高中数学校本课程(整理)Word文档下载推荐.doc

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（2）∵c∈[1,4],∴∈[1,2],

于是,当x=时,函数f（x）=x+取得最小值2.

f

（1）－f

（2）=,

当1≤c≤2时,函数f（x）的最大值是f

（2）=2+；

当2≤c≤4时,函数f（x）的最大值是f

（1）=1+c.

（3）设0<

x1<

x2,g（x2）－g（x1）=.

当<

x2时,g（x2）>

g（x1）,函数g（x）在[,+∞）上是增函数；

当0<

x2<

时,g（x2）>

g（x1）,函数g（x）在（0,]上是减函数.

当n是奇数时,g（x）是奇函数,

函数g（x）在（－∞,－]上是增函数,在[－,0）上是减函数.

当n是偶数时,g（x）是偶函数,

函数g（x）在（－∞,－）上是减函数,在[－,0]上是增函数.

例5设x,y∈R，且满足，求x+y.

【讲解】设f（t）=t3+1997t，先证f（t）在（-∞，+∞）上递增。

事实上，若a<

b，则f（b）-f（a）=b3-a3+1997（b-a）=（b-a）（b2+ba+a2+1997）>

0，所以f（t）递增。

由题设f（x-1）=-1=f（1-y），所以x-1=1-y，所以x+y=2.

例6．已知函数的定义域为R，且对任意∈R都有，当时，，，试判断在区间[－3,3]上是否有最大值或最小值，若有，求出其最大值或最小值，若没有，说明理由.

设∈R且，则，所以.

∴＝

＝.∴

所以在R上为减函数，在[－3,3]上，.

因为，令则，

令，则，所以，所以为

奇函数，所以在区间[－3,3]上，.

例7已知函数的定义域为，且同时满足：

（1）

（2）恒成立（3）若，则有.

求函数的最大值和最小值.

设，∴，由

（2）知.

则

＝，即，所以在为增函数.

故函数在的最大值和最小值分别为和.

在（3）中令，得，∴，根据

（2）知

∴，所以函数的最大值和最小值分别为3和0.

四．课后练习

1.填空：

（1）函数的递增区间是______．

（2）函数递减区间是___．

2.奇函数f（x）在定义域（-1，1）内是减函数，又f（1-a）+f（1-a2）<

0，求a的取值范围。

3.解方程：

ln（＋x）＋ln（＋2x）＋3x＝0

4.设是定义在R上的函数并满足下列两个条件：

①对任意∈[0,1]都有；

②且.

（1）求；

（2）求证：

当时，在[0,1]上是增函数.

5.已知是定义在上的奇函数，且，当时，有.

（1）证明在是增函数；

（2）解不等式

第二讲函数的奇偶性与对称性

利用函数的奇偶性及图像的对称性等性质解决与函数有关的问题时，巧妙利用数形结合，使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.

1.奇偶性的定义。

2.奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域。

3.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。

4.对称性的几个结论：

若函数对定义域内的一切有：

⑴=，则函数图像关于轴对称。

⑵=−，则函数图像关于原点对称。

⑶=或=（为常数），函数图像关于对称。

⑷与=关于轴对称；

与=−关于轴对称；

与=−关于原点对称；

与=关于对称。

例1．函数的图像关于（）

A．轴对称 B．直线对称

C．坐标原点对称 D．直线对称

【解析】是奇函数，所以图象关于原点对称。

考查函数奇偶性的性质。

例2.函数,若，则的值为（）

A.3 B.0 C.-1 D.-2

【答案】B

【解析】为奇函数，又

故即

例3.f（x）是奇函数，x＞0时，f（x）=x·

（4－3x），那么x＜0时f（x）=_______．

【答案】x·

（4+3x）

【解析】设x＜0，则−x＞0，∴f（−x）=−x·

（4+3x），又∵f（x）是奇函数∴=−

∴−=−x·

（4+3x），∴=x·

例4.设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为（）

A.B.C.D.

