求函数值域的常用方法文档格式.doc

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.又因为，所以，故，，所以，的值域为.

3、判别式法

适用类型：

分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。

例5、求函数的值域

解：

恒成立，函数的定义域为R.

由得 。

①当即时，；

②当即时，时，方程恒有实根.且.

原函数的值域为.

例6、求函数y=x+的值域。

两边平方整理得：

2-2（y+1）x+y=0

（1）

xR，△=4（y+1）-8y≥0

解得：

1-≤y≤1+

但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：

0≤x≤2。

由△≥0，仅保证关于x的方程：

2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程

（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

0≤x≤2，y=x+≥0，

=0，y=1+代入方程

（1），解得：

=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：

[0，1+]。

注：

由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4、反函数法

适用类型：

分子.分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型）,也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例7、求函数的值域。

分析与解：

由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。

反解得即

知识回顾：

反函数的定义域即是原函数的值域。

故函数的值域为：

。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

一般用于三角函数型，即利用等。

例8、求函数y=的值域。

解：

由原函数式可得：

=

＞0，＞0

解得：

-1＜y＜1。

故所求函数的值域为（-1,1）.

例9、求函数y=的值域。

解：

ysinx-cosx=3y

可化为：

sinx（x+β）=3y

即sinx（x+β）=

∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。

即-1≤≤1

解得：

-≤y≤故函数的值域为[-，]。

6、函数单调性法

一般能用于求复合函数的值域或最值。

（原理：

同增异减）

例10、求函数的值域。

由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：

配方得：

由复合函数的单调性（同增异减）知：

例11、求函数y=（2≤x≤10）的值域

解：

令y=，=，则y，在[2，10]上都是增函数。

　所以y=y+在[2，10]上是增函数。

　当x=2时，y=+=，

　　当x=10时，=+=33。

故所求函数的值域为：

[，33]。

例12、求函数y=-的值域。

原函数可化为：

y=

令y=，=，显然y，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y+在[1，+∞）上也为无上界的增函数。

所以当x=1时，y=y+有最小值，原函数有最大值=。

显然y＞0，故原函数的值域为（0,]。

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

适用类型:

无理函数、三角函数（用三角代换）等。

例13、求函数y=x+的值域。

解：

令x-1=t，（t≥0）则x=+1

∵y=+t+1=+，又t≥0，由二次函数的性质可知

当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞。

故函数的值域为[1，+∞）。

例14、求函数y=x+2+的值域

解：

因1-≥0，即≤1

故可令x+1=cosβ，β∈[0，∏]。

∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1=sin（β+∏/4）+1

∵0≤β≤∏，0≤β+∏/4≤5∏/4

∴-≤sin（β+∏/4）≤1

∴0≤sin（β+∏/4）+1≤1+。

故所求函数的值域为[0，1+]。

例15、求函数y=的值域

原函数可变形为：

y=-

可令x=tgβ，则有=sin2β，=cos2β

∴y=-sin2βcos2β=-sin4β

当β=k∏/2-∏/8时，=。

当β=k∏/2+∏/8时，y=-

而此时tgβ有意义。

故所求函数的值域为[-，]。

例16、求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。

y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1

令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（-1）

y=（-1）+t+1=

由t=sinx+cosx=sin（x+∏/4）且x∈[-∏/12，∏/2]

可得：

≤t≤

∴当t=时，=+，当t=时，y=+

故所求函数的值域为[+，+]。

例17、求函数y=x+4+的值域

由5-x≥0，可得∣x∣≤

故可令x=cosβ，β∈[0，∏]

y=cosβ+4+sinβ=sin（β+∏/4）+4

∵0≤β≤∏，∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4

当β=∏/4时，=4+，当β=∏时，y=4-。

[4-，4+]。

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.

例18、求函数y=+的值域。

解：

原函数可化简得：

y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：

当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：

[10，+∞）

例19、求函数y=+的值域

y=+

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y=∣AB∣==，

故所求函数的值域为[，+∞）。

例20、求函数y=-的值域

解：

将函数变形为：

y=-

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。

即：

y=∣AP∣-∣BP∣

由图可知：

（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹

，则构成△ABP¹

，根据三角形两边之差小于第三边，

有∣∣AP¹

∣-∣BP¹

∣∣＜∣AB∣==

即：

-＜y＜

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。

综上所述，可知函数的值域为：

（-，-]。

注：

由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。

如：

例17的A，B两点坐标分别为：

（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；

例18的A，B两点坐标分别为：

（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。

例21、求函数的值域.

分析与解:

看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点（2,3）到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线B

x

和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:

9、不等式法

能利用几个重要不等式及推论来求得最值。

（如：

）

其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例22、求函y=（sinx+1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域

原函数变形为：

y=（+）+1/+1/

=1++=3++

≥3+2=5

当且仅当tgx=ctgx，即当x=k∏±

∏/4时（k∈z），等号成立。

故原函数的值域为：

[5，+∞）。

例23、求函数y=2sinxsin2x的值域

y=2sinxsinxcosx=4cosx

=16

=8（2-2）

≤8（++2-）

=8[（++2-）/3]

=

当且当=2-2，即当=时，等号成立。

由≤，可得：

-≤y≤

故原函数的值域为：

[-，）。

例24、当时，求函数的最值，并指出取最值时的值。

因为可利用不等式即：

所以当且仅当即时取”=”当时取得最小值12。

例25、双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（）。

AB4C2D

根据双曲线的离心率公式易得：

，我们知道所以（当且仅当时取“=”）而故（当且仅当时取“=”）。

10、导数法

设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值。

要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。

导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。

例26、求函数,的最大值和最小值。

解:

令,方程无解.

