求函数值域的常用方法文档格式.doc

上传人:wj 文档编号:7894401 上传时间:2023-05-09 格式:DOC 页数:17 大小:799.50KB
下载 相关 举报
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第1页
第1页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第2页
第2页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第3页
第3页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第4页
第4页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第5页
第5页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第6页
第6页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第7页
第7页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第8页
第8页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第9页
第9页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第10页
第10页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第11页
第11页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第12页
第12页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第13页
第13页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第14页
第14页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第15页
第15页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第16页
第16页 / 共17页
求函数值域的常用方法文档格式.doc_第17页
第17页 / 共17页
亲,该文档总共17页,全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
下载资源
资源描述

求函数值域的常用方法文档格式.doc

《求函数值域的常用方法文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《求函数值域的常用方法文档格式.doc(17页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。

求函数值域的常用方法文档格式.doc

.又因为,所以,故,,所以,的值域为.

3、判别式法

适用类型:

分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为的形式,再利用判别式加以判断。

例5、求函数的值域

解:

恒成立,函数的定义域为R.

由得 。

①当即时,;

②当即时,时,方程恒有实根.且.

原函数的值域为.

例6、求函数y=x+的值域。

两边平方整理得:

2-2(y+1)x+y=0

(1)

xR,△=4(y+1)-8y≥0

解得:

1-≤y≤1+

但此时的函数的定义域由x(2-x)≥0,得:

0≤x≤2。

由△≥0,仅保证关于x的方程:

2-2(y+1)x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程

(1)有实根,由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[,]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

0≤x≤2,y=x+≥0,

=0,y=1+代入方程

(1),解得:

=[0,2],即当=时,原函数的值域为:

[0,1+]。

注:

由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。

4、反函数法

适用类型:

分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例7、求函数的值域。

分析与解:

由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。

反解得即

知识回顾:

反函数的定义域即是原函数的值域。

故函数的值域为:

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。

一般用于三角函数型,即利用等。

例8、求函数y=的值域。

解:

由原函数式可得:

=

>0,>0

解得:

-1<y<1。

故所求函数的值域为(-1,1).

例9、求函数y=的值域。

解:

ysinx-cosx=3y

可化为:

sinx(x+β)=3y

即sinx(x+β)=

∵x∈R,∴sinx(x+β)∈[-1,1]。

即-1≤≤1

解得:

-≤y≤故函数的值域为[-,]。

6、函数单调性法

一般能用于求复合函数的值域或最值。

(原理:

同增异减)

例10、求函数的值域。

由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令:

配方得:

由复合函数的单调性(同增异减)知:

例11、求函数y=(2≤x≤10)的值域

解:

令y=,=,则y,在[2,10]上都是增函数。

 所以y=y+在[2,10]上是增函数。

 当x=2时,y=+=,

  当x=10时,=+=33。

故所求函数的值域为:

[,33]。

例12、求函数y=-的值域。

原函数可化为:

y=

令y=,=,显然y,在[1,+∞)上为无上界的增函数,所以y=y+在[1,+∞)上也为无上界的增函数。

所以当x=1时,y=y+有最小值,原函数有最大值=。

显然y>0,故原函数的值域为(0,]。

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。

适用类型:

无理函数、三角函数(用三角代换)等。

例13、求函数y=x+的值域。

解:

令x-1=t,(t≥0)则x=+1

∵y=+t+1=+,又t≥0,由二次函数的性质可知

当t=0时,y=1,当t→0时,y→+∞。

故函数的值域为[1,+∞)。

例14、求函数y=x+2+的值域

解:

因1-≥0,即≤1

故可令x+1=cosβ,β∈[0,∏]。

∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1=sin(β+∏/4)+1

∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4

∴-≤sin(β+∏/4)≤1

∴0≤sin(β+∏/4)+1≤1+。

故所求函数的值域为[0,1+]。

例15、求函数y=的值域

原函数可变形为:

y=-

可令x=tgβ,则有=sin2β,=cos2β

∴y=-sin2βcos2β=-sin4β

当β=k∏/2-∏/8时,=。

当β=k∏/2+∏/8时,y=-

而此时tgβ有意义。

故所求函数的值域为[-,]。

例16、求函数y=(sinx+1)(cosx+1),x∈[-∏/12∏/2]的值域。

y=(sinx+1)(cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1

令sinx+cosx=t,则sinxcosx=(-1)

y=(-1)+t+1=

由t=sinx+cosx=sin(x+∏/4)且x∈[-∏/12,∏/2]

