概率论与数理统计第四版课后习题 浙江大学Word格式文档下载.docx

概率论与数理统计第四版课后习题 浙江大学Word格式文档下载.docx

《概率论与数理统计第四版课后习题 浙江大学Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第四版课后习题 浙江大学Word格式文档下载.docx（99页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

AB+BC+AC

6.[三]设A，B是两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7.问

（1）在什么条件下P（AB）取到最大值，最大值是多少？

（2）在什么条件下P（AB）取到最小值，最小值是多少？

解：

由P（A）=0.6，P（B）=0.7即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理，P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.6+0.7=1.3&

gt;

1与P（A∪B）≤1矛盾）.

从而由加法定理得

P（AB）=P（A）+P（B）－P（A∪B）（*）

（1）从0≤P（AB）≤P（A）知，当AB=A，即A∩B时P（AB）取到最大值，最大值为P（AB）=P（A）=0.6，

（2）从（*）式知，当A∪B=S时，P（AB）取最小值，最小值为

P（AB）=0.6+0.7－1=0.3。

7.[四]设A，B，C是三事件，且P（A）P（B）P（C）

P（AC）1.求A，B，C至少有一个发生的概率。

81,P（AB）P（BC）0，4

2

P（A，B，C至少有一个发生）=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（AB）－P（BC）－P（AC）+P（ABC）=3150488

8.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记A表“能排成上述单词”

2∵从26个任选两个来排列，排法有A26种。

每种排法等可能。

字典中的二个不同字母组成的单词：

55个

∴P（A）55112130A26

9.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。

（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2„„9）

记A表“后四个数全不同”

∵后四个数的排法有104种，每种排法等可能。

4后四个数全不同的排法有A10

∴4A10P（A）0.50410

10.[六]在房间里有10人。

分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为5的概率。

记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A

10∵10人中任选3人为一组：

选法有3种，且每种选法等可能。

5又事件A相当于：

有一人号码为5，其余2人号码大于5。

这种组合的种数有12

3

∴5121P（A）12103

（2）求最大的号码为5的概率。

10记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有3种，且

4每种选法等可能，又事件B相当于：

有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有12

种

4121P（B）20103

11.[七]某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。

在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

记所求事件为A。

9在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。

432C4C3取得4白3黑2红的取法有C10

故432CCC252P（A）62431C17

12.[八]在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1）求恰有90个次品的概率。

记“恰有90个次品”为事件A

1500∵在1500个产品中任取200个，取法有200种，每种取法等可能。

4001100200个产品恰有90个次品，取法有90110种

4

∴400110090110P（A）

1500200

（2）至少有2个次品的概率。

记：

A表“至少有2个次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法11004001100有200种，200个产品含一个次品，取法有1199种

∵AB0B1且B0，B1互不相容。

∴110040011001199200P（A）1P（）1[P（B0）P（B1）]115001500200200

13.[九]从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？

记A表“4只全中至少有两支配成一对”则A表“4只人不配对”

10∵从10只中任取4只，取法有4种，每种取法等可能。

要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。

取法有5244

P（）4C524

4C10821

8132121P（A）1P（）1

15.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？

记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能

5

对A1：

必须三球放入三杯中，每杯只放一球。

放法4³

3³

2种。

（选排列：

好比3个球在4个位置做排列）

P（A1）43261643

243种。

对A2：

必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。

放法有C3

2（从3个球中选2个球，选法有C3，再将此两个球放入一个杯中，选法有4

种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。

2C343P（A2）43916

对A3：

必须三球都放入一杯中。

放法有4种。

（只需从4个杯中选1个杯子，放入此

3个球，选法有4种）

P（A3）413164

16.[十二]50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。

法一：

用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。

但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

3333C47C44C23对E：

铆法有C50种，每种装法等可能

3333C47C44C23对A：

三个次钉必须铆在一个部件上。

这种铆法有〔C3〕×

10

3333[C3C47C44C23]10

333C50C47C23P（A）10.000511960

法二：

用古典概率作

6

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。

（铆钉要计先后次序）

3对E：

铆法有A50种，每种铆法等可能

对A：

三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，„或“28，29，

32732732732730”位置上。

这种铆法有A3种A47A3A47A3A4710A3A47

P（A）32710A3A47

30A5010.000511960

17.[十三]已知P（）0.3,P（B）0.4,P（A）0.5,求P（B|A）。

解一：

P（A）1P（）0.7,P（）1P（B）0.6,AASA（B）ABA注意（AB）（A）.故有

P（AB）=P（A）－P（A）=0.7－0.5=0.2。

再由加法定理，

P（A∪）=P（A）+P（）－P（A）=0.7+0.6－0.5=0.8于是P（B|A）P[B（A）]P（AB）0.20.250.8P（A）P（A）

解二:

