教师资格证数学学科(高中数学)文档格式.docx
《教师资格证数学学科(高中数学)文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教师资格证数学学科(高中数学)文档格式.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
⑺恰当运用现代信息技术，提高教学质量
6.评价建议：
⑴重视对学生数学学习过程的评价
⑵正确评价学生的数学基础知识和基本能力
⑶重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评）
⑷实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象）
⑸根据学生的不同选择进行评价
第二章教学知识
7.教学原则
抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”）
8.教学过程
备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用）
9.教学方法
⑴讲授法：
科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教学语言）
⑵讨论法：
体现“学生是学习的主体”的特点。
⑶自学辅导法：
卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学
⑷发现法：
又称问题教学法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；
寻找问题答案，探讨问题解法；
完善问题解答，总结思路方法；
知识综合，充实改善学生的知识结构。
10.概念教学
⑴概念的内涵与外延：
当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；
当概念的内涵缩小时，则概念的外延就扩大。
内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。
⑵概念间的逻辑关系：
相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）
⑶概念下定义的常见方式：
属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如“fx=xα”）
⑷数学概念获得的主要方式：
概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）
11.命题教学：
整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实施之前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）
12.推理教学
⑴推理的结构：
任何推理都是由前提和结论两部分组成的
⑵推理的形式：
演绎推理（由一般到特殊；
前提真，结论真；
三段论：
大前提、小前提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）
13.问题解决教学
⑴数学问题的设计原则：
可行性原则、渐进性原则、应用性原则
⑵纯粹数学问题解决：
波利亚怎样解题表（分析题意；
拟定计划；
执行计划；
验算所得到的解）
⑶非常规问题解决：
建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；
建立数学模型；
求解数学模型；
检验；
交流和评价；
推广）
14.学习方式：
自主学习、探究学习、合作学习
第三章教学技能
15.教学设计
⑴课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。
⑵教学设计与教案的关系：
①内容不同：
教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设计与使用以及学习效果评价等。
侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；
教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、如何教。
②核心目的不同：
教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。
达到更好的教学效果是教学设计的核心目的；
教案的核心目的就是教师怎样讲好教学内容。
③范围不同：
从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。
⑶数学课堂教学设计的意义：
①使课堂教学更规范、操作性更强
②使课堂教学更科学
③使课堂教学过程更优化
⑷数学课堂教学设计的基本要求：
①充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本
②适应学生的学习心理和年龄特征
③重视课程资源的开发和利用
④注重预设与生成的辩证统一
⑤辩证认识和处理教学中的多种关系
⑥整体把握教学活动的结构
⑸数学教学设计的准备：
①认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求
②全面关注学生需求
③认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图
④广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计
⑤制定学期教学计划、单元教学计划
⑹教材分析
①分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务
