-江苏省苏州市高二上期末数学试卷Word格式.doc

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16．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：

（1）AD⊥CD；

（2）EF∥平面ADD1A1．

17．（14分）从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元．

（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；

（2）该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用．

18．（16分）已知椭圆C：

+=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：

A，P，Q三点共线．

19．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx（a为实数），g（x）=x﹣1，h（x）=．

（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性；

（3）若h（x）=f（x），求实数a的值．

20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：

x2+y2=1，P为直线l：

x=t（1＜t＜2）上一点．

（1）已知t=．

①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；

②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；

（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，求线段NQ长的最小值．

第二卷（附加题.每题10分。

）

21．求曲线f（x）=在x=2处的切线与x轴交点A的坐标．

22．已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，定点M（﹣1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且，求点Q的轨迹方程．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：

BE⊥DC；

（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

24．如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点

（1）若k1+k2=0，，求线段MN的长；

（2）若k1•k2=﹣1，求△PMN面积的最小值．

参考答案与试题解析

1．（5分）命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是　∀x∈R，x2≤9　．

【解答】解：

命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是命题“∀x∈R，x2≤9”，

故答案为：

∀x∈R，x2≤9．

2．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为　　．

抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0），

（，0）．

3．（5分）过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为　3x﹣2y+2=0　．

∵直线2x+3y﹣4=0的斜率k=﹣，

∴与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线的斜率为．

则点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为y﹣1=×

（x﹣0），

整理得：

3x﹣2y+2=0．

4．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△ABO的面积等于　6　．

直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A（4，0），B（0，﹣3），

∴S△ABO==6．

6．

5．（5分）函数y=x3﹣2x2+x的单调递减区间为　（，1）　．

y′=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），

令y′＜0，解得：

＜x＜1，

故函数在（，1）递减，

（，1）．

x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行”的　充分不必要　条件．（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）

若直线l1：

x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行，

则m（m﹣1）=2，解得：

m=2或m=﹣1，

故m=﹣1是直线平行的充分不必要条件，

充分不必要．

7．（5分）函数y=x2﹣x﹣lnx在区间[1，3]上的最小值等于　0　．

y′=2x﹣1﹣=，

由x∈[1，3]，

故y′≥0在[1，3]恒成立，

故函数在[1，3]递增，

x=1时，函数取最小值，

函数的最小值是0，

0．

其中正确的结论序号是　①②④　．

①由底面为正方形，可得AD∥BC，

AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

可得AD∥平面PBC；

②在正方形ABCD中，AC⊥BD，

PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，

PA∩AC=A，可得BD⊥平面PAC，

BD⊂平面PBD，即有平面PAC⊥平面PBD；

③PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AC，

可得∠BAC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，

显然∠BAC=45°

，故平面PAB⊥平面PAC不成立；

④在正方形ABCD中，可得CD⊥AD，

PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，

PA∩AD=A，可得CD⊥平面PAD，

CD⊂平面PCD，即有平面PAD⊥平面PDC．

综上可得，①②④正确．

①②④．

x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay﹣1=0对称，过点A（﹣4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=　6　．

