立体几何高三复习讲义(推荐)可直接使用Word文件下载.doc

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（r：

底面半径，h：

高）

底面半径，l：

母线长）

（r：

下底半径，r’：

上底半径，l：

球表面积：

（R：

球的半径）.球体积：

.

正四面体：

四个面都是等边三角形.（一般可将正四面体放入正方体中讨论分析）.

2三视图

例题6．下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③

例题8．一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．B．C．2D．6

例题11.某几何体的三视图如图1所示（单位长度：

cm），则此几何体的表面积（）

3空间中点、线、面位置关系

（1）两条直线位置关系：

相交、平行、异面

（2）直线与平面位置关系：

相交——有且只有一个公共点

平行——无公共点

在平面内——有无数个公共点

（3）两个平面位置关系：

相交——有一条公共直线。

平行——无公共点。

立体几何证法

一．证线面平行

例题12.如图，是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。

求证：

平面；

例题14.如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，底面ABCD，E为PC的中点。

PA＝AD＝AB＝1。

（1）证明：

（2）证明：

二．证面面平行

例题15（2010诸暨）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，，点M

是棱PC的中点，N是棱PB的中点，平面ABCD，AC、BD交于点O。

平面OMN//平面PAD；

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

F

M

例题16.如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，=１，为棱的中点，为线段的中点，

（Ⅰ）求证：

面；

（Ⅱ）试判断直线ＭＦ与平面的位置关系，并证明你的结论；

三．证线面垂直

例题17如图所示，在直三棱柱中，，，，．证明：

例题19．（2010金华十校）一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M、G分别是AB、DF的中点。

（1）求证：

CM平面FDM；

（2）在线段AD上确定一点P，使得GP//平面FMC，并给出证明；

（3）求直线DM与平面ABEF所成的角。

[来源:

学科网]

例题20.如图，在四棱锥中，平面平面．底面为矩形，，．求证：

；

四．证面面垂直

例题22.如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面 ABCD，E是PC的中点．

P

O

E

求证：

（1）．PA//平面BDE；

（2）．平面PAC平面BDE．

例题23．（2010浙江宁波）已知垂足为，是的中点且，，.

（1）求证：

平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

五．证线线垂直（先证线面垂直）：

例题24.如图所示，在长方体中，，连结、.

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

例题26.已知ABCD是矩形，，E、F分别是线段AB、BC的中点，面ABCD.

第26题图

证明：

PF⊥FD；

例题28．（2010浙江三校）如图，在三棱拄中，侧面，已知，

（Ⅱ）试在棱（不包含端点上确定一点的位置,使得；

线面关系综合

例题29．（2010衢州）已知直线及两个平面、，下列命题正确的是（）

Ａ．若，则 Ｂ．若，则

Ｃ．若，则Ｄ．若，则

例题32．（12苍南）已知直线，给出下列四个命题

①若；

②若；

③若；

④若其中正确命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

例题33．（2010宁波）设均为直线，其中在平面内，则“”是“且”的（）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

4空间向量与立体几何

1、空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；

（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：

轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；

2、空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．

3、设a＝，b＝

（1）a±

b＝。

（2）a＝．（3）a·

b＝．

（4）a∥b；

ab．

（5）模长公式：

若，则．

（6）夹角公式：

．

（7）两点间的距离公式：

若，，则

（8）设

则＝，．

AB的中点M的坐标为．

法向量：

与平面垂直的向量。

利用空间向量解决立体几何问题：

（1）证明线面垂直的步骤：

I求出该平面的一个法向量；

（法向量：

垂直于某平面的向量叫做该平面的法向量）

II证明直线与法向量平行

（2）证明两平面互相垂直的步骤：

I分别求出两个平面的法向量；

II证明两个法向量互相垂直

（3）证明线面平行的步骤：

I求出平面的法向量；

II证明直线与法向量垂直

（4）证明两个平面平行的步骤：

I分别求出两个平面的法向量：

II证明两个法向量互相平行

异面直线所成的角：

过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。

例题39．（福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2

AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小余弦值；

（

例题40．（广东卷）如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.

（1）求直线与所成的角余弦值.

直线与平面所成角：

平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

范围为0-90度（l∥α时所成角0°

，l⊥α时所成角90°

）

（5）求线面角的步骤：

II求出直线所在向量与法向量夹角的余弦值的绝对值，即该直线与平面夹角的正弦值；

III求出线面角

例题41．（浙江卷）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°

，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。

PB⊥DM；

（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角。

例题43（温州）如图，已知平面，∥，

是正三角形，且.

（1）设是线段的中点，求证：

∥平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

例题44（台州）已知为平行四边形，，，，是长方形，是的中点，平面平面，

（Ⅱ）求直线与平面所

　　　成角的正切值．

二面角：

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面）.范围为0-180度。

（6）求二面角的步骤：

I首先用观察法判断二面角是钝角还是锐角

II分别求出两个平面的法向量；

III求出两个法向量夹角的余弦值，根据是否为钝角判断余弦是否需要变号

IV求出二面角

例题47．如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，，.是的中点.

（Ⅰ）求证：

平面⊥平面；

（Ⅱ）求二面角所成平面角的余弦值；

例题48.是长方体，底面是边长为1的正方形，侧棱，E是侧棱的中点.

（Ⅱ）求二面角的正切值；

例题49．直三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱CC1=2，∠BAC=90°

，，M是棱BC的中点，N是CC1中点，求

（1）二面角B1—AN—M的大小；

5立体几何综合训练

线面角

1.（浙江卷文）（本题满分14分）如图，平面，，，，分别为的中点．

（I）证明：

（II）求与平面所成角的正弦值．

2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°

PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

PB⊥DM;

（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的余弦值。

3（辽宁）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½

AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：

CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

4（北京卷文）

如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.

（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

5．（2012汉川）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，，分别为的中点．

（1）求证：

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

6．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1=4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，

A1C⊥平面BED；

（2）求A1B与平面BDE所成角的正弦值

7.（杭高）如图,侧棱垂直底面的三棱柱的底面位于平行四边形中,,,,点为中点.

（1）求证:

平面平面.

（2）求与平面所成的角的正弦值.

8.（西湖）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°

，M为PC的中点.

PA//平面BDM；

（2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值.

二面角

1.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.

（2）求证：

（3）求二面角的大小.

2．已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°

，PA⊥底面ABCD，

且PA=AD=DE=AB=1，M是PB的中点.

（1）证明：

面PAD⊥面PCD；

（2）求AC与PB所成的角；

（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

3．如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

4．在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:

EB＝CF:

FA＝CP:

PB＝1:

2（如图1）。

将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P如图：

A1E⊥平面BEP；

（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；

图1

图2

（3）求二面角B－A1P－F的大小。

5.（全国卷Ⅱ文）

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DEA

⊥平面BCC1

AB=AC

（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°

求B1C与平面BCD所成的角的大小

6.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.

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