全国卷1数学理Word格式文档下载.doc

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二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为　　．

14．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　　．

15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　　种．（用数字填写答案）

16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是　　．

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°

，∠A=45°

，AB=2，BD=5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC=2，求BC．

18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．

（1）证明：

平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

19．（12分）设椭圆C：

+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：

∠OMA=∠OMB．

20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以

（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21．（12分）已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：

＜a﹣2．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

[选修4-5：

不等式选讲]（10分）

23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．

参考答案与试题解析

【解答】解：

z=+2i=+2i=﹣i+2i=i，

则|z|=1．

故选：

C．

集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，

可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，

则：

∁RA={x|﹣1≤x≤2}．

B．

设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．

A项，种植收入37×

2a﹣60%a=14%a＞0，

故建设后，种植收入增加，故A项错误．

B项，建设后，其他收入为5%×

2a=10%a，

建设前，其他收入为4%a，

故10%a÷

4%a=2.5＞2，

故B项正确．

C项，建设后，养殖收入为30%×

2a=60%a，

建设前，养殖收入为30%a，

故60%a÷

30%a=2，

故C项正确．

D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为

（30%+28%）×

2a=58%×

2a，

经济收入为2a，

故（58%×

2a）÷

2a=58%＞50%，

故D项正确．

因为是选择不正确的一项，

A．

∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，

∴=a1+a1+d+4a1+d，

把a1=2，代入得d=﹣3

∴a5=2+4×

（﹣3）=﹣10．

函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，

可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，

曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：

1，

则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：

y=x．

D．

在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，

=﹣=﹣

=﹣×

（+）

=﹣，

由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：

2，

直观图以及侧面展开图如图：

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：

=2．

抛物线C：

y2=4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：

3y=2x+4，

联立直线与抛物线C：

y2=4x，消去x可得：

y2﹣6y+8=0，

解得y1=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），，．

则•=（0，2）•（3，4）=8．

由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，

作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：

当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，

即函数g（x）存在2个零点，

故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），

如图：

设BC=a，AB=c，AC=b，

∴a2=b2+c2，

∴SⅠ=×

4bc=2bc，SⅢ=×

πa2﹣2bc，

SⅡ=×

πc2+×

πb2﹣SⅢ=×

πb2﹣×

πa2+2bc=2bc，

∴SⅠ=SⅡ，

∴P1=P2，

双曲线C：

﹣y2=1的渐近线方程为：

y=，渐近线的夹角为：

60°

，不妨设过F（2，0）的直线为：

y=，

解得M（，），

解得：

N（），

则|MN|==3．

正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：

所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，

此时正六边形的边长明明就的最大值为：

6×

=．

13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为　6　．

作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=3x+2y得y=﹣x+z，

平移直线y=﹣x+z，

由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，

最大值为z=3×

2=6，

故答案为：

6

14．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　﹣63　．

Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+1，①

当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，

当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②，

由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1，

∴an=2an﹣1，

∴{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，

∴S6==﹣63，

﹣63

15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　16　种．（用数字填写答案）

方法一：

直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4

根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，

方法二，间接法：

C63﹣C43=20﹣4=16种，

16

16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是　　．

由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，

故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，

先来求该函数在[0，2π）上的极值点，

求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x

=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），

令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，

可得此时x=，π或；

∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，

计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，

∴函数的最小值为﹣，

．

（1）∵∠ADC=90°

∴由正弦定理得：

=，即=，

∴sin∠ADB==，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，

∴cos∠ADB==．

（2）∵∠ADC=90°

，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，

∵DC=2，

∴BC=

==5．

【解答】

由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，

则，，

由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．

由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．

又因为BF⊂平面ABFD，所以：

平面PEF⊥平面ABFD．

（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，联结DH，

由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，

则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．

在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，

因为DE∥BF且PF⊥BF，

所以PF⊥DE，

又因为△PDF≌△CDF，

所以∠FPD=∠FCD=90°

，

所以PF⊥PD，

由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，

故VF﹣PDE=，

因为BF∥DA且BF⊥面PEF，

所以DA⊥面PEF，

所以DE⊥EP．

设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a

在△PDE中，，

所以，

又因为，

所以PH==，

所以在△PHD中，sin∠PDH==，

即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：

（1）c==1，

∴F（1，0），

∵l与x轴垂直，

∴x=1，

由，解得或，

∴A（1.），或（1，﹣），

∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，

证明：

（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，

A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，

直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=+，

由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=，

将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k）=0

从而kMA+kMB=0，

故MA，MB的倾斜角互补，

∴∠OMA=∠OMB，

综上∠OMA=∠OMB．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），

则f（p）=，

∴=，

令f′（p）=0，得p=0.1，

当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，

当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，

∴f（p）的最大值点p0=0.1．

（2）（i）由

（1）知p=0.1，

令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），

X=20×

2+25Y，即X=40+25Y，

∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×

180×

0.1=490．

（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，

∵E（X）=490＞400，

∴应该对余下的产品进行检验．

（1）函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，

设g（x）=x2﹣ax+1，

当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，判别式△=a2﹣4，

①当0＜a≤4时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：

x

（0，）

（，）

（，+∞）

f′（x）

﹣

0

+

f（x）

递减

递增

递减

综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，

则（，）上是增函数．

（2）由

（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，

则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），

则=﹣2+，

则问题转为证明＜1即可，

即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，

即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，

设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h

（1）=0，

求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，

则h（x）在（0，1）上单调递减，

∴h（x）＞h

（1），即2lnx﹣x+＞0，

故2lnx＞x﹣，

则＜a﹣2成立．

（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．

转换为直角坐标方程为：

x2+y2+2x﹣3=0，

转换为标准式为：

（x+1）2+y2=4．

（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：

该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．

由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．

所以：

必有一直线相切，一直线相交．

圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．

故：

，解得：

k=或0，（0舍去）故C1的方程为：

（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，

由f（x）＞1，

∴或，

解得x＞，

故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），

（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，

∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，

即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，

即|ax﹣1|＜1，

∴﹣1＜ax﹣