普通高等学校招生全国统一考试陕西卷理科数学试题及解答WORD版Word文档下载推荐.doc
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4
6."
等式sin（α+γ）=sin2β成立"
是"
α、β、γ成等差数列"
的（）
A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
7.已知双曲线－=1（a>
）的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为（）
A.2B.C.D.
8.已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为（）
A.2B.4C.6D.8
9.已知非零向量与满足（+）·
=0且·
=,则△ABC为（）
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形
C.等腰非等边三角形D.等边三角形
10.已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0<
a<
3）,若x1<
x2,x1+x2=1－a,则（）
A.f（x1）<
f（x2）B.f（x1）=f（x2）C.f（x1）>
f（x2）D.f（x1）与f（x2）的大小不能确定
11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是（）
A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必与α相交
C.平面ABC必不垂直于αD.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密）,接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为:
明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为（）
A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7
第二部分（共90分）
二．填空题：
把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13.cos43°
cos77°
+sin43°
cos167°
的值为
14.（3x－）12展开式x－3的系数为（用数字作答）
15.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是
16.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种
三．解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。
17.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=sin（2x－）+2sin2（x－）（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期;
（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合.
18.（本小题满分12分）
甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是,,.
（Ⅰ）现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
（Ⅱ）用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.
19.（本小题满分12分）
如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:
（Ⅰ）直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
（Ⅱ）二面角A1－AB－B1的大小.
A
B
A1
B1
α
β
l
第19题图
20.（本小题满分12分）
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.
21.（本小题满分12分）
如图,三定点A（2,1）,B（0,－1）,C（－2,1）;
三动点D,E,M满足=t,=t,=t,t∈[0,1].（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围;
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程.
y
x
O
M
D
C
－1
－2
1
2
E
22.（本小题满分１4分）
已知函数f（x）=x3－x2++,且存在x0∈（0,）,使f（x0）=x0.
（I）证明：
f（x）是R上的单调增函数；
设x1=0,xn+1=f（xn）;
y1=,yn+1=f（yn）,
其中 n=1,2,……
（II）证明：
xn<
xn+1<
x0<
yn+1<
yn;
（III）证明：
<
.
理科试题参考答案
一、选择题
1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．D8．B9．D
10．A11．D12．C
二、填空题
13．－14．59415．3R16．600
三、解答题
17.解:
（Ⅰ）f（x）=sin（2x－）+1－cos2（x－）
=2[sin2（x－）－cos2（x－）]+1
=2sin[2（x－）－]+1
=2sin（2x－）+1
∴T==π
（Ⅱ）当f（x）取最大值时,sin（2x－）=1,有2x－=2kπ+
即x=kπ+（k∈Z）∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,（k∈Z）}.
18.解:
（Ⅰ）记"
甲投篮1次投进"
为事件A1,"
乙投篮1次投进"
为事件A2,"
丙投篮1次投进"
为事件A3,"
3人都没有投进"
为事件A.则P（A1）=,P（A2）=,P（A3）=,
∴P（A）=P（）=P（）·
P（）·
P（）
=[1－P（A1）]·
[1－P（A2）]·
[1－P（A3）]=（1－）（1－）（1－）=
∴3人都没有投进的概率为.
（Ⅱ）解法一:
随机变量ξ的可能值有0,1,2,3）,ξ~B（3,）,
P（ξ=k）=C3k（）k（）3－k（k=0,1,2,3）,Eξ=np=3×
=.
解法二:
ξ的概率分布为:
ξ
3
P
Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=.
第19题解法一图
F
第19题解法二图
19.解法一:
（Ⅰ）如图,连接A1B,AB1,∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,
∴AA1⊥β,BB1⊥α.则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中,BB1=,AB=2,∴sin∠BAB1==.∴∠BAB1=45°
.
Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,sin∠ABA1==,∴∠ABA1=30°
故AB与平面α,β所成的角分别是45°
30°
（Ⅱ）∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°
∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B中,A1B===.由AA1·
A1B=A1F·
AB得A1F===,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE==,∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如图,建立坐标系,则A1（0,0,0）,A（0,0,1）,B1（0,1,0）,B（,1,0）.在AB上取一点F（x,y,z）,则存在t∈R,使得=t,即（x,y,z－1）=t（,1,－1）,∴点F的坐标为（t,t,1－t）.要使⊥,须·
=0,即（t,t,1－t）·
（,1,－1）=0,2t+t－（1－t）=0,解得t=,∴点F的坐标为（,－,）,∴=（,,）.设E为AB1的中点,则点E的坐标为（0,,）.∴=（,－,）.
又·
=（,－,）·
（,1,－1）=－－=0,∴⊥,∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE=====,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.
20.解:
∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6（n≥2）,②
由①－②得10an=（an2－an－12）+6（an－an－1）,即（an+an－1）（an－an－1－5）=0
∵an+an－1>
0,∴an－an－1=5（n≥2）.
当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.
21.解法一:
如图,（Ⅰ）设D（x0,y0）,E（xE,yE）,M（x,y）.由=t,=t,知（xD－2,yD－1）=t（－2,－2）.∴同理.∴kDE===1－2t.
∴t∈[0,1],∴kDE∈[－1,1].
（Ⅱ）∵=t∴（x+2t－2,y+2t－1）=t（－2t+2t－2,2t－1+2t－1）=t（－2,4t－2）=（－2t,4t2－2t）.∴,∴y=,即x2=4y.∵t∈[0,1],x=2（1－2t）∈[－2,2].
即所求轨迹方程为:
x2=4y,x∈[－2,2]
（Ⅰ）同上.
第21题解法图
（Ⅱ）如图,=+=+t=+t（－）=（1－t）+t,
=+=+t=+t（－）=（1－t）+t,
=+=+t=+t（－）=（1－t）+t
=（1－t2）+2（1－t）t+t2.
设M点的坐标为（x,y）,由=（2,1）,=（0,－1）,=（－2,1）得
消去t得x2=4y,∵t∈[0,1],x∈[－2,2].
故所求轨迹方程为:
22.解:
（I）∵f'
（x）=3x2－2x+=3（x－）2+>
0,∴f（x）是R上的单调增函数.
（II）∵0<
即x1<
y1.又f（x）是增函数,∴f（x1）<
f（x0）<
f（y1）.即x2<
y2.
又x2=f（x1）=f（0）=>
0=x1,y2=f（y1）=f（）=<
=y1,综上,x1<
x2<
y2<
y1.
用数学归纳法证明如下:
（1）当n=1时,上面已证明成立.
（2）假设当n=k（k≥1）时有xk<
xk+1<
yk+1<
yk.
当n=k+1时,由f（x）是单调增函数,有f（xk）<
f（xk+1）<
f（yk+1）<
f（yk）,∴xk+1<
xk+2<
yk+2<
yk+1
由
（1）
（2）知对一切n=1,2,…,都有xn<
yn.
（III）==yn2+xnyn+xn2－（yn+xn）+≤（yn+xn）2－（yn+xn）+
=[（yn+xn）－]2+.由（Ⅱ）知0<
yn+xn<
1.∴－<
yn+xn－<
∴<
（）2+=
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