专题十三:极坐标与参数方程2013-2016高考数学全国卷(理)Word格式.doc
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参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用
2、(2015全国I卷23题)(本小题满分10分)选修4-4:
在直角坐标系中,直线:
=2,圆:
以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(I)求,的极坐标方程;
(II)若直线的极坐标方程为,设与的交点为,,求的面积
(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得,的极坐标方程;
(Ⅱ)将将代入即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可求出的面积.
试题解析:
(Ⅰ)因为,
∴的极坐标方程为,的极坐标方程为.……5分
(Ⅱ)将代入,得,解得=,=,|MN|=-=,
因为的半径为1,则的面积=.
直角坐标方程与极坐标互化;
直线与圆的位置关系
3、(2014全国I卷23题)(本小题满分10分)选修4—4:
已知曲线:
,直线:
(为参数).
(Ⅰ)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.
【解析】:
.(Ⅰ)曲线C的参数方程为:
(为参数),
直线l的普通方程为:
………5分
(Ⅱ)
(2)在曲线C上任意取一点P(2cos,3sin)到l的距离为
,
则+-,其中为锐角.且.
当时,取得最大值,最大值为;
当时,取得最小值,最小值为.…………10分
4、(2013全国I卷23题)(本小题10分)选修4—4:
坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。
【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化,是容易题.
【解析】将消去参数,化为普通方程,
即:
,将代入得,
∴的极坐标方程为;
(Ⅱ)的普通方程为,
由解得或,∴与的交点的极坐标分别为(),.
5、(2016全国II卷23题)(本小题满分10分)选修4—4:
在直线坐标系xOy中,圆C的方程为.
(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(II)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,,求l的斜率.
【解析】解:
⑴整理圆的方程得,
由可知圆的极坐标方程为.
⑵记直线的斜率为,则直线的方程为,
由垂径定理及点到直线距离公式知:
即,整理得,则.
6、(2015全国II卷23题)(本小题满分10分)
选修4-4:
在直角坐标系xOy中,曲线C1:
(t为参数,t≠0),其中0≤α<
π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
,C3:
。
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求的最大值。
7、(2014全国II卷23题)(本小题满分10)选修4-4:
在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,.
(Ⅰ)求C的参数方程;
(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
8、(2013全国II卷23题)(本小题满分10分)选修4——4;
已知动点P,Q都在曲线C:
上,对应参数分别为β=α
与α=2π为(0<α<2π)M为PQ的中点。
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点。
9、(2013全国III卷23题)(本小题满分10分)选修4-4:
在直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(I)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(II)设点P在上,点Q在上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
(Ⅰ)的普通方程为,的直角坐标方程为;
(Ⅱ).
1、椭圆的参数方程;
2、直线的极坐标方程.