圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含答案)Word文档格式.doc

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三．解答题（共13小题）

14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线与x轴平行，求a；

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

16．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：

y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：

PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．

17．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：

y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．

18．已知斜率为k的直线l与椭圆C：

+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：

k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：

||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．

19．设抛物线C：

y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．设椭圆C：

+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：

∠OMA=∠OMB．

21．记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．

函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．

22．已知函数f（x）=﹣lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：

f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；

（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：

对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．

23．已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1．

（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；

（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．

24．已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，证明：

当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；

当x＞0时，f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．

25．已知函数f（x）=ex﹣ax2．

（1）若a=1，证明：

当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

26．已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：

＜a﹣2．

参考答案与试题解析

【解答】解：

∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，

由此可得c==2，

∴该双曲线的焦点坐标为（±

2，0）

故选：

B．

由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线

y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），

AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，

F是AB的中点，EF==3，

EF==b，

所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，

可得：

，解得a=．

则双曲线的方程为：

﹣=1．

C．

双曲线C：

﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，

∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，

∴|OP|===a，cos∠PF2O=，

∵|PF1|=|OP|，

∴|PF1|=a，

在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，

∴6a2=b2+4c2﹣2×

b×

2c×

=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），

即3a2=c2，

即a=c，

∴e==，

由题意可知：

A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），

直线AP的方程为：

y=（x+a），

由∠F1F2P=120°

，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），

代入直线AP：

c=（2c+a），整理得：

a=4c，

∴题意的离心率e==．

D．

∵双曲线的离心率为e==，

则=====，

即双曲线的渐近线方程为y=±

x=±

x，

A．

﹣y2=1的渐近线方程为：

y=，渐近线的夹角为：

60°

，不妨设过F（2，0）的直线为：

y=，

则：

解得M（，），

解得：

N（），

则|MN|==3．

函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，

可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，

曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：

1，

则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：

y=x．

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　2　．

双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，

=b=，

可得，即c=2a，

所以双曲线的离心率为：

e=．

故答案为：

2．

﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　　；

双曲线N的离心率为　2　．

椭圆M：

﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：

，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），

解得e=．

同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，

，即，

可得双曲线的离心率为e==2．

；

10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=　5　时，点B横坐标的绝对值最大．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由P（0，1），=2，

可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），

即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，

又x12+4y12=4m，

即为x22+y12=m，①

x22+4y22=4m，②

①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，

可得y1﹣2y2=﹣m，

解得y1=，y2=，

则m=x22+（）2，

即有x22=m﹣（）2==，

即有m=5时，x22有最大值16，

即点B横坐标的绝对值最大．

5．

　2　．

∵抛物线C：

y2=4x的焦点F（1，0），

∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），

联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，

则x1+x2=，x1x2=1，

∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，

∵M（﹣1，1），

∴=（x1+1，y1﹣1），=（x2+1，y2﹣1），

∵∠AMB=90°

=0，∴•=0

∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，

整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，

∴1+2+﹣4﹣+2=0，

即k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

2

12．曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=　﹣3　．

曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex，

曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，

a+1=﹣2，解得a=﹣3．

﹣3．

13．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为　y=2x　．

∵y=2ln（x+1），

∴y′=，

当x=0时，y′=2，

∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．

y=2x．

（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的导数为

f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．

由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线斜率为0，

可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，

解得a=1；

（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex，

若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；

x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．

x=2处f（x）取得极大值，不符题意；

若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；

若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；

在（2，+∞），（﹣∞，）递增，

可得f（x）在x=2处取得极小值；

若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；

在（，+∞），（﹣∞，2）递增，

可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；

若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；

在（2，+∞），（﹣∞，）递减，

可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．

综上可得，a的范围是（，+∞）．

（1）由题意可设椭圆方程为，

∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．

∵∴，又a2+b2=c2=3，

解得a=2，b=1．

∴椭圆C的方程为：

，圆O的方程为：

x2+y2=3．

（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，

∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．

由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．

由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，

可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．

将k=﹣，m=3代入可得，

解得x=，y=1，故点P的坐标为（．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），

由⇒k＜﹣．

联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

|x2﹣x1|==，

O到直线l的距离d=，

|AB|=|x2﹣x1|=，

△OAB的面积为S===，

解得k=﹣，（正值舍去），m=3．

∴y=﹣为所求．

（Ⅰ）证明：

可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），

AB中点为M的坐标为（，），

抛物线C：

y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，

可得（）2=4•，

（）2=4•，

化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，

可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，

可得n=，

则PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，

可得m2+=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，

由（Ⅰ）可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，

由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2|

=（﹣m）•

=[•（4n2﹣16m+2n2）﹣m]•

=（n2﹣4m），

可令t==

=，

可得m=﹣时，t取得最大值；

m=﹣1时，t取得最小值2，

即2≤t≤，

则S=t3在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，

△PAB面积的取值范围为[6，]．

（Ⅰ）设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，

由椭圆的离心率为e=，

∴=；

又a2=b2+c2，

∴2a=3b，

由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|•|AB|=6；

可得ab=6，

从而解得a=3，b=2，

∴椭圆的方程为+=1；

（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；

∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；

又|AQ|=，且∠OAB=，

∴|AQ|=y，

由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；

由方程组，消去x，可得y1=，

∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；

由方程组，消去x，可得y2=；

由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，

两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，

解得k=或k=；

∴k的值为或．

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵线段AB的中点为M（1，m），

∴x1+x2=2，y1+y2=2m

将A，B代入椭圆C：

+=1中，可得

，

两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，

∴k==﹣=﹣

点M（1，m）在椭圆内，即，

解得0＜m

∴．

（2）证明：

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），

可得x1+x2=2，

∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，

∴x3=1，

∵m＞0，可得P在第一象限，故，m=，k=﹣1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．

则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，

联立，可得|x1﹣x2|=

所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=，

∴该数列的公差为±

．

（1）方法一：

y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；

设直线AB的方程为：

y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，整理得：

k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，

由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：

k2=1，则k=1，

∴直线l的方程y=x﹣1；

方法二：

y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：

sin2θ=，

∴θ=，则直线的斜率k=1，

（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）

由抛物线的定义可知：

|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，

以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，

由

（1）可知：

x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，

则D（3，2），

过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．

（1）c==1，

∴F（1，0），

∵l与x轴垂直，

∴x=1，

由，解得或，

∴A（1.），或（1，﹣），

∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，

证明：

（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，

A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，

直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=+，

由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=，

将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k）=0

从而kMA+kMB=0，

故MA，MB的倾斜角互补，

∴∠OMA=∠OMB，

综上∠OMA=∠OMB．

21．记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的