圆锥曲线知识点 例题 练习含答案(整理)文档格式.doc
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B2
顶点
对称轴
轴,轴;
短轴为,长轴为
焦点
焦距
离心率
(离心率越大,椭圆越扁)
通径
(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)
3.常用结论:
(1)椭圆的两个焦点为,过的直线交椭圆于两点,则的周长=
(2)设椭圆左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点,则的坐标分别是
二、双曲线:
(1)双曲线的定义:
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹。
两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
与()表示双曲线的一支。
表示两条射线;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:
标准
方程
虚轴为,实轴为
(离心率越大,开口越大)
渐近线
(3)双曲线的渐近线:
①求双曲线的渐近线,可令其右边的1为0,即得,因式分解得到。
②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是;
(4)等轴双曲线为,其离心率为
(4)常用结论:
(1)双曲线的两个焦点为,过的直线交双曲线的同一支于两点,则的周长=
(2)设双曲线左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点,则的坐标分别是
三、抛物线:
(1)抛物线的定义:
平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。
(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:
焦点在轴上,
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
F
轴
准线
焦半径
焦点弦
焦准距
四、弦长公式:
其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程
的判别式和的系数
求弦长步骤:
(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;
(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程设,,由韦达定理求出,;
(3)代入弦长公式计算。
法
(二)若是联立两方程,消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是:
注意
(1)上面用到了关系式和
注意
(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法
五、弦的中点坐标的求法
法
(一):
(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程设,,由韦达定理求出;
(3)设中点,由中点坐标公式得;
再把代入直线方程求出。
法
(二):
用点差法,设,,中点,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出。
六、求离心率的常用方法:
法一,分别求出a,c,再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e(求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是e﹥1)
例1:
设点P是圆上的任一点,定点D的坐标为(8,0),若点M满足.当点P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.
解设点M的坐标为,点P的坐标为,由,
得,即,.
因为点P在圆上,所以.即,
即,这就是动点M的轨迹方程.
例2:
已知椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0)且过点,求椭圆的标准方程
解法1因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为,
由椭圆的定义可知:
又所以所求的标准方程为
解法2,所以可设所求的方程为,将点代人解得:
所以所求的标准方程为
例3.
例4.
高二圆锥曲线练习题1
1、F1,F2是定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则M点的轨迹方程是()
(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段
2、已知的周长是16,,B,则动点的轨迹方程是()
(A)(B)(C)(D)
3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于()
A.B. C. D.
4、设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为()
A.B.C.D.
5、设双曲线的渐近线方程为,则的值为().
(A)4(B)3(C)2 (D)1
6、双曲线的实轴长是()
(A)2(B)2(C)4 (D)4
7、双曲线=1的焦点到渐近线的距离为()
A.B.2C.D.1
8、以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是()
A. B.
C. D.
9、、过椭圆=1(a>b>0)的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P,为右焦点,若,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
10.“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆的()
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6;
.
(2)焦点坐标为,,并且经过点(2,1);
.
(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的;
(4)离心率为,经过点(2,0);
12、与椭圆轴长为2的椭圆方程是:
13、在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线交于两点,且的周长为16,那么的方程为:
14、已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则.
15、已知、是椭圆C:
()的两个焦点,P为椭圆C上一点,且,若的面积是9,则.
16、求心在原点,焦点在坐标轴上,且经过P(4,),Q()两点的椭圆方程。
圆锥曲线练习题2
1.抛物线的焦点到准线的距离是()
A.B.C.D.
2.若抛物线上一点到其焦点的距离为,则点的坐标为()。
A.B.C.D.
3.以椭圆的顶点为顶点,离心率为的双曲线方程()
A.B.C.或D.以上都不对
4.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是()
A.或B.
C.或D.或
5.若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离,则点的坐标为()
6.椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直,则△的面积为()
A.B.C.D.
7.若点的坐标为,是抛物线的焦点,点在抛物线上移动时,使取得最小值的的坐标为()
A.B.C.D.
8.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是()
A.B.C.D.
9.若椭圆的离心率为,则它的长半轴长为_______________.
10.双曲线的渐近线方程为,焦距为,这双曲线的方程为______________。
11.抛物线的准线方程为___.
12.椭圆的一个焦点是,那么。
13.椭圆的离心率为,则的值为____________。
14.双曲线的一个焦点为,则的值为__________。
15.若直线与抛物线交于、两点,则线段的中点坐标是______。
16.为何值时,直线和曲线有两个公共点?
有一个公共点?
没有公共点?
17.在抛物线上求一点,使这点到直线的距离最短。
18.双曲线与椭圆有相同焦点,且经过点,求其方程。
19.设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且,
求△的面积。
高二圆锥曲线练习题
1、F1,F2是定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则M点的轨迹方程是(D)
2、已知的周长是16,,B,则动点的轨迹方程是(B)
3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于(D)
4、设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为(A)
5、设双曲线的渐近线方程为,则的值为(C).
6、双曲线的实轴长是(C)
7、双曲线=1的焦点到渐近线的距离为(A)
8、以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是(A)
9、、过椭圆=1(a>b>0)的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P,为右焦点,若,则椭圆的离心率为(B)
A.B.C.D.
10.“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆的(C)
解析:
将方程转化为,根据椭圆的定义,要使焦点在y轴上必须满足所以,
)或;
.
.
或;
或.
()
14、已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则8.
()的两个焦点,P为椭圆C上一点,且,若的面积是9,则3.
解:
设椭圆方程为,将P,Q两点坐标代入,解得
故为所求。
1.抛物线的焦点到准线的距离是(B)
2.若抛物线上一点到其焦点的距离为,则点的坐标为(C)。
3.以椭圆的顶点为顶点,离心率为的双曲线方程(C)
A.B.
C.或D.以上都不对
4.是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且∠,则Δ的面积为(C)
A.B.C.D.
5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是(D)
6.若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离,则点的坐标为(B)
7.椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直,则△的面积为(D)
8.若点的坐标为,是抛物线的焦点,点在抛物线上移动时,使取得最小值的的坐标为(D)
9.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是(A)
10.若椭圆的离心率为,则它的长半轴长为_______________.
11.双曲线的渐近线方程为,焦距为,这双曲线的方程为_______________。
12.抛物线的准线方程为_____.
13.椭圆的一个焦点是,那么1。
14.椭圆的离心率为,则的值为______________。
15.双曲线的一个焦点为,则的值为______________。
16.若直线与抛物线交于、两点,则线段的中点坐标是______。
17.为何值时,直线和曲线有两个公共点?
由,得,即
当,即时,直线和曲线有两个公共点;
当,即时,直线和曲线有一个公共点;
当,即时,直线和曲线没有公共点。
18.在抛物线上求一点,使这点到直线的距离最短。
设点,距离为,
当时,取得最小值,此时为所求的点。
19.双曲线与椭圆有相同焦点,且经过点,求其方程。
椭圆的焦点为,设双曲线方程为
过点,则,得,而,
,双曲线方程为。
20.设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且,
2.解:
双曲线的不妨设,则
,而
得
14