②整体系统的观念用教材
③理解教材的编排意图
④突出教材的重点和难点
⑺学情分析
①分析学生原有的认知基础
②分析学生的个体差异
③了解学生的生理、心理
④了解学生对本学科学习方法的掌握情况
⑤分析学习知识时可能要遇到的困难
⑻制定合理教学目标的要求
①反映学科特点，体现内容本质
②要有计划性，可评价性
③格式要规范，用词要考究
④要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等
⑤注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究）
⑥要实在具体，不浮华
⑼教学反思
①教学反思的内容：
对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思
②教学反思的步骤：
截取课堂教学片段及其相关的教学设计；
提炼反思的问题；
个人撰写反思材料；
集体讨论；
个人再反思，并撰写反思论文
⑽教学设计的撰写：
①教学目标：
知识与技能（了解、掌握、应用）；
过程与方法（提高能力）；
情感态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法）
②学情分析
③教材分析：
本节课的作用和地位；
本节课的主要内容；
重难点分析
④教学理念
⑤教学策略
⑥教学环境
⑦教学过程
⑧教学反思
16.教学实施
⑴课堂导入：
直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬念导入法
⑵课堂提问的原则：
目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则
⑶课堂提问的类型：
复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分析综合提问、评价提问
⑷学生活动：
①学生活动体现了学生在学习中的主体地位
②作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分
③学生活动的目的是促进学生的理解
④从总体上说，学生活动必须是思维活动
⑸课堂结束技能的实施方法：
练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和启下法、发散法和拓展法
⑹结束技能实施时应注意的问题：
自然贴切，水到渠成；
语言精练，紧扣中心；
内外沟通，立疑开拓
17.教学评价
⑴数学教育评价的要素：
教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、学生行为、教学效果
⑵数学教育评价的功能：
管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能
第四章常用数学公式
一、函数、导数
1.函数的单调性
⑴设x1、x2∈a,b且x1<
x2。
那么
fx1-fx2<
0fx在a,b上是增函数；
fx1-fx2>
0fx在a,b上是减函数。
⑵设函数y=fx在某个区间内可导，若f'
x>
0，则在该区间内fx为增函数；
若f'
x<
0，则在该区间内fx为减函数
2.函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）
对于定义域内任意的x，都有f-x=fx，则fx是偶函数；
对于定义域内任意的x，都有f-x=-fx，则fx是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
3.函数在点x0处的导数的几何意义
函数y=fx在点x0处的导数f'
x0是曲线y=fx在Px0,fx0处的切线的斜率，相应的切线方程是y-fx0=f'
x0x-x0。
4.几种常见函数的导数
C'
=0（C为常数）；
ax'
=axlna；
xn'
=nxn-1（n∈Q）；
ex'
=ex；
sinx'
=cosx；
cosx'
=-sinx；
arcsinx'
=-arccosx'
=11-x2；
arctanx'
=-arccotx'
=11+x2；
lnx'
=1x；
logax'
=1xlna；
5.导数的运算法则
u±
v'
=u'
±
；
uv'
v+uv'
u=fx，v=gu，v'
=g'
uu'
6.幂函数fx=xα（α∈R，α≠1）
α=pq
α<
0<
1
α>
性质
p为奇数，q为奇数
奇函数
p为奇数，q为偶数
p为偶数，q为奇数
偶函数
第一象限图像
减函数
增函数
过定点1,1
7.求函数y=fx的极值的方法:
解方程f'
x=0。
当f'
x0=0时：
⑴如果在x0附近的左侧f'
x0>
0，右侧f'
x0<
0，则fx0是极大值；
⑵如果在x0附近的左侧f'
0，则fx0是极小值；
8.凹凸函数：
设fx在开区间I上存在二阶导数：
⑴若对任意x∈I，有f“x>
0，则fx在I上为下凸函数；
⑵若对任意x∈I，有f“x<
0，则fx在I上为上凸函数；
二、三角函数、三角变换、解三角形、向量
9.同角三角函数的基本关系式
sin2θ+cos2θ=1，tanθ=sinθcosθ，tanθ∙cotθ=1
10.正弦、余弦的诱导公式
sinkπ2±
α=-1k2sinα-1k-12cosαk为偶数k为奇数
coskπ2±
α=-1k2cosα-1k+12sinαk为偶数k为奇数
11.和角与差角公式
sinα±
β=sinαcosβ±
cosαsinβ；
cosα±
β=cosαcosβ∓sinαsinβ；
tanα±
β=tanα±
tanβ1∓tanαtanβ
αsinα+bcosα=a2+b2sinα±
φ（辅助角φ所在象限由点a,b的象限决定,tanθ=ba）
12.二倍角公式
sin2α=2sinαcosα；
