高中数学选修2-1课时作业：综合测评一+Word版含答案Word格式.doc
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③若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.其中所有正确命题的序号是：
A．①③ B．②④
C．①④ D．③④
6．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为（ ）
A. B．2
C．4 D．8
7．若双曲线－＝1的渐近线与圆（x－3）2＋y2＝r2（r>
0）相切，则r＝（ ）
C．3 D．6
8．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1（a>
b>
0）上的一点，若·
＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
9．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A. B.
10．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
11．如图，F1，F2分别是双曲线C：
－＝1（a，b>
0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF1|＝|F1F2|，则C的离心率是（ ）
12．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离为x，y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹是（ ）
A．x2－y2＝9（x≥0） B．x2－y2＝9（x≥0，y≥0）
C．y2－x2＝9（y≥0） D．y2－x2＝9（x≥0，y≥0）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<
0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
14．双曲线－＝1的一个焦点到其渐近线的距离是________．
15．若A为抛物线y＝x2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则·
等于______．
16．如图，双曲线－＝1（a，b>
0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则
（1）双曲线的离心率e＝________；
（2）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0，求方程有两个大于1的根的充要条件．
18．
（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）．
19．已知命题p：
∀x∈R，cos2x＋sinx＋a≥0，命题q：
∃x∈R，ax2－2x＋a<
0，命题p∨q为真，命题p∧q为假．求实数a的取值范围．
20．已知椭圆C：
＋＝1（a>
0）的一个顶点为A（2,0），离心率为.直线y＝k（x－1）与椭圆C交于不同的两点M、N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为时，求k的值．
21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°
，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
（1）求证：
BD⊥平面AED；
（2）求二面角F－BD－C的余弦值．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P（x0,4）到焦点F的距离为5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（1）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；
（2）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程．
参考答案：
1.解析：
向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b≠0，a∥b⇔a＝λb，a＝（1，－3,2）＝－1，故选C.
答案：
C
2.解析：
∀x的否定为∃x0，>
的否定为≤，所以命题綈p为∃x0∈（－，），tanx0≤sinx0.
3.析：
依题意得f（x）＝a2x2＋2（a·
b）x＋b2.由函数f（x）是偶函数，得a·
b＝0，又a，b为非零向量，所以a⊥b；
反过来，由a⊥b得，a·
b＝0，f（x）＝a2x2＋b2，函数f（x）是偶函数．综上所述，“函数f（x）＝（ax＋b）2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，选C.
4.解析：
当x＋y>
2时，x，y中至少有一个数大于1；
当x，y中至少有一个数大于1，x＋y不一定大于2.
B
5.解析：
对于②没明确m，n的关系，若m，n平行，则α不一定平行于β；
对于④，n也不能在β内，故②④错．
A
6.解析：
抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A（－4,2）在等轴双曲线C：
x2－y2＝a2（a>
0）上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.
7.解析：
双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±
x，因为双曲线的渐近线与圆（x－3）2＋y2＝r2（r>
0）相切，故圆心（3,0）到直线y＝±
x的距离等于圆的半径r，则r＝＝.
8.解析：
由·
＝0，得△PF1F2为直角三角形，由tan∠PF1F2＝，设|PF2|＝s，则|PF1|＝2s，又|PF2|2＋|PF1|2＝4c2（c＝），即4c2＝5s2，c＝s，而|PF2|＋|PF1|＝2a＝3s，∴a＝，∴e＝＝，故选D.
D
9.解析：
设CA＝2，则C（0,0,0），A（2,0,0），B（0,0,1），C1（0,2,0），B1（0,2,1），可得向量＝（－2,2,1），＝（0,2，－1），由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝，故选A.
10.解析：
①作直线c∥α，且与b相交，∵a⊥α，∴a⊥c，∴a垂直过b与c的平面，设为γ，γ与α垂直于同一直线，故γ∥α，b⊂γ，∴b∥α，故①正确；
②∵a∥α，∴必有直线b⊂α，且b∥a，∵a⊥β，∴b⊥β
∴α⊥β，故②正确．
③∵α⊥β，∴存在直线b⊂α且b⊥β，又∵a⊥β，∴a∥b，∴a∥α成直线a⊂α，故③正确
④若b⊂α，④显然成立，若b⊄α，由①知b∥α，结合②知，必有α⊥β，故④正确．
11.解析：
不妨设c＝1，则直线PQ：
y＝bx＋b，两渐近线为y＝±
x，因此有交点P（－，），Q（，），设PQ的中点为N，则点N的坐标为（，），
因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为（3,0），
因此有kMN＝＝－，所以3－4a2＝b2＝1－a2，
所以a2＝，所以e＝.
12.解析：
如图，设AC＝x，BC＝y，则|PC|2＝x2＋42＝y2＋52，∴x2－y2＝9（x≥0，y≥0）
13.解析：
原命题的否定形式为∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0，为真命题．即2x2－3ax＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝（－3a）2－4×
2×
9≤0，解得－2≤a≤2.
