立体几何专题复习线面角学案Word下载.doc
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【巩固练习】
1设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°
则AD与平面BCD所成的角为（）
A30°
B45°
C60°
D75°
2.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（）
A.B.C.D.
3．PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）
A.B.C.D.
4.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）
A.B.C.D.
5.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
6.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.
平面；
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
【真题再现】
（09浙江）19．（本题满分14分）如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：
（II）求与平面所成角的正弦值．
20090423
（10浙江）（20）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°
，E为线段AB的中线，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点.
BF∥平面A′DE;
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面
A′DE所成角的余弦值.
（12浙江）20.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=。
AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
（1）证明：
（i）EF∥A1D1；
（ii）BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。
（13浙江）19.如图，在在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，
AD=CD=，PA=，∠ABC=120°
G为线段PC上的点.
BD⊥面PAC;
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与面APC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值.
【变式演练详细解析】
【变式演练1详细解析】
作MN∥AB交AP于N,连结DN,则MN∥AB∥CD,且∴CM∥ND,CM∥平面PAD
（Ⅱ）∵CM∥ND,∴ND与平面ABCD所成的角为所求.
∵侧面PAD⊥底面ABCD，∴ND在平面ABCD上的射影为AD
∴∠AND为所求；
∵⊿PAD是正三角形，N是PA的中点
D
C
B
P
A
M
E
∴CM与底面所成的角为30º
.
（Ⅲ）延长AD、BC交于点E,连结P、E.
则PE为所求二面角的棱，且AD=DE=PD所以，∠APE=90º
，AP⊥PE
又∵AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD
∴AB⊥平面PAE
∴BP⊥PE,∠BPA为所求二面角的平面角
tan∠BPA=
所以，侧面PBC与侧面PAD所的角为arctan2
【变式演练2详细解析】
（1）因为cos〈,〉=所以〈,〉=45°
即DP与CC′所成的角为45°
.
（2）平面AA′D′D的一个法向量是=（0,1,0）.
因为cos〈,〉=,
所以〈,〉=60°
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°
.
【反馈训练详细解析】[来源:
学科网]
1B【解析】作AO⊥CB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，
∵AO=OD=a,∴∠ADO=45°
答案B
2．C【解析】连结A1C1交B1D1于点O，则C1O⊥平面DBB1D1.连结OB,则∠C1BO即为所求.
∵BC1==20,C1O=,∴sin∠C1BO=.故选C.
3.C【解析】构造正方体如图所示，过点C作CO⊥平面PAB，垂足为O，则O为正ΔABP的中心，于是∠CPO为PC与平面PAB所成的角。
设PC=a，则PO=，故，即选C。
5.B【解析】:
如图，连结A1B和AB1交于点O′，取OB的中点E，连结O′E,则O′EA1O,[来源:
∴O′E⊥平面ABC.连结AE,∴∠O′AE即为AB1与平面ABC所成的角.
∵AO=BO,又∵A1A=AB,
∴DO⊥平面ABC.∴∠DBO为BD与平面ABC所成的角.∴∠DBO=45°
.答案:
∴AA1=CC1=2.连结BC1.∵A1C1⊥B1C1,A1C1⊥CC1,∴A1C1⊥平面BB1C1C.
∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角.
又BC1=,
平面BB1C1C的法向量为n=（1,0,0）.
设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ,与n的夹角为φ,
8.【解析】
取A′D的中点G，连结GF，CE，由条件易知
FG∥CD，FG=CD.BE∥CD,BE=CD.
所以FG∥BE,FG=BE.故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG[来源:
Z*xx*k.Com]
因为平面，BF平面，所以BF//平面
（Ⅱ）解：
在平行四边形,ABCD中，设BC=a，则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a,
连CE，因为
在△BCE中，可得CE=a,在△ADE中，可得DE=a,
在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,
在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE.
由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.
取A′E的中点N，连线NM、NF，所以NF⊥DE,NF⊥A′M.
因为DE交A′M于M,所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角.
在Rt△FMN中，NF=a,MN=a,FM=a,则cos=.
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.
∴OE//PD，，又∵，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，[来源:
学科网ZXXK]
在Rt△AOE中，，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.[来源:
Zxxk.Com]
（Ⅰ）∵，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.[来源:
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.
10.【解析】.
解法一：
（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），
设G（0，2，h），则
∴－1×
0+1×
（－2）+2h=0.∴h=1，即G是AA1的中点.
（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则
所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）[来源:
学。
科。
网Z。
X。
K]
∵
因为
11．【解析】
（1）证明 设AD＝DE＝2AB＝2a，以A为原点，AC为x轴，AB为z轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz，
则A（0,0,0），C（2a,0,0），B（0,0，a），
D（a，a,0），E（a，a,2a）．
因为F为CD的中点，[来源:
所以F.
＝，＝（a，a，a），＝（2a,0，－a）．
因为＝（＋），AF⊄平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
（2）证明 因为＝，＝（－a，a,0），＝（0,0，－2a），
故·
＝0，·
＝0，所以⊥，⊥.
所以⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.
（3）解 设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z）．由n·
＝0，n·
＝0，
可得x＋y＋z＝0,2x－z＝0，
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