【解析】：

本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。

依题当满足时，即时，得，此时又是连续的偶函数，

∴，∴另一种情形是，即，得，∴∴满足的所有之和为

例5.若定义在R上的函数满足：

对任意，有,则下列说法一定正确的是（）

（A）为奇函数 （B）为偶函数

（C）为奇函数 （D）为偶函数

【解析】令，得，，

所以，，

即，所以为奇函数,选C

例6函数y=f（x）对任意实数x，总有

（1）f（a－x）=f（b+x），这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论；

（2）f（a－x）=－f（b+x），这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论．

【解

（1）】设y=f（a－x）=f（b+x）则点P（a－x，y），Q（b+x，y）都在函数y=f（x）的图像上．

∵，且P、Q两点纵坐标相等，

∴PQ垂直直线，且被其平分，∴P、Q两点关于直线对称，

而P、Q又是曲线y=f（x）上的动点，

∴函数y=f（x）的图像关于直线对称．

问题:

当a=0,b=0函数f（x）具有什么性质?

特别地，若f（a+x）＝f（a－x），函数f（x）的图象关于直线x＝a对称；



【解

（2）】设y=f（a－x）=－f（b+x）则点R（a－x，y），S（b+x，－y）都在函数y=f（x）的图像上．

∴∴线段RS的中点是定点M（）．

即R、S两点关于定点M对称，而R、S是曲线y=f（x）上的动点．

∴函数y=f（x）的图像关于点M（）对称．

特别地，若f（a+x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.

例7.已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中:

①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；

②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；

③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；

④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.

其中正确的命题序号是.

【答案】④

【解析】①中的图像可由的图像向左平移2个单位得到，∴则函数f（x）的图象关于直线x＝−2对称；

②中条件可得函数f（x）的周期为8；

③中函数y＝f（2+x）的图像可由的图像向左平移2个单位得到，函数y＝f（2－x）的图象可由函数=向右平移2个单位得到，而与=的图像关于轴对称，∴函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象仍关于轴对称；

④与③同理。

例8．设函数的图象关于直线对称，则的值为（）

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】A

、在数轴上表示点到点、的距离，他们的和关于对称，因此点、关于对称，所以

（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以）

例9.已知函数f（x）的定义域为{x︱x∈R且x≠1}，f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f（x）＝2x2－x+1，则当x＞1时，f（x）的递减区间是 （）

A．［，+∞） B．（1，］C．［，+∞） D．（1，］

【解析】∵f（x+1）为奇函数，∴其图像关于原点对称，函数y＝f（x）的图像可由的图像向右平移1个单位得到，∴y＝f（x）的图像关于点（1，0）对称。

先画出当x＜1时，f（x）＝2x2－x+1的图像，根据对称性画出当x＞1时的图像，得到f（x）的递减区间是C

例10.设f（x）是R上的奇函数，且f（x＋3）＝－f（x），

当0≤x≤时，f（x）＝x，则f（2003）＝（）

A.－1 B.0 C.1 D.2003

【解析】法一：

∵f（x＋3）＝－f（x），∴f（x＋6）＝－f（x＋3）=－（－f（x））=f（x）

∴f（x）是周期为6的周期函数，∴f（2003）=f（−1）又∵f（x）是R上的奇函数

∴f（−1）=－f

（1）∵当0≤x≤时，f（x）=∴f

（1）=1∴f（2003）=−1

法二：

∴f（x）是周期为6的周期函数，∴f（2003）=f（−1）

∵f（x）是R上的奇函数，∴f（−x）＝－f（x）又∵f（x＋3）＝－f（x）∴f（x＋3）＝f（−x）

∴f（x）的图像关于x=对称，∵当0≤x≤时，f（x）＝，可根据对称性画出在区间[0,3]上的图像，再根据奇函数图像关于原点对称，画出在区间[−3,0]上的图像由图可知f（2003）=f（−1）=−1x

1.5

3

y

−3

注：

有时画图比较直观，能更快找到答案。

1.设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（）

（A）是奇函数（B）是奇函数

（C）是偶函数（D）是偶函数

2.已知函数f（x）对任意实数a，b都有，且

f（0）≠0，则f（x）是（）

（A）奇函数非偶函数

（B）偶函数非奇函数

（C）是奇函数也是偶函数

（D）既非奇函数也非偶函数

3.函数y＝f（x）的图像与函数g（x）＝log2x（x＞0）的图像关于原点对称，则f（x）的表达式为

（A）f（x）＝（x＞0）（B）f（x）＝log2（－x）（x＜0）

（C）f（x）＝－log2x（x＞0）（D）f（x）＝－log2（－x）（x＜0）

4..定义在实数集上的函数f（x），对一切实数x都有f（x＋1）＝f（2－x）成立，若f（x）＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（）

A.150 B. C.152D.

