椭圆经典例题分类汇总文档格式.doc

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由得，故的取值范围是．

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．

例4已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．

方程可化为．因为焦点在轴上，所以．

因此且从而．

（1）由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．

（2）由焦点在轴上，知，．（3）求的取值范围时，应注意题目中的条件

例5已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，

即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

即．∴点的轨迹是以，为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：

．

本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

2.焦半径及焦三角的应用

例1已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？

若存在，则求出点的坐标；

若不存在，请说明理由．

假设存在，设，由已知条件得

，，∴，．

∵左准线的方程是，

∴．

又由焦半径公式知：

，．

∵，∴．

整理得．

解之得或．①

另一方面．②

则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．

例2已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：

的面积（用、、表示）．

求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．

如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：

·

．①

由椭圆定义知：

②，则得．

故．

3.第二定义应用

例1椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法．

由已知：

，．所以，右准线．

过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．

本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值．

例2已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．

利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

解法一：

由，得，，．

由椭圆定义，，得

由椭圆第二定义，，为到左准线的距离，

∴，

即到左准线的距离为．

解法二：

∵，为到右准线的距离，，

∴．又椭圆两准线的距离为．

∴到左准线的距离为．

运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；

如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

例3　已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．

（1）　求的最大值、最小值及对应的点坐标；

（2）　求的最小值及对应的点的坐标．

本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：

一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；

若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

（1）如上图，，，，设是椭圆上任一点，由，，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．

由，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．

建立、的直线方程，解方程组得两交点

、．

综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值．

（2）如下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由，，∴．由椭圆第二定义知，∴，∴，要使其和最小需有、、共线，即求到右准线距离．右准线方程为．

∴到右准线距离为．此时点纵坐标与点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点坐标．

求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段．巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段．

4.参数方程应用

例1求椭圆上的点到直线的距离的最小值．

先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为

当时，．

当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

例2　

（1）写出椭圆的参数方程；

（2）求椭圆内接矩形的最大面积．

本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

（1）．

（2）设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在第一象限的顶点，，

则

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

例3　椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使（为坐标原点），求其离心率的取值范围．

∵、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

设椭圆的参数方程是，

则椭圆上的点，，

∵，∴，

即，解得或，

∵　∴（舍去），，又

∴，∴，又，∴．

若已知椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点使．如何证明？

5.相交情况下--弦长公式的应用

例1已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

（1）把直线方程代入椭圆方程得，

即．，解得．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由

（1）得，．

根据弦长公式得：

．解得．方程为．

处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；

解决弦长问题，一般应用弦长公式．

用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例2已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

可以利用弦长公式求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为，，所以．因为焦点在轴上，

所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．

由直线方程与椭圆方程联立得：

．设，为方程两根，所以，，，从而．

（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为，设，，则，．

在中，，即；

所以．同理在中，用余弦定理得，所以．

（法3）利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．

再根据焦半径，，从而求出

6.相交情况下—点差法的应用

例1已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

由题意，设椭圆方程为，

由，得，

∴，，

，∴，

∴为所求．

（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；

（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

例2已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

分析一：

已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．

设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得

由韦达定理得．

∵是弦中点，∴．故得．

所以所求直线方程为．

分析二：

设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：

设过的直线与椭圆交于、，则由题意得

①－②得．⑤

将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．

所求直线方程为．

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：

过定点且被定点平分的弦；

平行弦的中点轨迹；

过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．

（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：

“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

例3已知椭圆，

（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，

求线段中点的轨迹方程．

此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

设弦两端点分别为，，线段的中点，则

①－②得．

由题意知，则上式两端同除以，有，

将③④代入得．⑤

（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：

．⑥

将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．

（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：

．（椭圆内部分）

（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：

．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得：

，⑦，将③④平方并整理得

，⑧，，⑨

将⑧⑨代入⑦得：

，⑩

再将代入⑩式得：

，即．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例4已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．

若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：

（1）直线；

（2）弦的中点在上．

利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围．

（法1）设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点．

∵的斜率，∴设直线的方程为．由方程组消去得

　　①。

∴．于是，，

即点的坐标为．∵点在直线上，∴．解得．　②

将式②代入式①得　　③

∵，是椭圆上的两点，∴．解得．

（法2）同解法1得出，∴，

，即点坐标为．

∵，为椭圆上的两点，∴点在椭圆的内部，∴．解得．

（法3）设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为．

∵，在椭圆上，∴，．两式相减得，

即．∴．

又∵直线，∴，∴，即　①。

又点在直线上，∴　　②。

由①，②得点的坐标为．以下同解法2.

涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

（1）利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程．

（2）利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式．

例5已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去（或），得到关于（或）的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，（或，）的值代入计算即得．

并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

方法一：

设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得

　①

设直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，∴

∵为中点，∴，．∴所求直线方程为．

方法二：

设直线与椭圆交点，．∵为中点，∴，．

又∵，在椭圆上，∴，两式相减得，

即．∴．∴直线方程为．

方法三：

设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点．

∵、在椭圆上，∴　　①。

　　　　　②

从而，在方程①－②的图形上，而过、的直线只有一条，∴直线方程为．

直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．

若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？

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