数列与函数结合的综合问题Word文档格式.doc

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，求通项？

（3）在条件

（2）下，令，求数列的前项和？

分析：

由题知：

，所以，所以可求得：

例3：

函数；

（1）求的反函数；

（2）数列满足：

，且，求数列的通项公式；

（1）由题知：

；

（2）

（3）

例4、设函数，

（1）证明：

对一切，f（x）+f（1-x）是常数；

（2）记，求,并求出数列{an}的前n项和。

解：

∵，∴=

∴2=∴=∴Sn==

二、利用抽象函数的性质得递推关系：

是上不恒为零的函数，且对任意都有：

，

（1）求与的值；

（2）判断的奇偶性；

（3）若，，求数列的前项和？

简析：

（1）；

（2），再令，所以为奇函数；

（2）当时，，令函数，所以有：

，所以有：

，得；

又因为：

，所以：

，。

例2、已知函数具有下列性质：

（1）当n一定，记求的表达式

（2）对

（1）

即又

，即，由n为定值，

则数列是以为首项，为公比的等比数列，

由于

（2），

欲证，

只需证明，

只需证明

已知函数是定义在上的函数，且满足。

设，且有：

（1）求证：

（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围。

（1）由于，所以有，也有：

由：

，得，令，也即有：

，由错位相减得出：

（2）由，所以：

，又因为，所以是等比数列，有，又，所以有了：

，设有：

所以是单调递减的。

也当时，取得最大值，由题有：

。

练习：

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，,且当x,y∈（-1,1）

时，恒有,又数列{an}满足,设．

（１）证明：

f（x）在（-1，1）上为奇函数；

（２）求f（an）的表达式；

（３）是否存在自然数m，使得对任意n∈N,都有成立，若存在，求出m的最小值；

若不存在，请说明理由．

讲解　（１）紧扣奇函数的定义，选择特殊值．令x=y=0，则f（0）=0，再令x=0,得f（0）-f（y）=f（-y）,所以f（-y）=-f（y）,y∈（-1,1）,故f（x）在（-1，1）上为奇函数．

（２）

即　　　　　　　　，

∴{f（an）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f（an）=-2n-1.　

（３）先求的表达式，得

若恒成立（n∈N+）,则，　　　　　　　

即　　　　　　　　　　　　　　　　

∵n∈N+，∴当n=1时，有最大值4，故m>

4．又∵m∈N,∴存在m=5，使得对任意n∈N+，都有成立.　　

评注　递推数列是高考的热点题型，而本题将函数、数列、不等式融为一体，其综合度比较大，覆盖的知识点比较多，当中的＂恒成立＂又是高考的热门话题，还请读者多多总结该题型的解法技巧．由函数与数列综合是高考试题的一个亮点。

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