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；
tan2α=2tanα1-tan2α
13.三角函数的周期
函数y=Asinωα+φ，x∈R及函数y=Acosωα+φ，x∈R（A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>
0）的周期T=2πω；
函数y=Atanωα+φ，x≠kπ+π2，k∈Z（A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>
0）的周期T=πω。
14.三角函数的图像变换：
⑴函数y=Asinωα+φ，x∈R即y=sinx横坐标伸长（0<
ω<
1）或缩短（ω>
1）到原来的1ω倍，再向左（φω>
0）或向右（φω<
0）平移φω个单位，最后纵坐标伸长（A>
1）或缩短（0<
A<
1）到原来的A倍。
⑵函数y=Asinωα+φ，x∈R即y=sinx向左（φ>
0）或向右（φ<
0）平移φ个单位，再横坐标伸长（0<
1）到原来的1ω倍，再，最后纵坐标伸长（A>
15.正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R（R是∆ABC外接圆的半径）
16.余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=a2+c2-2accosB;
c=a2+b2-2abcosC
17.三角形面积公式
S=12absinC=12bcsinA=12acsinB
18.a与b的数量积（或内积）
a∙b=a∙bcosθ（θ是向量a，b的夹角）
19.向量的坐标运算
⑴设Ax1,y1,z1，Bx2,y2,z2,则AB=OB-OA=x2-x1，y2-y1，z1-z2；
⑵设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2,则a∙b=x1x2+y1y2+z1z2；
⑶设ax,y,z，则a=x2+y2+z2。
20.两向量的夹角公式
设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2,且b≠0，则cosθ=a∙ba∙b=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22。
21.向量的平行与垂直
a∕b⟺b=λa⟺x1x2=y1y2=z1z2；
a⊥ba≠0⟺a∙b=0⟺x1x2+y1y2+z1z2=0
三、数列、集合与命题
22.数列的通项公式与前n项的和的关系
an=S1Sn-Sn-1n=1n≥2（数列an的前n项的和为Sn=a1+a2+⋯+an）
23.等差数列的通项公式和前n项和公式
an=a1+n-1d；
Sn=na1+an2=na1+nn-12d
24.等比数列的通项公式和前n项和公式
an=a1qn-1；
Sn=na1，q=1a11-qn1-q=a1-anq1-q，q≠1
25.数列求和常见结论：
1pq=1q-p1p-1q（p<
q）；
1+3+5+⋯+2n-1=n2；
12+22+32+⋯+n2=16nn+12n+1；
13+23+33+⋯+n3=12nn+12。
26.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集。
27.原命题：
若p则q；
否命题：
若¬
p则¬
q；
命题的否定：
若p则¬
q。
28.全称量词即“所有”，“全部”，可写作“∀”；
存在量词又称特称量词，写作“∃”。
四、不等式
29.均值不等式
设a，b∈R+，a+b2≥ab（当且仅当a＝b时取“=”号）
30.柯西不等式
a12+a22+⋯+an2b12+b22+⋯+bn2≥a1b1+a2b2+⋯+anbn2，其中a1，⋯，an，b1，⋯，bn∈R+，当且仅当a1b1=a2b2=⋯=anbn时不等式取等号。
31.Jensen不等式
fa+fb+fc3≤fa+b+c3
32.三角不等式：
a-b≤a±
b≤a+b
33.指数不等式：
afx>
ba>
0,b>
0⟺fxlga>
lgb
五、解析几何与立体几何
34.直线的五种方程
⑴点斜式：
y-y0=kx-x0（直线过点x0,y0，且斜率为）
⑵斜截式：
y=kx+b（b为直线在y轴上的截距）
⑶两点式：
y-y1y2-y1=x-x1x2-x1（直线过点x1,y1x2,y2，且x1≠x2，y1≠y2）
⑷截距式：
xa+yb=0（a、b分别为直线的横、纵截距，a,b≠0）
⑸一般式：
Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）
35.两条直线的平行和垂直
若l1：
y=k1x+b1，l2：
y=k2x+b2
⑴l1∕l2⟺k1=k2，b1≠b2；
⑵l1⊥l2⟺k1∙k2=-1
36.点x0,y0到直线l：
Ax+By+C=0（的距离
d=Ax0+By0+CA2+B2
37.角平分线所在直线的方程
tanα=k-k11+k∙k1=k2-k1+k∙k2，其中k1、k2分别为角的边所在直线的斜率，2α为原角的大小
38.圆的三种方程
⑴圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>
⑵圆的标准方程：
x-a2+y-b2=r2
⑶圆的参数方程：
x=a+rcosθy=b+rsinθ
39.两个圆的公共弦所在方程
x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=0
40.直线与圆的位置关系
直线l：
Ax+By+C=0与圆x-a2+y-b2=r2的位置关系有三种：
d>
r⟺相离⟺Δ<
0；
d=r⟺相切⟺Δ=0；
d<
r⟺相交⟺Δ>