P（A）P（A）P（|A）由已知0507P（|A）

P（|A）0.5521P（B|A）　故　P（AB）P（A）P（B|A）0.7775

P（BAB）P（BA）P（B|A）定义0.25P（A）P（A）P（）P（A）0.70.60.5

18.[十四]P（A）111,P（B|A）,P（A|B）,求P（AB）。

432

7

11定义P（AB）P（A）P（B|A）由已知条件143P（B）1有解：

由P（A|B）P（B）P（B）2P（B）6

由乘法公式，得P（AB）P（A）P（B|A）112

111146123由加法公式，得P（AB）P（A）P（B）P（AB）

19.[十五]掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P（A|B），即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x,y）（x,y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为

S={（x,y）|（1,6）,（6,1）,（2,5）,（5,2）,（3,4）,（4,3）}

每种结果（x,y）等可能。

A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。

故P（A）21}63

方法二：

（用公式P（A|B）P（AB）P（B）

S={（x,y）|x=1,2,3,4,5,6;

y=1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能

A=“掷两颗骰子，x,y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。

则P（B）612，,P（AB）22666

2P（AB）21故P（A|B）P（B）163

20.[十六]据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：

P（A）=P{孩子得病}=0.6，P（B|A）=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P（C|AB）=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。

求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

8

所求概率为P（AB）（注意：

由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P（|AB）

P（AB）=P（A）=P（B|A）=0.6×

0.5=0.3,P（|AB）=1－P（C|AB）=1－0.4=0.6.

从而P（AB）=P（AB）·

P（|AB）=0.3×

0.6=0.18.

21.[十七]已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（记为事件A）

用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

C8228P（A）20.62C1045

用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。

2A8

2A10P（A）

2845

法三：

用事件的运算和概率计算法则来作。

记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

P（A）P（A1A2）P（A）P（A2|A1）

（2）二只都是次品（记为事件B）872810945

P（B）2C2

2C10145

P（B）2A2

2A10145

P（B）P（12）P

（1）P（2|1）211109459

（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）

11C8C2

2C10法一：

P（C）1645

P（C）112（C8C2）A2

2A101645

P（C）P（A121A2）且A12与1A2互斥P（A1）P（2|A1）P

（1）P（A2|1）28168210910945

（4）第二次取出的是次品（记为事件D）

因为要注意第一、第二次的顺序。

不能用组合作，

P（D）11A9A2

2A1015

P（D）P（A1212）且A12与1A2互斥P（A1）P（2|A1）P

（1）P（2|1）822111091095

22.[十八]某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？

如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通。

Ai表第i次拨号能接通。

注意：

第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

HA11A212A3　三种情况互斥

P（H）P（A1）P

（1）P（A2|1）P

（1）P（2|1）P（A3|12）

191981310109109810

如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。

P（H|B）PA1|B1A2|B12A3|B）

P（A1|B）P（1|B）P（A2|B1）P（1|B）P（2|B1）P（A3|B12）14143135545435

24.[十九]设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？

（此为第三版19题

（1））

记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”

再记B表“再从乙袋中取得白球”。

∵∴B=A1B+A2B且A1，A2互斥P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）

=nN1mNnmNM1nmNM1

[十九]

（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；

第二只盒子装有4只红球，5只白球。

先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。

C2为“从第一盒子中取得2只白球”。

C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，

D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P（D）=P（C1）P（D|C1）+P（C2）P（D|C2）+P（C3）P（D|C3）

112C525C4C47C56532221199C911C911C9

11

26.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。

今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1A2=φ由已知条件知P（A1）P（A2）

由贝叶斯公式，有1P（B|A1）5%,P（B|A2）0.25%2

15P（A1B）P（A1）P（B|A1）202100P（A1|B）125P（B）P（A1）P（B|A1）P（A2）P（B|A2）15212100210000

[二十二]一学生接连参加同一课程的两次考试。

第一次及格的概率为P，若第一次

P及格则第二次及格的概率也为P；

若第一次不及格则第二次及格的概率为

（1）若至少2

有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。

（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P（A1）=P（A2|A1）=P，P（A2|1）

（1）B={至少有一次及格}}12所以{两次均不及格

∴P（B）1P（）1P（12）1P

（1）P（2|1）

1[1P（A1）][1P（A2|A1）]

