圆锥曲线综合题高考常见题型与分析(学生)Word文档下载推荐.docx

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10.（定值）；

11.；

；

12.；

13.；

14.;

15.;

16.过抛物线上一点M（x0,y0）的切线方程为

注意：

过抛物线上一点M（x0,y0）的切线的方程为：

17.过抛物线焦点弦的两端点的抛物线的切线的交点在准线上；

过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

二、2007—2014广东高考圆锥曲线综合题回顾

年份

载体

求解

2014

椭圆

（1）求椭圆标准方程；

（2）求点的轨迹方程

2013

（1）求抛物线方程；

（2）求直线方程（3）求最值

2012

（1）求椭圆方程；

（2）存在性问题求最值

2011

圆

（1）求点的轨迹方程；

（2）求最值

2010

（2）求值

2009

2008

（1）求椭圆方程和抛物线方程；

（2）存在性问题

2007

（1）求圆方程；

三、圆锥曲线常考题型与解题策略

题型1：

求轨迹方程

解题策略：

（1）熟练各种圆锥曲线的有关定义、标准方程、性质；

（2）认真审题；

（3）列式求解；

（4）查漏补缺下结论。

特别注意：

若所求的方程后面要用到，必须验算！

例1.（2014广东）已知椭圆的一个焦点为，离心率为。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

变式练习：

1.（2014辽宁）圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.

（1）求的方程；

（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求的方程

2.[2014·

陕西]如图，曲线C由上半椭圆C1：

＋＝1（a>

b>

0，y≥0）和部分抛物线C2：

y＝－x2＋1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.

（1）求a，b的值；

（2）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

题型2：

与圆锥曲线相关的最值问题

（1）常用方法有配方法、判别式法、导数法、函数单调性等;

（2）参数方程法（三角代换法）,把问题转化为三角函数问题，利用三角函数的有界性;

（3）不等式法,通过基本不等式求最值;

（4）数形结合法.

解决最值问题一定要分清哪些量为变量,哪些量为常量;

解决此类问题要综合应用多种知识,注意问题切入点的突破.

例2.[2014·

四川]已知椭圆C：

0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

①证明：

OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

②当最小时，求点T的坐标．

解：

（1）由已知可得解得a2＝6，b2＝2，

所以椭圆C的标准方程是＋＝1.

（2）①证法一：

由

（1）可得，F的坐标是（－2，0），设T点的坐标为（－3，m），

则直线TF的斜率kTF＝＝－m.

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.

当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

得（m2＋3）y2－4my－2＝0，

其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>

0.所以

y1＋y2＝，y1y2＝，

x1＋x2＝m（y1＋y2）－4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM＝－，

又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.

证法二：

设T点的坐标为（－3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点M（x0，y0），则

若m=0，则PQ中点为F，满足OT平分线段PQ；

若，则

由，得O,M,T花线

综上：

OT平分线段PQ。

②方一：

由①可得，|TF|＝，

|PQ|＝＝

＝＝.

所以＝＝

≥＝.

当且仅当m2＋1＝，即m＝±

1时，等号成立，此时取得最小值．

故当最小时，T点的坐标是（－3，1）或（－3，－1）．

方二：

由

（1），得是椭圆的左准线，离心，由①及椭圆第二定义，得

，

余略。

3.[2014·

浙江卷]如图，设椭圆C：

0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．

（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；

（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：

点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

4.[2014·

山东卷]已知抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．

（1）求C的方程．

（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.

①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．

②△ABE的面积是否存在最小值？

若存在，请求出最小值；

若不存在，请说明理由．

题型3：

与圆锥曲线相关的存在性问题

求解策略：

（1）思路:

先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在;

若结论不正确则不存在.

（2）策略:

①当条件和结论不唯一时要分类讨论;

②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;

③当条件和结论都不知,按常规法解题很难时,可先由特殊情况探究,再推广到一般情况.