函数在上是增函数.

故当时,，当时,

例27、求函数的最值.

解析:

函数是定义在一个开区间上的可导函数,

令

得的唯一驻点即为最点.

时，，函数递增,

时，，函数递减,

故有最大值.

【说明】本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.

等号成立条件是.

最值寻根的导数判定

若定义在一个开区间上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：

（1）若导函数无根，即，则无最值；

（2）若导函数有唯一的根，即，则有最值.此时，导函数的根即是函数最根.

（3）若导函数有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.

11、多种方法综合运用

例28、求函数y=的值域

令t=（t≥0），则x+3=+1

（1）当t＞0时，y==≤，当且仅当t=1，即x=-1时取等号

所以0＜y≤。

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

[0，]。

先换元，后用不等式法。

例29、求函数y=的值域。

解：

y=+=+

令x=tg，则=，=sin，

∴y=+sin=-+sin+1

=-+

∴当sin=时，=。

当sin=-1时，y=-2。

此时tg都存在，故函数的值域为：

［－2，］。

此题先用换元法。

后用配方法，然后再运用sin的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

学生巩固练习

1函数y=x2+（x≤－）的值域是（）

A（－∞,－ B［－,+∞　C［,+∞　D（－∞,－］

2函数y=x+的值域是（）[来源:

学+科+网Z+X+X+K]

A（－∞,1 B（－∞,－1　　　CR D［1,+∞

3一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于（）2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时（不计货车的车身长）

4设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________

5某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x－x2（万元）（0≤x≤5）,其中x是产品售出的数量（单位百台）

（1）把利润表示为年产量的函数；

（2）年产量多少时，企业所得的利润最大？

（3）年产量多少时，企业才不亏本？

6已知函数f（x）=lg［（a2－1）x2+（a+1）x+1］[来源:

学科网]

（1）若f（x）的定义域为（－∞,+∞），求实数a的取值范围；

（2）若f（x）的值域为（－∞,+∞）,求实数a的取值范围

7某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表

家电名称

空调器

彩电

冰箱

工时

产值（千元）

4

3

2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？

最高产值是多少？

（以千元为单位）

8在Rt△ABC中，∠C=90°

，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x

（1）求函数f（x）=的解析式并求f（x）的定义域

（2）求函数f（x）的最小值

参考答案

1解析∵m1=x2在（－∞,－）上是减函数，m2=在（－∞,－）上是减函数，∴y=x2+在x∈（－∞,－）上为减函数,

∴y=x2+（x≤－）的值域为［－，+∞

答案B

2解析令=t（t≥0）,则x=

∵y=+t=－（t－1）2+1≤1

∴值域为（－∞,1

答案A

3解析t=+16×

（）2/V=+≥2=8

答案8

4解析由韦达定理知x1+x2=m,x1x2=,[来源:

Zxxk.Com]

∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=m2－=（m－）2－,

又x1,x2为实根，∴Δ≥0∴m≤－1或m≥2，

y=（m－）2－在区间（－∞,1）上是减函数，在［2，+∞上是增函数，又抛物线y开口向上且以m=为对称轴故m=1时，

ymin=

答案－1

5解

（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其总成本C（x）之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x>

5时，只能销售500台，所以

y=

（2）在0≤x≤5时，y=－x2+475x－05,当x=－=475（百台）时，ymax=1078125（万元），当x>

5（百台）时，y＜12－025×

5=1075（万元），

所以当生产475台时，利润最大

（3）要使企业不亏本，即要求

解得5≥x≥475－≈01（百台）或5＜x＜48（百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本

6解

（1）依题意（a2－1）x2+（a+1）x+1>

0对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是，

∴a＜－1或a>

又a=－1时，f（x）=0满足题意，a=1时不合题意

故a≤－1或a>

为所求

（2）依题意只要t=（a2－1）x2+（a+1）x+1能取到（0，+∞）上的任何值，则f（x）的值域为R，故有,解得1＜a≤,又当a2－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时不合题意，∴1≤a≤为所求

7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得

x+y+z=360 　　①

　　②

x>

0,y>

0,z≥60 　　③

假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数S的最大值，由①②消去z,得

y=360－3x 　　　　　　　　　　　　④

将④代入①得x+（360－3x）+z=360,∴z=2x ⑤

∵z≥60,∴x≥30 ⑥

再将④⑤代入S中，得S=4x+3（360－3x）+2·

2x,即S=－x+1080

由条件⑥及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为[来源:

学§

科§

网]

S=－30+1080=1050（千元）

得x=30分别代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×

30=60

∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元

8解

（1）如图所示设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=,

∴S1=πah+πbh=,

∴f（x）= ①

又

代入①消c，得f（x）=

在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA（0＜A＜,则

x==sinA+cosA=sin（A+）∴1＜x≤

（2）f（x）=+6,

设t=x－1,则t∈（0,－1）,y=2（t+）+6

在（0，－1上是减函数，

∴当x=（－1）+1=时，f（x）的最小值为6+8