可得:

≤t≤

∴当t=时,=+,当t=时,y=+

故所求函数的值域为[+,+]。

例17、求函数y=x+4+的值域

由5-x≥0,可得∣x∣≤

故可令x=cosβ,β∈[0,∏]

y=cosβ+4+sinβ=sin(β+∏/4)+4

∵0≤β≤∏,∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4

当β=∏/4时,=4+,当β=∏时,y=4-。

[4-,4+]。

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。

函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.

例18、求函数y=+的值域。

解:

原函数可化简得:

y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。

由上图可知:

当点P在线段AB上时,

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,

y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10

故所求函数的值域为:

[10,+∞)

例19、求函数y=+的值域

y=+

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,

由图可知当点P为线段与x轴的交点时,y=∣AB∣==,

故所求函数的值域为[,+∞)。

例20、求函数y=-的值域

解:

将函数变形为:

y=-

上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。

即:

y=∣AP∣-∣BP∣

由图可知:

(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P¹

,则构成△ABP¹

,根据三角形两边之差小于第三边,

有∣∣AP¹

∣-∣BP¹

∣∣<∣AB∣==

即:

-<y<

(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有

∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。

综上所述,可知函数的值域为:

(-,-]。

注:

由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B在x轴的同侧。

如:

例17的A,B两点坐标分别为:

(3,2),(-2,-1),在x轴的同侧;

例18的A,B两点坐标分别为:

(3,2),(2,-1),在x轴的同侧。

例21、求函数的值域.

分析与解:

看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线B

x

和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:

9、不等式法

能利用几个重要不等式及推论来求得最值。

(如:

其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例22、求函y=(sinx+1/sinx)+(cosx+1/cosx)的值域

原函数变形为:

y=(+)+1/+1/

=1++=3++

≥3+2=5

当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±

∏/4时(k∈z),等号成立。

故原函数的值域为:

[5,+∞)。

例23、求函数y=2sinxsin2x的值域

y=2sinxsinxcosx=4cosx

=16

=8(2-2)

≤8(++2-)

=8[(++2-)/3]

=

当且当=2-2,即当=时,等号成立。

由≤,可得:

-≤y≤

故原函数的值域为:

[-,)。

例24、当时,求函数的最值,并指出取最值时的值。

因为可利用不等式即:

所以当且仅当即时取”=”当时取得最小值12。

例25、双曲线的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值是()。

AB4C2D

根据双曲线的离心率公式易得:

,我们知道所以(当且仅当时取“=”)而故(当且仅当时取“=”)。

10、导数法

设函数在上连续,在上可导,则在上的最大值和最小值为在内的各极值与,中的最大值与最小值。

要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。

导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。

例26、求函数,的最大值和最小值。

解:

令,方程无解.

函数在上是增函数.

故当时,,当时,

例27、求函数的最值.

解析:

函数是定义在一个开区间上的可导函数,

得的唯一驻点即为最点.

时,,函数递增,

时,,函数递减,

故有最大值.

【说明】本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.

等号成立条件是.

最值寻根的导数判定

若定义在一个开区间上的函数有导函数存在,那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究:

(1)若导函数无根,即,则无最值;

(2)若导函数有唯一的根,即,则有最值.此时,导函数的根即是函数最根.

(3)若导函数有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.