5函数y=f（x）在（-∞,0]上是减函数，而函数y=f（x+1）是偶函数．设，b=f（3），c=f（π）．那么a，b，c的大小关系是____.

6.（2005年·

福建）f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f

（2）＝0，则方程

f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）

A．2 B．3C．4D．5

第三讲函数的周期性

能求周期函数的周期，能利用函数的周期性及图像的对称性等性质解决与函数有关的问题提高学生的综合能力，培养学生良好的思维品质。

1.周期性的定义：

如果函数y＝f（x）对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f（x＋T）＝f（x）恒成立，则称函数f（x）是周期函数，T是它的一个周期.

一般情况下，如果T是函数f（x）的周期，则kT（k∈N＋）也是f（x）的周期

2.周期性的几个结论

①若f（x+a）＝f（x+b）（a≠b），则f（x）是周期函数，︱b－a︱是它的一个周期；

②若f（x+a）＝－f（x）（a≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期；

③若f（x+a）＝（a≠0且f（x）≠0），则是周期函数2a是它的一个周期.

例1已知函数f（x），对任意实数x，有下面四个关系式成立：

（1）f（x）=－f（x+a）（a为非零常数）；

（2）f（x）=f（a－x）（a为非零常数）；

（3）f（a－x）=f（b－x）（a,b为常数且a2+b2≠0）

（4）f（a－x）=－f（b－x）（a,b为常数且a2+b2≠0）

其中使f（x）是周期函数的关系式是_______．

【答案】

（1），（3），（4）

【解析】考查

（1），f（x）=－f（x+a）说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：

f（x）=－f（x+a）=f（x+2a）

∴等式

（1）使f（x）是周期函数，且2a是周期；

考查

（2），f（x）=f（a－x）表明函数f（x）的图像关于直线对称，这不一定能使其为周期函数；

考查（3），f（a－x）=f（b－x）表明自变数相差a－b时，函数值相等，即f（x）=f（a－b+x）

∴等式（3）使f（x）是周期函数，且a－b是周期．

考查（4），f（a－x）=－f（b－x）表明自变数相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同

（1），能使f（x）为周期函数，且2（a－b）是周期．

综上所述，应填

（1），（3），（4）．

例2f（x）是R上的以2为周期的周期函数，又是奇函数，且x∈（0，1）时，则f（x）在（1，2）上

（A）是增函数，且f（x）＞0（B）是减函数，且f（x）＞0

（C）是增函数，且f（x）＜0（D）是减函数，且f（x）＜0

【讲解】认识f（x）在（1，2）上的性质，可以把f（x）在（1，2）上的解析式求出来，或者由f（x）的性质去推断：

∵f（x）的周期是2．∴f（x）在（1，2）和（－1，0）的性质一致，

∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（－1，0）和（0，1）上的增减性相同，但符号相反．

因此，函数f（x）在（0,1）上与（1，2）上的增减性相同，而符号相反．

【解法1】0＜x＜１Þ

0＜１－x＜１

在（0，1）上，1－x是减函数，是增函数是增函数，

于是，f（x）在（1，2）上是增函数，且f（x）＜0．

故选（C）．

【解法2】设x∈（1，2）则－1＜x－2＜0且f（x）=f（x－2），

∵－1＜x－2＜0,∴0＜2－x＜1

于是，

∵f（x）是奇函数，∴f（2－x）＝－f（x－2），

∴

可见，f（x）在（1，2）上是增函数，且f（x）＜0

故选（C）．

例3.已知函数f（x）对任意实数x,都有f（x＋m）＝f（x－m）,求证:

2m是f（x）的一个周期.

【证明】：

因为f（x＋m）＝f（x－m）

令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m于是f（t＋2m）＝f（t）对于t∈R恒成立，

所以f（x）是以2m为周期的周期函数.

例4.已知函数f（x）对任意实数x,都有f（x＋m）＝

求证:

2m是f（x）的一个周期.

由已知f（x＋2m）＝f[（x＋m）＋m] ＝f（x）

所以f（x）是以2m为周期的周期函数.