0，弦长=2r2-d2;
其中d=Aa+Bb+CA2+B2
41.椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆：
x2a2+y2b2=1a>
b>
0，a2-c2=b2，离心率e=ca<
1，准线x=±
a2c，参数方程是x=acosθy=bsinθ，椭圆上的点与两个定点F1c,0、F2-c,0的距离之和等于常数（2a）。
双曲线：
x2a2-y2b2=1a>
0，c2-a2=b2，离心率e=ca>
a2c，渐近线方程是x2a2=y2b2，椭圆上的点与两个定点F1c,0、F2-c,0的距离之差等于常数（2a）。
抛物线：
y2=2px，焦点p2,0，准线x=-p2，焦半径PF=x0+p2，过抛物线焦点的弦长AB=x1+x2+p，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。
42.双曲线的方程与渐近线方程的关系
⑴若双曲线方程为x2a2-y2b2=1⇒x2a2-y2b2=0⇔y=±
bax。
⑵若渐近线方程为y=±
bax⇔xa±
yb=0⇒双曲线可设为x2a2-y2b2=λ。
⑶若双曲线与x2a2-y2b2=1有公共渐近线，可设为x2a2-y2b2=λ（λ>
0，焦点x在轴上；
λ<
0，焦点y在轴上）
43.若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于Ax1,y1、Bx2,y2两点，则弦长公式为
AB=1+k2x1+x22-4x1x2=1+1k2y1+y22-4y1y2（k≠0）
44.柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=2πrl，表面积=2πrl+2πr2，体积=Sh（S是柱体的底面积，h是柱体的高）；
圆锥侧面积=πrl，表面积=πrl+πr2，体积=13Sh（S是锥体的底面积，h是锥体的高）；
球的半径是R，则其体积V=43πR3，其表面积S=4πR2
六、空间几何
45.平面方程：
⑴点法式：
Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0，n=A,B,C是平面的法向量
⑵一般式：
Ax+By+Cz+D=0（A,B,C不全为0）
⑶参数式：
已知平面Π上一点Mx0,y0,z0以及平行于平面的两不共线向量μ1=X1,Y1,Z1和μ2=X2,Y2,Z2，则有x=X1t1+X2t2+x0y=Y1t1+Y2t2+y0z=Z1t1+Z2t2+z0
46.两平面间的关系:
⑴Π1∕Π2⟺A1A2=B1B2=C1C2≠D1D2；
（法向量共线但两平面不重合）
⑵Π1⊥Π2⟺A1A2+B1B2+C1C2=0
⑶Π1与Π2的夹角（θ<
π2）：
cosθ=n1∙n2n1∙n2=A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12∙A22+B22+C22
47.直线方程：
⑴一般式（交面式）：
A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
⑵参数式：
x=x0+tly=y0+tmz=z0+tn
⑶对称式（标准式）：
x-x0l=y-y0m=z-z0n
48.直线与平面的关系：
⑴l∕Π⟺Al+Bm+Cn=0且Ax0+By0+Cz0+D≠0；
⑵l⊥Π⟺Al=Bm=Cn
⑶l与Π的夹角（θ<
sinθ=Al+Bm+CnA2+B2+C2∙l2+m2+n2
49.曲面方程：
⑴单叶双曲面：
x2a2+y2b2-z2c2=1（a,b,c>
0）
⑵双叶双曲面：
x2a2+y2b2-z2c2=-1（a,b,c>
⑶椭圆抛物面：
x2p+y2q=2z（p,q>
0），当p=q时，曲面为旋转抛物面
⑷双曲抛物面：
x2p-y2q=2z（p,q>
七、概率统计
50.平均数、方差、标准差、期望的计算
平均数：
x=x1+x2+⋯+xnn
方差：
s2=1nx1-x2+x2-x2+⋯+xn-x2
标准差：
s=1nx1-x2+x2-x2+⋯+xn-x2
期望
51.回归线方程
y=a+bx，其中b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx
52.独立性检验：
K2=nac-bd2a+bc+dc+ab+d
53.排列数、组合数
排列数公式：
Anm=nn-1⋯n-m+1=n!
n-m!
，其中Ann=n!
，An0=1；
组合数公式：
Cnm=AnmAmm=n!
m!
，其中Cnn=Cn0=1
54.二项式定理：
⑴a+bn=Cn0anb0+Cn1an-1b1+⋯+Cnran-rbr+⋯+Cnna0bn
⑵第r+1项：
Tr+1=Cnran-rbr（0≤r≤n，r∈Z）
⑶系数和：
Cn0+Cn1+⋯+Cnn=2n，Cn0+Cn2+Cn4+⋯=Cn1+Cn3+Cn5+⋯=2n-1
⑷当a的绝对值与1相比很小且n不大时，有1+an≈1+na，1-an≈1-na
55.相对独立事件同时发生的概率PA∙B=PA∙PB
56.正态分布记为ξ~Nμ,σ2，其中期望Eξ=μ，方差Dξ=σ2，曲线关于直线x=μ对称并在x=μ时取最大值。
57.离散型随机变量的期望与方差的性质：
⑴期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；
方差与标准差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
⑵Eξ=x1p1+x2p2+⋯+xnpn；
EC=C（C为常数）
⑶Dξ=x1-Eξ2p1+x2-Eξ2p2+⋯+xn-Eξ2pn；
DC=0（C为常数）
⑷设η=aξ+b，则Eη=aEξ+b，Dη=a2Dξ，Dη=Eξ2-Eξ2
⑸若ξ~
升级会员 