11、多种方法综合运用

例28、求函数y=的值域

令t=(t≥0),则x+3=+1

(1)当t>0时,y==≤,当且仅当t=1,即x=-1时取等号

所以0<y≤。

(2)当t=0时,y=0。

综上所述,函数的值域为:

[0,]。

先换元,后用不等式法。

例29、求函数y=的值域。

解:

y=+=+

令x=tg,则=,=sin,

∴y=+sin=-+sin+1

=-+

∴当sin=时,=。

当sin=-1时,y=-2。

此时tg都存在,故函数的值域为:

[-2,]。

此题先用换元法。

后用配方法,然后再运用sin的有界性。

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

学生巩固练习

1函数y=x2+(x≤-)的值域是()

A(-∞,- B[-,+∞ C[,+∞ D(-∞,-]

2函数y=x+的值域是()[来源:

学+科+网Z+X+X+K]

A(-∞,1 B(-∞,-1   CR D[1,+∞

3一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于()2千米,那么这批物资全部运到B市,最快需要_________小时(不计货车的车身长)

4设x1、x2为方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根,当m=_________时,x12+x22有最小值_________

5某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x-x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位百台)

(1)把利润表示为年产量的函数;

(2)年产量多少时,企业所得的利润最大?

(3)年产量多少时,企业才不亏本?

6已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1][来源:

学科网]

(1)若f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围;

(2)若f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围

7某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表

家电名称

空调器

彩电

冰箱

工时

产值(千元)

4

3

2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?

最高产值是多少?

(以千元为单位)

8在Rt△ABC中,∠C=90°

,以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S1,△ABC的内切圆面积为S2,记=x

(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域

(2)求函数f(x)的最小值

参考答案

1解析∵m1=x2在(-∞,-)上是减函数,m2=在(-∞,-)上是减函数,∴y=x2+在x∈(-∞,-)上为减函数,

∴y=x2+(x≤-)的值域为[-,+∞

答案B

2解析令=t(t≥0),则x=

∵y=+t=-(t-1)2+1≤1

∴值域为(-∞,1

答案A

3解析t=+16×

()2/V=+≥2=8

答案8

4解析由韦达定理知x1+x2=m,x1x2=,[来源:

Zxxk.Com]

∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-=(m-)2-,

又x1,x2为实根,∴Δ≥0∴m≤-1或m≥2,

y=(m-)2-在区间(-∞,1)上是减函数,在[2,+∞上是增函数,又抛物线y开口向上且以m=为对称轴故m=1时,

ymin=

答案-1

5解

(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差,由题意,当x≤5时,产品能全部售出,当x>

5时,只能销售500台,所以

y=

(2)在0≤x≤5时,y=-x2+475x-05,当x=-=475(百台)时,ymax=1078125(万元),当x>

5(百台)时,y<12-025×

5=1075(万元),

所以当生产475台时,利润最大

(3)要使企业不亏本,即要求

解得5≥x≥475-≈01(百台)或5<x<48(百台)时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本

6解

(1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>

0对一切x∈R恒成立,当a2-1≠0时,其充要条件是,

∴a<-1或a>

又a=-1时,f(x)=0满足题意,a=1时不合题意

故a≤-1或a>

为所求

(2)依题意只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞)上的任何值,则f(x)的值域为R,故有,解得1<a≤,又当a2-1=0即a=1时,t=2x+1符合题意而a=-1时不合题意,∴1≤a≤为所求

7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台,由题意得

x+y+z=360   ①

  ②

x>

0,y>

0,z≥60   ③

假定每周总产值为S千元,则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下,为求目标函数S的最大值,由①②消去z,得

y=360-3x             ④

将④代入①得x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ⑤

∵z≥60,∴x≥30 ⑥

再将④⑤代入S中,得S=4x+3(360-3x)+2·

2x,即S=-x+1080

由条件⑥及上式知,当x=30时,产值S最大,最大值为[来源:

学§

科§

网]

S=-30+1080=1050(千元)

得x=30分别代入④和⑤得y=360-90=270,z=2×

30=60

∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元

8解

(1)如图所示设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=,

∴S1=πah+πbh=,

∴f(x)= ①

代入①消c,得f(x)=

在Rt△ABC中,有a=csinA,b=ccosA(0<A<,则

x==sinA+cosA=sin(A+)∴1<x≤

(2)f(x)=+6,

设t=x-1,则t∈(0,-1),y=2(t+)+6

在(0,-1上是减函数,

∴当x=(-1)+1=时,f(x)的最小值为6+8

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索
资源标签

当前位置:首页 > 初中教育 > 语文

copyright@ 2008-2023 冰点文库 网站版权所有

经营许可证编号:鄂ICP备19020893号-2