上海市高三三模浦东新区数学试卷理科含答案1Word格式.doc

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11．数列中，且，则数列前项的积等于．

12．若均为平面单位向量,且，则．（用坐标表示）

13．在极坐标系中，动点从出发，沿极轴方向作匀速直线运动，速度为3米/秒，同时极轴绕极点按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点的极坐标方程．

14．记符号表示集合中最小的数．已知无穷项的正整数数列满足，令，若，

则=294．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.

15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（D）

A．系数行列式B．比例式

C．向量不平行D．直线不平行

16．用符号表示不小于的最小整数，如，．则方程在上实数解的个数为（D） A．0B．1 C．2 D．3

17．已知为椭圆的左顶点．如果存在过点的直线交椭圆于两点，使得，则的取值范围为（C）

A． B． C． D．

18．在圆锥中，已知高=2，底面圆的半径为，为母线上一点；

根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（B）

①圆的面积为；

②椭圆的长轴为；

③双曲线两渐近线的夹角为；

④抛物线中焦点到准线的距离为．

A．1个B．2个C．3个D．4个

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第

（1）小题满分5分，第

（2）小题满分7分.

如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，为圆的直径，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面．

（1）求证：

平面；

（2）设异面直线与所成的角为且，将（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积．

解：

（1）证明：

因为为圆的直径，所以，即…………2分

又因为垂直于圆所在平面，所以………………………………………4分

又所以平面…………………………………………………………5分

（2）由题意知，将（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．

因为异面直线与所成的角为，且，所以，……………7分

又因为，所以，在中，，………………………9分

在中，，，所以…………………………10分

所以该几何体的体积……………………12分

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第

（1）小题满分6分，第

（2）小题满分8分.

如图在半径为的圆形的材料中，要截出一个“十字形”,其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（为圆心）

（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（）（图）,此时边长为多少？

（2）若要使截出的“十字形”的面积为最大

（图），此时为多少？

（用反三角函数表示）

图

（1）图

（2）

（1）当“十字形”的边长相等时，过作交于，作⊥交于．设该“十字形”的边长为，则，．

在中，由勾股定理得，…………………………5分

所以，边长………………………………………………………………………6分

（2）过作交于，作⊥交于．设∠，则．

，．…………………………………………8分

所以，“十字形”的面积为

（其中或）…………………………………10分

所以，当时，………………………………………12分

此时，或……………………………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第

（1）小题满分6分，第

（2）小题满分8分.

设函数对任意，都有，其中为常数．当时，．

（1）设，在时的解析式及其值域；

（2）设，求在时的值域．

（1）当时，于是，又

所以即……………………………………3分

即在时的值域为…6分

（2）由于

只研究函数在值域即可……………………………………7分

对于得

于是

所以………………………………………9分

因为

所以当为偶数时，在上单调减，值域为；

且………………………………………10分

当为奇数时，在上单调增，值域为

且………………………………………12分

所以的值域为…………………………………………………………14分

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第

（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知在数列中，．

（1）设（），求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

（3）当时，是否存在一个常数，使对任意正整数都成立？

如果存在，请求出的值，并证明；

如果不存在，请说明理由．

（1）由题意，令，比较得到，

故有，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，……2分

因此，所以，.…………………………………4分

（2）由题意可知，，所以，

所以，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，

由，可得到，，

又因为，所以…………………………6分

由，同样可以求得，…………………………………8分

所以

，即……………………………10分

（3）因为在上单调递减且，

由，可知数列中的各项均满足

由要证明不等式的结构可令，解得，

故猜想：

，………………………………………………13分

下面用数学归纳法证明：

证明：

（i）当时，，，

所以，命题成立；

（ii）假设时，命题成立，即有，

由于在区间上单调递减，

所以

即，

再次利用函数在区间上单调递减，

得到，

所以时命题也成立，

即存在常数，使对任意正整数都成立.…………………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第

（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

如图，矩形中，，以矩形的中心为原点，过矩形的中心平行于的直线为轴，建立直角坐标系，

（1）求到直线的距离之积为1的动点的轨迹；

（2）若动点P分别到线段中点的距离之积为4，求动点的轨迹方程，并指出曲线的性质（对称性、顶点、范围）；

（3）已知平面上的曲线及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到曲线的距离．若动点到线段的距离与射线的距离之积为4，求动点的轨迹方程，并作出动点的大致轨迹．

（1）设，则………………………………………………2分

化简得.故动点的轨迹为三条平行线；

………………………4分

（2）

化简得

对称性：

关于原点、轴对称；

…………………6分

顶点：

；

…………………8分

范围：

……………………………10分

作图如图（不计分）

（3）同时从几何和代数角度进行分析

当时，，…………12分

当时，或，…………………14分

当时，，……………16分

作轨迹大致如图.分三个区域给分：

①在直线的下方：

两段曲线；

②在两直线之间：

三条平行线；

③在直线的上方：

三条曲线.………………………………………………18分

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