例3.（2014深圳一模）如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为．

（1）求直线及抛物线的方程；

（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，．问：

是否存在实数，使得？

若存在，试求出的值；

（1）（法一）点在抛物线上，．

设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，

由得，

由，得，则直线方程为．

两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，

有，解得或（舍去）．

直线的方程为，抛物线的方程为．

（法二）点在抛物线上，

，抛物线的方程为．

设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，

根据图象，有，

，的最小值为，由，解得．

因此，直线的方程为，抛物线的方程为．

（2）直线的斜率存在，

设直线的方程为，即，

由得，

设点、的坐标分别为、，则，，

，，

由得，，

，．

因此，存在实数，使得成立，且．

点评:

（1）常常根据题意建立含有参数的等式或不等式,通过解等式或不等式求参数的值或范围.

（2）建立关于某变量的一元二次方程,利用根与系数的关系或利用判别式求参数或参数的范围.

5.已知动圆P与圆F1:

（x+3）2+y2=81相切,且与圆F2:

（x-3）2+y2=1相内切,记圆心P的轨迹为曲线C;

设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点,O为坐标原点,过点F2作OQ的平行线交曲线C于两个不同的点M,N.

（1）求曲线C的方程;

（2）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数?

若能,求出这个常数;

若不能,请说明理由;

（3）记△QF2M的面积为S1,△OF2N的面积为S2,令S=S1+S2,求S的最大值.

6.在平面直角坐标系xOy中,经过点（0,2）且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q.

（1）求k的取值范围;

（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量OP+OQ与AB共线?

如果存在,求出k的值;

如果不存在,请说明理由.

7.[2014·

邯郸期末]已知点F1（－1，0），F2（1，0）分别是椭圆C：

0）的左、右焦点，点P在椭圆C上．

（2）设直线l1：

y＝kx＋m，l2：

y＝kx－m，若l1，l2均与椭圆C相切，试探究在x轴上是否存在定点M，点M到l1，l2的距离之积恒为1.若存在，请求出点M的坐标；

题型4：

与圆锥曲线的弦长、距离、面积等有关的问题

（1）当直线的斜率是否存在未定时，用点斜式或斜截式表示直线时，需分类讨论；

当直线与y轴不垂直时，可设直线为的形式。

将直线方程与圆锥曲线方程联立,构成方程组,得到型如的方程，判别式为△，利用根与系数的关系设而不求计算弦长,设两交点为，则|AB|==（k为直线AB的斜率）；

（2）当涉及过焦点的弦长问题时,可考虑用圆锥曲线的定义；

（3）当弦过原点时，可考虑转化为极坐标方程解。

例4．（2014大纲全国,理21）已知抛物线C:

y2=2px（p>

0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.

（1）求C的方程;

（2）过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'

与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.

命题定位:

本题主要考查抛物线的定义、直线方程、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式等知识,体现数形结合的思想、函数方程思想.对运算求解能力、分析问题和解决问题的能力、数学探究能力及综合运用知识的能力有较高的要求.

（I）设，代入，得

由题设得，解得（舍去）或，

∴C的方程为；

（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，

代入，得．

设则．

故的中点为

又的斜率为

的方程为．

将上式代入，并整理得．

设则

．

由垂直平分，故四点在同一圆上等价于，则

即，

化简得，解得或．

所求直线的方程为或．

8.（2014课标全国Ⅰ）已知点（0，-2），椭圆：

的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.

9.在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>

0）相交于A、B两点。

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？

若存在，求出l的方程；

若不存在，说明理由。

题型5：

圆锥曲线的中点弦问题

这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题；

（2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求弦中点的坐标问题。

其解法有“点差法”、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

例5.[2014·

湖南]如图7，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；

双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且.

图7

（Ⅱ）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值.

（Ⅰ），

从而，

于是，

故椭圆方程为,双曲线的方程为.

（Ⅱ）因为直线不垂直于轴且过点，故设直线的方程为.

由得，

设，则是上述方程的两个实根，

因此，的中点为，

故直线的斜率为，的方程为，即.

设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，

因为点在直线的异侧，所以，

于是,

从而

又因为，所以

四边形面积

而，故当时，取得最小值2.

故四边形面积的最小值为2.