例5.已知函数f（x）对任意实数x,都有f（a＋x）＝f（a－x）且f（b＋x）＝f（b－x）,

2|a－b|是f（x）的一个周期.（a≠b）

不妨设a＞b

于是f（x＋2（a－b））＝f（a＋（x＋a－2b））＝f（a－（x＋a－2b））＝f（2b－x）

＝f（b－（x－b））＝f（b＋（x－b））＝f（x）

∴2（a－b）是f（x）的一个周期

当a＜b时同理可得

所以，2|a－b|是f（x）的周期

例6.已知函数f（x）的定义域为N，且对任意正整数x，都有f（x）＝f（x－1）＋f（x＋1）

若f（0）＝2004，求f（2004）

【解】：

因为f（x）＝f（x－1）＋f（x＋1）所以f（x＋1）＝f（x）＋f（x＋2）

两式相加得0＝f（x－1）＋f（x＋2）即：

f（x＋3）＝－f（x）

∴f（x＋6）＝f（x）

f（x）是以6为周期的周期函数

∵2004＝6×

334∴f（2004）＝f（0）＝2004

例7f（x）是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f（x+2）＝－f（x），且xÎ

[0，1]时，

f（x）＝x，则f（x）在R上的解析式为．

【解】∵f（x+2）＝－f（x），∴f（x+4）＝－f（x+2）＝f（x），

∴f（x）是周期函数，4是周期．

∵f（－x）＝－f（x）．∴f（x+2）＝f（－x），

∴f（x）的图像关于x＝1对称，

由上述这些性质，及xÎ

[0，1]时，y=x，

得知f（x）的图像如下：

其中斜率为1的线段过点（4m，0），

其中斜率为－1的线段过点（4m+2，0）．

故解析式为

例8.已知对于任意a，b∈R，有f（a＋b）＋f（a－b）＝2f（a）f（b），且f（x）≠0

⑴求证：

f（x）是偶函数；

⑵若存在正整数m使得f（m）＝0，求满足f（x＋T）＝f（x）的一个T值（T≠0）

⑴【证明】：

令a＝b＝0得，f（0）＝1（f（0）＝0舍去）

又令a＝0，得f（b）＝f（－b），即f（x）＝f（－x）

所以，f（x）为偶函数

⑵【解】：

令a＝x＋m，b＝m得f（x＋2m）＋f（x）＝2f（x＋m）f（m）＝0

所以f（x＋2m）＝－f（x）

于是f（x＋4m）＝f[（x＋2m）＋2m]=－f（x＋2m）＝f（x）

即T＝4m（周期函数）

例9设f（x）的定义域为R，其图像关于直线x＝2和x＝0对称，且xÎ

[4，6]时，

f（x）＝2x+1，那么在区间[－2，0]上，f－1（x）的解析式为

（A）y＝log2（x－4）（B）y＝4－log2（x－1）

（C）y＝4+log2（x－1）（D）y＝－log2（x－1）

【分析】如何用好x＝2，x＝0是图像对称轴这个条件，并把两者综合而得新的性质？

这就要想到：

y＝f（x）图像关于x＝a对称Û

xÎ

R时有f（x）＝f（2a－x）

【解】∵y＝f（x）的图像关于x＝0对称，∴f（x）＝f（－x），

∵y＝f（x）的图像关于x＝2对称，∴f（－x）＝f（4+x）．

于是有f（x）＝f（4+x）∴f（x）是周期为4的函数，

当－2≤x≤0时，0≤－x≤2且－x+4∈[4，6]

∵y＝f（x）的图像关于x＝0对称，∴f（x）＝f（－x）．

∵周期为4，∴f（－x）＝f（－x+4）＝2－x+4+1

即在[－2，0]上，y＝f（x）＝2－x+4+1

∴2－x+4＝y－1∴－x+4＝log2（y－1）

∴x=4－log2（y－1）∴[－2，0]上，f−1（x）＝4－log2（x－1）

1.已知函数f（x）对任意实数x,都有f（x＋m）＝－f（x）,求证:

2.已知函数f（x）对任意实数x,都有f（x＋m）=－，求证:

4m是f（x）的一个周期..

3.函数对于任意实数满足条件，若则__________。

4.设定义在上的函数满足，若，则（）

（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）

5.例11.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an（n∈N＋）

①求a100；

②求S100.

6..设f（x）是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f（x）|≤1,并且

，求证:

f（x）是周期函数.

竞赛讲座二三角函数

第四讲三角函数的性质

一、知识要点

三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。

由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。

二、例题选讲

1．三