排列组合常见题型及解题策略学生版Word文档格式.doc
《排列组合常见题型及解题策略学生版Word文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合常见题型及解题策略学生版Word文档格式.doc（8页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
【作业】
（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
三．相离问题插空法：
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）
【例3】高三
（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为种.
【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
说明：
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.
【例7】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【例8】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
四．元素分析法（位置分析法）：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；
再排其它的元素。
【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.36种B.12种C.18种D.48种
方法一：
从后两项工作出发，采取位置分析法。
方法二：
分两类：
若小张或小赵入选，则有选法；
若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A.
【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；
所以共有种。
.
【例3】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
五．多排问题单排法：
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
【例1】
（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）
A、36种B、120种C、720种D、1440种
（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A） （B）（C） （D）
（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
【解析】：
（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.
五．定序问题缩倍法（等几率法）：
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
【例1】.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）
在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？
法一：
法二：
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
六．标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例1】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种
【解析】：
先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；
第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×
3×
1=9种填法，选.
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）A10种B20种C30种D60种【解析】答案：
B
【例3】：
同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有（）（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
【例4】：
五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有（）
六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：
注意平均分堆的算法
【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5）分给5人每人至少1本。
（1）
（2）（3）（4）（5）
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．
第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;
第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（A）150种 （B）180种 （C）200种 （D）280种
人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝60种，若是1,1,3，
则有＝90种，所以共有150种，选A
【例4】将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）
A．70 B．140 C．280 D．840【解析】：
（A）
【例5】将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（）
（A）３０种 （B）９０种（C）１８０种 （D）２７０种
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案，选B.
【例6】某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（）种A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
【例7】
（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）
A、480种B、240种C、120种D、96种
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？
【例8】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；
③若乙参加而甲不参加同理也有种；
④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另
两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种
【例10】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
七．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：
把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。
【例2】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.
变式1：
7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有种
变式2：
马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种
将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
八．多面手问题（分类法---选定标准）
【例1】：
有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
变式：
.有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
答案：
185
九．走楼梯问题（分类法与插空法相结合）（略）
【例1】小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【解析】
：
插空法解题：
考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
2）有1次走三级台阶。
（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：
相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种
（b）两次三级不挨着时：
相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种走法。
4）有3次（不可能）
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种走法；
6）有5次（不可能）
故总共有：
1+6+15+15=37种。
欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有（）
（A）34种 （B）55种 （C）89种 （D）144种答案：
（C）
十．排数问题（注意数字“0”）
（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种
按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，
个，合并总计300个,选.
（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；
能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；
从中任取两个数符合要；
从中各取一个数也符合要求；
从中任取两个数也符合要求；
此外其它取法都不符合要求；
所以符合要求的取法共有种.
十一．染色问题：
涂色问题的常用方法有：
（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；
再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。
（3）若恰用五种颜色染色，有种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
【答案】420.
【解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；
C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：
如图，
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
总体实施分步完成,可分为四大步:
①给S涂色有5种方法;
②给A涂色有4种方法（与S不同色）;
③给B涂色有3种方法（与A,S不同色）;
④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法;
当C与A同色时,C有一种涂色方法（与A同色）,D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2×
2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5×
4×
7=420种方法
[规律小结]涂色问题的常用方法有：
十三．几何中的排列组合问题:
【例1】已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条
圆上的整点有：
12个
其中关于原点对称的有4条不满则条件切线有，
其中平行于坐标轴的有14条不满则条件66-4+12-14=60答案:
60
8
升级会员 