海伦公式的妙用Word文档格式.docx

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如图1，椭圆的左、右焦点分别是，，过椭圆上不与顶点重合的任一点作通过的弦，连接，，易知，的周长相等，周长为定值﹒

图1

根据海伦公式（其中，，为三角形三边的长度，其中）可得：

又，

所以有：

﹒

（1）

利用

（1）式，我们可以简便地解决一些涉及“”的椭圆问题，下面列举两例﹒

例1设椭圆的两个焦点分别是、，过的直线与与交于点、﹒若，，则椭圆的短轴与长轴的比值为﹒

图2

解：

如图2，连接﹒不妨设，，记椭圆的长轴、短轴的长度分别为、，焦距为，则﹒易知﹒

，的半周长﹒

根据上面

（1）式得

﹒

化简得：

平方化简求得：

进而易得，，因此椭圆的短轴与长轴的比值为.

例2已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A、B两点，若，则

A．1B．C．D．2

图3

解：

如图3，记椭圆的左焦点为，不妨设，，，则，，﹒

，的半周长﹒

根据上面

（1）式得

整理得

计算、平方得：

化简求得：

的三边长度分别为：

，，﹒根据余弦定理得

，

因为等于直线的倾斜角，

所以﹒故选B﹒