∵圆C：

x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，

表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．

由题意可得，直线l：

x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），

故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．

∵AC==2，CB=R=2，

∴切线的长|AB|==6．

故答案为6．

10．（5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为　24　．

∵圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，

圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，

∴，解得l=，

∴圆锥乙的高h==，

∴圆柱甲和圆锥乙的体积之比为：

==24．

24．

11．（5分）已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为　[﹣1，1]　．

f′（x）=，

令f′（x）＜0，解得：

﹣1＜x＜3，

故f（x）在（﹣1，3）递减，

故（m，m+2）⊆（﹣1，3），

故，解得：

﹣1≤m≤1，

[﹣1，1]．

ax+y+2=0和点A（﹣3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为　a≤0，或a≥　．

取M（x，﹣2﹣ax），

∵直线l上存在点M满足MA=2MO，

∴=2，

化为：

（a2+1）x2+（4a﹣2）x+1=0，此方程有实数根，

∴△=（4a﹣2）2﹣4（a2+1）≥0，

化为3a2﹣4a≥0，

解得a≤0，或a≥．

a≤0，或a≥．

13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是　﹣2　．

y=2alnx的导数为y′=，

由于直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，

则设切点为（m，n），

则2=，n=2m+b，n=2alnm，

即有b=2alna﹣2a（a＞0），

b′=2（lna+1）﹣2=2lna，

当a＞1时，b′＞0，函数b递增，

当0＜a＜1时，b′＜0，函数b递减，即有a=1为极小值点，

也为最小值点，且最小值为：

2ln1﹣2=﹣2．

﹣2．

14．（5分）已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为　　．

由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），

令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±

b=±

，

可得P（﹣c，±

），

设直线AE的方程为y=k（x+a），

令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），

∵直线BM与y轴交于点N，NE=2ON，

∴N（0，），

由B，N，M三点共线，可得kBN=kBM，

即为=，

化简可得=，即为a=2c，

可得e==．

．

（1）设圆心坐标为（a，﹣a），则（a+3）2+a=（a﹣1）2+（a﹣2）2，解得a=﹣1，r=，

∴圆M的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=5，

（2）由题意，直线l不过原点，设方程为=1，即2x+y﹣2a=0，

∵直线l与圆M相切，

∴=，

∴a=2或﹣3，

∴直线l的方程为2x+y﹣4=0或2x+y+6=0．

【解答】证明：

（1）由底面ABCD为矩形可得AD⊥CD

又∵平面C1D1DC⊥平面ABCD，

平面C1D1DC∩平面ABCD平面=CD，

∴AD⊥平面C1D1DC．

又∵CD1⊂面C1D1DC，

∴AD⊥CD1．

（2）设DD1中点为G，连结EG，AG．

∵E，G分别为CD1，DD1的中点，

∴EG∥CD，EG=CD．

在矩形ABCD中，

∵F是AB的中点，

∴AF=CD且AF∥CD，

∴EG∥AF，且EG=AF．

∴四边形AFEG是平行四边形，

∴EF∥AG．

又∵AG⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1，

∴EF∥平面ADD1A1．

（1）设游轮以每小时vkm/h的速度航行，游轮单程航行的总费用为f（v）元，

∵游轮的燃料费用每小时k•v3元，依题意k•103=60，则k=0.06，

∴S=f（v）=+3240×

=6v2+（0＜v≤50）；

（2）f′（v）=，

f′（v）=0得，v=30，

当0＜v＜30时，f′（v）＜0，此时f（v）单调递减；

当30＜v＜50时，f′（v）＞0，此时f（v）单调递增；

故当v=30时，f（v）有极小值，也是最小值，f（30）=16200，

所以，轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为30km/h．

（Ⅰ）由已知可得a﹣c=2，，又b2=a2﹣c2=12，

解得a=4．

故所求椭圆C的方程为=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣4，0），B（4，0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴．

∵P（x1，y1）在椭圆C上，

∴，即．

又∵，

∴kPAk2=﹣1．①

由已知点Q（x2，y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，

∴QA⊥QB．

∴kQA•k2=﹣1．②

由①②可得kPA=kQA．

∵直线PA，QA有共同点A，

∴A，P，Q三点共线．

（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣lnx，f

（1）=0，f′（x）=1﹣，∴f′

（1）=0，

∴函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx在点（1，f

（1））处的切线方程为y=0；

（2）f′（x）=a﹣（x＞0），

a≤0，f′（x）＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；

a＞0，由f′（x）＞0，解得x＞，函数的单调递增区间是（，+∞），

f′（x）＜0，0＜x＜，函数的单调递减区间是（0，）；

（3）令G（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）（x﹣1）﹣lnx，定义域（0，+∞），G

（1）=0．

∵h（x）=f（x），∴x＞0，G（x）≥0成立；

a≤1，G′（x）=a﹣1﹣＜0，G（x）在（0，+∞）单调递减，

∴G

（2）＜G

（1）=0，此时题设不成立；

a＞1时，G（x）在（0，）上单调递减，（）上单调递增，

∴G（x）min=2﹣a+ln（a﹣1），

∴2﹣a+ln（a﹣1）≥0恒成立，

令t=a﹣1，t＞0，则1﹣t+lnt≥0恒成立，

令H（t）=1﹣t+lnt（t＞0），则H

（1）=0，H′（t）=，

∴H（t）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，

∴H（t）max=H

（1）=0，

∴H（t）≤0（t=1时取等号），

t＞0时，1﹣t+lnt=0的解为t=1，即a=2．

（1）①设点P的坐标为（，y0），因为OP=，所以（）2+y02=（）2，解得y0=±

1．

又点P在第一象限，所以y0=1，即点P的坐标为（，1），易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，

则切线为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k=0，于是有=1，解得k=0或k=．

因此过点P的圆O的切线方程为：

y=1或24x﹣7y﹣25=0．

②设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有，即．

该方程组有解，即圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点．

于是1≤≤3，解得﹣≤y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[﹣，]．

（2）设R（x2，y2），则，解得x2=，=1﹣．

直线RM的方程为：

﹣（x﹣t）．

由可得N点横坐标为，

所以NQ==，所以当t2=，即t=时，NQ最小为．

f（x）=的导数为f′（x）==，

可得曲线f（x）=在x=2处的切线斜率为f′

（2）=，

切点为（2，），

则曲线f（x）=在x=2处的切线方程为y﹣=（x﹣2），

可令y=0，则x=．

即有切线与x轴交点A的坐标为（，0）．

设P的坐标为（x，y），Q（a，b），则

∵，定点M（﹣1，2），

∴

∴x=﹣2a﹣3，y=﹣2b+6

∵Q是圆x2+y2=1上的动点

∴x2+y2=1

∴（﹣2a﹣3）2+（﹣2b+6）2=1

即动点Q的轨迹方程是（x+）2+（y﹣3）2=．

（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）

∴=（0，1，1），=（2，0，0）

∵•=0，

∴BE⊥DC；

（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），

设平面PBD的法向量=（x，y，z），

由，得，

令y=1，则=（2，1，1），

则直线BE与平面PBD所成角θ满足：

sinθ===，

故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．

（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），

由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，

解得λ=，

即=（﹣，，），

设平面FBA的法向量为=（a，b，c），

由，得

令c=1，则=（0，﹣3，1），

取平面ABP的法向量=（0，1，0），

则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：

cosα===，

故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，则

设直线AB的方程为y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣y﹣8=0

∴y1+y2=，y1y2=﹣8，

∵，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2，

∴yM=1，

∵k1+k2=0，

∴线段AB和CD关于x轴对称，

∴线段MN的长为2；

（2）∵k1•k2=﹣1，∴两直线互相垂直，

设AB：

x=my+2，则CD：

x=﹣y+2，

x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，

则y1+y2=4m，y1y2=﹣8，

∴M（2m2+2，2m）．

同理N（+2，﹣），

∴|PM|=2|m|•，|PN|=•，|

∴S△PMN=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4，

当且仅当m=±

1时取等号，

∴△PMN面积的最小值为4．

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