普通高等学校招生全国统一考试押题卷数学文试卷二Word文档下载推荐.doc
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A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【解析】由“为假”得出，中至少一个为假．当，为一假一真时，为真，故不充分；
当“为假”时，，同时为假，所以为假，所以是必要的，所以选B．
4．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）
【解析】作出的可行域为三角形（包括边界），把改写为，当且仅当动直线过点时，取得最大值为．
5．据有关文献记载：
我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（）盏．
A．2 B．3 C．26 D．27
【解析】设顶层有灯盏，底层共有盏，由已知得，则，
所以选C．
6．如图是一个算法流程图，若输入的值是13，输出的值是46，则的值可以是（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解析】依次运行流程图，结果如下：
，；
，，此时退出循环，所以的值可以取10．故选C．
7．设双曲线的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）
A．2 B． C． D．4
【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为，所以．因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以，所以，双曲线的方程为，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．
8．已知数据，，，，的平均值为2，方差为1，则数据，，，相对于原数据（）
A．一样稳定 B．变得比较稳定 C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断
【解析】因为数据，，，，的平均值为2，所以数据，，，的平均值也为2，因为数据，，，，的方差为1，所以，所以，所以数据，，，的方差为，因为，所以数据，，，相对于原数据变得比较不稳定．
9．设表示正整数的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列的前n项和为，那么（）
【解析】由已知得，当为偶数时，，当为奇数时，．
因为，
所以
，
即，
所以．
10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为3，，则（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】因为，所以焦点到准线的距离，设，的横坐标分别是，，则
，，因为，所以，即，解得．
11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，1，，则此三棱锥外接球的表面积为（）
【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为2，1，，
所以此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，半径，所以三棱锥外接球的表面积为．
12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则下列一定成立的为（）
【解析】任意取为一正实数，一方面，另一方面容易证成立，所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以恒成立，所以，所以排除D；
当时，，所以，所以排除A，B．所以选C．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，若向量，则实数m的值为_________．
【答案】或
【解析】因为向量，所以，所以或．
14．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为_________．
【答案】
【解析】从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个，所以取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为
．
15．设函数对于任意，都有成立，则实数_________．
【答案】1
【解析】一方面，由对任意恒成立得；
另一方面，由得，所以．
16．若对任意的，都有，且，，则的值为_________．
【答案】2
【解析】因为①，所以②，
①+②得，，所以，
所以，所以，所以，
在中，令得，，
因为，，所以．
三、解答题：
本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）如图，四棱柱为长方体，点是中点，是的中点．
（1）求证：
平面；
（2）若，求证：
平面平面．
（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
（1）取得中点为，连接，．
由已知点是中点，是的中点可以证得，
四边形都为平行四边形，·
·
2分
所以，，所以，·
4分
因为平面，平面，
所以平面．·
6分
（2）因为四棱柱为长方体，，所以，·
7分
因为平面，所以，·
8分
因为，所以平面，·
10分
平面，所以平面平面．·
12分
18．（12分）在中，，．
平分；
（2）当时，若，，求和的长．
（2），．
（1）在中，由正弦定理得，，
因为，·
所以，·
3分
因为，所以，
即平分．·
（2）因为，，所以，·
在和中，由余弦定理得，，
因为，所以，·
11分
所以．·
19．（12分）国家放开计划生育政策，鼓励一对夫妇生育2个孩子．在某地区的100000对已经生育了一胎夫妇中，进行大数据统计得，有100对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎，其余的均为单胞胎．在这99900对恰好生育一孩的夫妇中，男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有对，男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有对，其余情形有对，且．现在用样本的频率来估计总体的频率．
（1）说明“其余情形”指何种具体情形，并求出，，的值；
（2）该地区为进一步鼓励生育二孩，实行贴补政策：
凡第一胎生育了一孩的夫妇一次性贴补5000元，第一胎生育了双胞胎或多胞胎的夫妇只有一次性贴补15000元．第一胎已经生育了一孩再生育了二孩的夫妇一次性再贴补20000元．这种补贴政策直接提高了夫妇生育二孩的积极性：
原先男方或女方中只有一方愿意生育二孩的夫妇现在都愿意生育二孩，但原先男方、女方都不愿意生育二孩的夫妇仍然不愿意生育二孩．试用样本估计该地区任意一对已经生育了一胎的夫妇获得5000元生育补助，15000元生育补助及25000元生育补助的概率．
（1）“其余情形”指一对夫妇中的男方、女方都不愿意生育二孩；
，，；
（2）任意一对已经生育了一胎的夫妇获得15000元生育补助的概率为，获得25000元生育补助的概率为，获得5000元生育补助的概率为．
（1）“其余情形”指一对夫妇中的男方、女方都不愿意生育二孩．
由，可设，，，
由已知得，，所以，
解得，·
所以，，．·
（2）一对夫妇中，原先的生育情况有以下5种：
第一胎生育的是双胞胎或多胞胎有100对，频率为，·
5分
男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，频率为，·
男方愿意生育二胎女方不愿意生育二胎的有30000对，频率为，·
男方不愿意生育二胎女方愿意生育二胎的也有10000对，频率为，·
其余情形即男方、女方都不愿意生育二孩的有9900对，频率为，·
9分
根据统计学原理，可以用这100000对已经生育了一胎的夫妇获得的生育补助频率来估计该地区任意一对已经生育了一胎的夫妇获得的生育补助的概率，故可以估计如下：
任意一对已经生育了一胎的夫妇获得15000元生育补助的概率为，·
任意一对已经生育了一胎的夫妇获得25000元生育补助的概率为，·
任意一对已经生育了一胎的夫妇获得5000元生育补助的概率为．·
20．（12分）已知椭圆的方程为，在椭圆上，椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为、，的面积是的面积的倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于，，求的面积的取值范围．
（1）椭圆C的方程为；
（2）．
（1）由在椭圆上，可得，·
1分
由的面积是的面积的倍，可得，即，·
又，可得，，，
所以椭圆C的方程为．·
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，消去得，
设，，所以，，·
又，，解得：
，·
到直线的距离为，·
令，由，所以，
则，，
21．（12分）设函数．
（1）证明：
当时，；
（2）若对任意的，都有，求的取值范围．
（1）函数的定义域为，令，则，·
所以当时，，当时，，·
所以的最小值为，·
当时，，所以，
所以成立．·
（2），即，
令，，，·
令，得，，或，·
所以，当时，；
即当时，递减；
当时，递增；
①当时，即，在上递减，
所以，故恒成立，符合题意．·
②当时，即，
当时，递减；
与矛盾，故舍去．·
综上所述，．·
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
【选修4-4：
坐标系与参数方程】
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以射线为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）将曲线的参数方程化成普通方程，将直线的极坐标方程化成直角坐标方程；
（2）求直线与曲线相交所得的弦的长．
（1），；
（1）曲线的参数方程化成直角坐标方程为，·
因为，，所以的直角坐标方程为．·
（2）直线的倾斜角为，过点，
所以直线化成参数方程为，即，（为参数），·
代入得，，·
设方程的两根是，，则，，·
【选修4-5：
不等式选讲】
23．（10分）已知函数（为正实数），．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若存在实数，，使，求实数的取值范围．
（1）；
（1）∵，∴，
∴，∴且，·
因为，所以且，，所以的取值范围是．·
（2）∵，显然可取等号，
∴，·
所以若存在实数，，使，只需使，·
又，
，，因为，所以实数的取值范围是．·
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