1（1P）（1P31）PP2222

（*）定义P（A1A2）

（2）P（A1A2）P（A2）

由乘法公式，有P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=P2由全概率公式，有P（A2）P（A1）P（A2|A1）P

（1）P（A2|1）

12

PP（1P）

P2

P2P22

将以上两个结果代入（*）得P（A1|A2）P2

P2P222PP1

28.[二十五]某人下午5:

00下班，他所积累的资料表明：

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:

47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:

45~5:

49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S已知：

P（A）=0.5,P（C|A）=0.45,P（C|B）=0.2,P（B）=0.5

由贝叶斯公式有P（A|C）P（C|A）P（A）P（C）0.50.450.4590.6923110.6513P（C|A）P（C|B）22

29.[二十四]有两箱同种类型的零件。

第一箱装5只，其中10只一等品；

第二箱30只，其中18只一等品。

今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。

试求

（1）第一次取到的零件是一等品的概率。

（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

设Bi表示“第i次取到一等品”i=1，2

13

Aj表示“第j箱产品”j=1,2，显然A1∪A2=S

（1）P（B1）A1A2=φ1101182。

0.4（B1=A1B+A2B由全概率公式解）2502305

110911817P（B1B2）

（2）P（B2|B1）0.48572P（B1）

（先用条件概率定义，再求P（B1B2）时，由全概率公式解）

32.[二十六

（2）]如图1，2，3，4，5

表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合

的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独

立，求L和R是通路的概率。

记Ai表第i个接点接通

记A表从L到R是构成通路的。

∵A=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥

∴P（A）=P（A1A2）+P（A1A3A5）+P（A4A5）+P（A4A3A2）－P（A1A2A3A5）

+P（A1A2A4A5）+P（A1A2A3A4）+P（A1A3A4A5）

+P（A1A2A3A4A5）P（A2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）

+（A1A2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）－P（A1A2A3A4A5）

又由于A1，A2，A3，A4，A5互相独立。

故P（A）=p2+p3+p2+p3－[p4+p4+p4+p4+p5+p4]+[p5+p5+p5+p5]－p5=2p2+3p3－5p4+2p5

[二十六

（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。

它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图

（1）的方式联接，求系统的可靠性。

记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，

A表示系统正常。

14

∵A=A1A2A3+A1A4两种情况不互斥

∴P（A）=P（A1A2A3）+P（A1A4）－P（A1A2A3A4）（加法公式）

=P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（A4）－P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）

=P1P2P3+P1P4－P1P2P3P4（A1,A2,A3,A4独立）

34.[三十一]袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。

在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。

问这只硬币是正品的概率为多少？

设“出现r次国徽面”=Br“任取一只是正品”=A

由全概率公式，有

m1rn（）1r

mn2mn

m1r（）P（A）P（Br|A）mP（A|Br）m1rnP（Br）mn2r（）mn2mnP（Br）P（A）P（Br|A）P（）P（Br|）

（条件概率定义与乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。

飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。

求飞机被击落的概率。

高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。

B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机

∵

H1B12312312B3，三种情况互斥。

H2B1B23B12B31B2B3三种情况互斥H3B2B2B3

又B1，B2，B2独立。

15

∴P（H1）P（B1）P

（2）P（3）P

（1）P（B2）P（3）

P

（1）P

（2）P（B3）0.40.50.30.6

0.50.30.60.50.70.36

P（H2）P（B1）P（B2）P（3）P（B1）P

（2）P（B3）

P

（1）P（B2）P（B3）0.40.50.3

+0.4×

0.5×

0.7+0.6×

0.7=0.41

P（H3）=P（B1）P（B2）P（B3）=0.4×

0.7=0.14

又因：

A=H1A+H2A+H3A三种情况互斥

故由全概率公式，有

P（A）=P（H1）P（A|H1）+P（H2）P（A|H2）+P（H3）P（AH3）

=0.36×

0.2+0.41×

0.6+0.14×

1=0.458

36.[三十三]设由以往记录的数据分析。

某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P（A1）=0.8,P（A2）=0.15,P（