，连结，易知平面，．

即直线和平面所成角的正弦值为．

如图4，同原题解法3建立空间直角坐标系，设，点，，，，及平面的法向量的坐标同原题解法3．不同的是：

由此即知，直线和平面所成角的正弦值为．

解法1的作图与运算很复杂，不可取．选择解法2和解法3比较合适．

综观原题与它们的两种变式的三种解法，各有千秋，都应掌握好.对于一道具体的题目来说究竟选择哪一种方法更好？

具体问题具体分析，需要根据题目所给的图形特征来确定：

若几何体容易作出线面角，解法1是最佳选择；

若几何体不容易作出线面角，而比较容易建立坐标系和求相关点的坐标，向量法是最佳选择；

若几何体不容易作出线面角，但能构造四面体用等体积法求斜线上一点到平面的距离，解法2也是比较不错的选择．