[－2，2]
14.解析：
∵双曲线－＝1的左，右焦点坐标分别为（－5,0），（5,0），渐近线方程为y＝±
x，∴焦点（5,0）到渐近线3x－4y＝0的距离为＝3.
3
15.解析：
抛物线y＝x2的焦点为（0,1），顶点A（0,0），设过（0,1）的直线方程为y＝kx＋1，B（x1，y1），C（x2，y2），y＝kx＋1与y＝x2联立得x2－4kx－4＝0，·
＝（x1，y1）·
（x2，y2）＝x1x2＋（kx1＋1）（kx2＋1）＝x1x2（k2＋1）＋k（x1＋x2）＋1
x1x2＝－4，x1＋x2＝4k，∴·
＝－4（k2＋1）＋k×
4k＋1＝－3
－3
16.解析：
（1）由题意可得a＝bc，
∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.
（2）设sinθ＝，cosθ＝，
＝＝＝＝e2－＝.
（1）
（2）
17.解：
设方程的两根为x1，x2，且x1>
1，x2>
1.由题意可得
，即.
由根与系数的关系，得，
解得k<
－2.
当k<
－2时，可知方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两根都大于1.因此方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件是k<
18.解：
（1）法一：
如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别为a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn.
则a·
c＝a·
（λb＋μn）＝λ（a·
b）＋μ（a·
n），
因为a⊥b，所以a·
b＝0，
又因为a⊂π，n⊥π，所以a·
n＝0，故a·
c＝0，从而a⊥c.
法二：
如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.
∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a，
又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b＝P，
∴a⊥平面PAO，又c⊂平面PAO，∴a⊥c.
（2）逆命题为：
a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.
逆命题为真命题．
19.解：
由命题p得a≥－cos2x－sinx＝2sin2x－sinx－1＝2（sinx－）2－，
因为sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝－1时，（2sin2x－sinx－1）max＝2，所以命题p：
a≥2，由命题q得：
当a≤0时显然成立；
当a>
0时，需满足Δ＝4－4a2>
0，解得0<
a<
所以命题q：
因为命题p∨q为真，命题p∧q为假，所以命题p和q一真一假
若命题p真q假，则a≥2；
若命题p假q真，则a<
综上，实数a的取值范围是（－∞，1）∪[2，＋∞）．
20.解：
（1）由题意得解得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）由得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则
y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1），x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A（2,0）到直线y＝k（x－1）的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·
d＝.
由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±
1.
21.解：
（1）证明：
因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°
，
所以∠ADC＝∠BCD＝120°
.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°
因此∠ADB＝90°
，AD⊥BD，
又AE⊥BD，
且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，
所以BD⊥平面AED.
（2）法一：
连接AC，由
（1）知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设CB＝1，
则C（0,0,0），B（0,1,0），D（，－，0），F（0,0,1），
因此＝（，－，0），＝（0，－1,1）．
设平面BDF的法向量为m＝（x，y，z），
则m·
＝0，m·
＝0，
所以x＝y＝z，
取z＝1，则m＝（，1,1）．
由于＝（0,0,1）是平面BDC的一个法向量，
则cos〈m，〉＝＝＝，
所以二面角F－BD－C的余弦值为.
如图，取BD的中点G，连接CG，FG，
由于CB＝CD，因此CG⊥BD，
又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以FC⊥BD.
由于FC∩CG＝C，FC，CG⊂平面FCG，
所以BD⊥平面FCG，
故BD⊥FG，
所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角．
在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°
因此CG＝CB，
又CB＝CF，
所以GF＝＝CG，
故cos∠FGC＝，
因此二面角F－BD－C的余弦值为.
22.解：
（1）依题意设抛物线C：
x2＝2py（p>
0），
因为点P到焦点F的距离为5，
所以点P到准线y＝－的距离为5.
因为P（x0,4），所以由抛物线准线方程可得＝1，p＝2.
所以抛物线的标准方程为x2＝4y.
即y＝x2，所以y′＝x，点P（±
4,4），
所以y′|x＝－4＝×
（－4）＝－2，y′|x＝4＝×
4＝2.
所以点P（－4,4）处抛物线切线方程为y－4＝－2（x＋4），即2x＋y＋4＝0；
点P（4,4）处抛物线切线方程为y－4＝2（x－4），即2x－y－4＝0.
P点处抛物线切线方程为2x＋y＋4＝0或2x－y－4＝0.
（2）设直线l的方程为y＝2x＋m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消y得x2－8x－4m＝0，Δ＝64＋16m>
0.
所以x1＋x2＝8，x1x2＝－4m，
所以＝4，＝8＋m，
即AB的中点为Q（4,8＋m）．
所以AB的垂直平分线方程为y－（8＋m）＝－（x－4）．
因为四边形AMBN为菱形，
所以M（0，m＋10），M，N关于Q（4,8＋m）对称，
所以N点坐标为N（8，m＋6），且N在抛物线上，
所以64＝4×
（m＋6），即m＝10，
所以直线l的方程为y＝2x＋10.
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