10.（2013新课标Ⅱ）平面直角坐标系xoy中,过椭圆的右焦点作直交于A,B两点,为的中点,且OP的斜率为.

（Ⅰ）求的方程;

（Ⅱ）为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.

11.已知椭圆过点，且离心率。

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。

题型6：

圆锥曲线中的参数问题

（1）函数法,用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用函数值域来求解;

（2）不等式法,根据题意建立含有参数的不等式,通过解不等式求参数的范围;

（3）判别式法,建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式Δ≥0求参数的范围;

（4）方程思想,建立含有参数的等式,通过等式确定参数.

例6.[2014·

佛山质检]已知椭圆C的左、右焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），且F2到直线x－y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若圆P的圆心为P（0，t）（t>

0），且经过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值．

（1）设椭圆的方程为＋＝1（a>

0）．

依题意可知，2b＝＝4，所以b＝2.

又c＝1，故a2＝b2＋c2＝5，

故椭圆C的方程为＋＝1.

（2）设Q（x0，y0），圆P的方程为x2＋（y－t）2＝t2＋1.

因为PM⊥QM，所以

|QM|＝＝＝.

若－4t≤－2，即t≥，当y0＝－2时，|QM|取得最大值，

|QM|max＝＝，解得t＝<

（舍去）．

若－4t>

－2，即0<

t<

，当y0＝－4t时，|QM|取最大值，

且|QM|max＝＝，解得t2＝.

又0<

，所以t＝.

综上可知，当t＝时，|QM|的最大值为.

12.[2014·

湖北卷]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）设斜率为k的直线l过定点P（－2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．

13.已知椭圆C:

x22+y2=1,右焦点为F2.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-12,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点.求F2P·

F2Q的取值范围.

题型7：

与圆锥曲线相关的定点、定值问题

与圆锥曲线相关的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴,抛物线的焦点、准线等.定值问题的求解与证明类似,在求定值之前,已经知道定值的结果（题中未告知,可用特殊值探路求之）,解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清,定值显现.

处理定点问题的方法：

⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；

⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，

例7.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标．

解：

（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，则

故椭圆C的标准方程为

（Ⅱ）设，，

联立，得，

又，

因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，

，即，

，解得：

，，且均满足，

当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点，定点坐标为．

例8.（2014•江西）如图，已知双曲线C：

﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：

﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：

当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．

（1）解：

依题意知，A（c，），设B（t，﹣），

∵AB⊥OB，BF∥OA，

∴•=﹣1，=，

整理得：

t=，a=，

∴双曲线C的方程为﹣y2=1；

（2）证明：

由

（1）知A（2，），l的方程为：

﹣y0y=1，

又F（2，0），直线l：

﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．

于是可得M（2，），N（，），

∴==

===．

即恒为定值。

14.（2013山东（理））椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. 

　　（Ⅰ）求椭圆C的方程；

　　（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线 

，PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

　　（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 

设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.

15.（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；

最小值为1；

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。

求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标。

题型8：

与圆锥曲线相关的求值问题

熟练各种曲线的定义、方程和性质。

例9.[2014·

天津卷]设椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）．

由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.

又b2＝a2－c2，则＝，

所以椭圆的离心率e＝.

（2）由

（1）知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为＋＝1.

设P（x0，y0）．由F1（－c，0），B（0，c），有＝（x0＋c，y0），＝（c，c）．

由已知，有·

＝0，即（x0＋c）c＋y0c＝0.

又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①

又因为点P在椭圆上，所以＋＝1.②

由①和②可得3x＋4cx0＝0.

而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.

代入①得y0＝，即点P的坐标为.

设圆的圆心为T（x1，y1），则x1＝＝－c，y1＝＝c，

则圆的半径r＝＝c.

设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.

由l与圆相切，可得＝r，即＝c，

整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±

所以直线l的斜率为4＋或4－.

16.[2014·

重庆卷]如图所示，设椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

17.[2014·

新课标全国卷Ⅱ]设F1，F2分别是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

18.[2014·

安徽]如图，已知两条抛物线E1