同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。
另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差：
观测值中误差m的绝对值与相应观测值S相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即
（6-10）
三、误差传播定律
【例】丈量某段斜距S=106.28m，斜距的竖角，斜距和竖角的中误差分别为、，求斜距对应的平距D及其中误差。
解：
平距
由于是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“”代替“d”得
再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值
因此，平距的中误差为：
mD=±5cm。
则最终平距可表示为：
D=105.113±0.050m。
应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角度单位和长度单位，所以，应注意各项单位要统一。
例如，上例中的角值需要化为弧度。
综上所述，应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下：
列独立观测值函数式
对函数式进行全微分
写出中误差关系式
应用误差传播定律应特别注意两点：
正确列出函数式；函数式中的各个观测值必须是独立观测值。
【例】用长度为l=30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m=±5mm，求全长D及其中误差mD。
解：
列独立观测值函数式
对函数式进行全微分
写出中误差关系式
则，全长的中误差为mD=±
。
误10 如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：
先列出函数式D=10l，写出全长D的中误差关系式并计算中误差mD=10·m=10·5=±50mm。
答案错误，原因在于错误地列出了函数式。
【例】设有函数式Z=y1+2y2+1，而y1=3x，y2=2x+2，已知x的中误差为mx，求Z的中误差。
解：
若直接利用式（6-16）和（6-23）计算，则
函数Z的中误差
上面答案是错误的！
这是因为y1和y2均是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此，不能直接应用误差传播定律进行计算。
正确的做法是先将y1和y2代入函数式Z，合并同类项后即为独立观测值，再应用误差传播定律，即
【例】对某段距离进行了5次等精度观测，观测结果列于表6-3，试计算该段距离的最或然值及其中误差。
计算见表6-3。
表6－3利用观测值的改正数计算观测值中误差
序号
观测值L
（m）
改正数V（cm）
VV
（cm）
精度评定
1
251.52
-3
9
最或是值：
m
观测值中误差：
cm
最或是值中误差：
cm
观测成果：
x=251.494±0.01m
2
251.46
+3
9
3
251.49
0
0
4
251.48
-1
1
5
251.50
+1
1
Σ
[L]=1257.47
[V]=0
[VV]=20
四、加权平均值及其中误差
【例】已知观测值分别为L1、L2、L3，其中误差分别为m1=±1″、m2=±2″、m3=±3″,则它们的权分别为：
取μ=1时，
取μ=4时，
取μ=36时，
【例】水准测量中按测站数和水准测量距离定权。
设在A、B两点间进行水准测量，共设置了n个测站，各测站的高差分别为h1、h2、┅、hn，则A、B点间的高差hAB为
hAB=h1+h2+┅+hn（6-38）
若每个测站的高差中误差为m站，则根据误差传播定律可得hAB的中误差为
（6-39）
若设每测站的水准距离相等，均为s，则A、B间的水准测量距离SAB=n·s，由式（6-39）可得hAB的中误差
（6-40）
设，则式（6-40）变为。
当SAB=1km时，=m公里=μ，可见μ为每公里水准测量高差的中误差。
因此，式（6-40）变为
（6-41）
由式（6-39）和（6-41）可得：
水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，与距离的平方根成正比。
可见，在水准测量中，测站数越少或距离越短，则观测高差的精度越高。
若取c个测站的观测高差中误差为单位权中误差μ，根据权定义式（6-37）和式（6-39），可得观测高差hAB的权为
（6-42）
若取c公里观测高差的中误差为单位权中误差m公里，根据定义权公式（6-37）和式（6-41），可得观测高差hAB的权为
（6-43）
由（6-42）和（6-43）式可知：
水准测量高差的权与测站数成反比，与水准路线的长度成反比。
所以，通过测站数和水准测量距离就可以确定观测高差的权，而不需要利用中误差来定权。
【例】在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n1、n2、┅、nn进行n批观测，得相应的算术平均值为L1、L2、┅、Ln，求L1、L2、┅、Ln的权。
解：
设各观测值的中误差分别为m1、m2、┅、mn，且观测一次的中误差均为m，则
因此，相应的权为，再令，则，若取c=1，则
（6-44）
可见，在相同的观测条件下，算术平均值的权与观测次数成正比（或相等）。
设n个不等精度观测值L1、L2、…、Ln，相应的权分别为P1、P2、…、Pn，则最或然值（称为加权平均值）为
（6-45）
可以看出，当各观测值为等精度时，则权P1=P2=…=Pn=1，上式就与算术平均值计算式（6-31）相同。
下面根据式（6-45）推算加权平均值的中误差。
设观测值L1、L2、…、Ln的中误差分别为m1、m2、…、mn，则根据误差传播定律可得加权平均值的中误差为
（6-46）
由权定义式（6-37），有公式要规范！
，代入式（6-46）可得
（6-47）
实际计算时，上式中的单位权中误差m可用观测值的改正数来计算，其计算公式为
（6-48）
将式（6-48）代入式（6-47），可得加权平均值的中误差计算公式
（6-50）
【例】如图6-3所示，从已知水准点A、B、C经三条水准路线，测得E点的观测高程Hi及水准路线长度Si（见表6-4），求E点的加权平均值及其中误差。
各条水准路线权：
（由式6-43可得）
加权平均值：
加权平均值中误差：
则E点高程：
HE=527.469±0.009（m）
图6-3不等精度水准路线
表6-4不等精度高程计算表
观测路线
E点观测高程
Hi（m）
观测路线长度
Si（km）
观测高程权
观测值的改正数（mm）
PVV
1
527.459
4.5
0.22
10
22.00
2
527.484
3.2
0.31
-15
69.75
3
527.458
4.0
0.25
11
30.25
五、思考题习题：
1.观测条件主要由那些因素构成？
2.观测误差分为哪几类？
它们各自是怎样定义的？
试举例说明。
3.在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数有误差，试判断误差的性质及符号：
（1）视准轴与水准管轴不平行；
（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沉；（5）水准尺倾斜。
4.何谓多余观测？
测量中为什么要进行多余观测？
5.偶然误差的统计规律是什么？
偶然误差的概率分布曲线能说明哪些问题?
6.已知两段距离的长度及其中误差分别为：
300.465m±4.5cm及660.894m±4.5cm，试说明这两段距离的真误差是否相等？
它们的相对中误差是否相等？
7.在三角形ABC中，已测出求的值及其中误差。
8．两个等精度观测角度之和的中误差为，问每个角的观测值中误差是多少？
9.以相同精度观测某角5次，观测值分别为39°40.5’、39°40.8′、39°40.9′、39°40.8′、39°40.6′，试计算该角的最或然值及其中误差。
10.丈量两段直线得D1=164.86m,D2=131.34m,其中误差分别为，求：
（1）每段直线的相对中误差；
（2）两段直线之和的相对中误差；（3）两段直线之差的相对中误差。
11.在水准测量中,已知每次读水准尺的中误差为,假定视线平均长为50m，容许误差为中误差的两倍，求测段长为Skm的水准路线往返测高差的容许闭合差应为多少？
12.水准测量从点A到点B，如附图所示。
已知A、B点高程分别为。
观测高差及其水准测量距离分别为：
求C点的最或然高程及其中误差。
附图
13.等精度观测了12个三角形的所有内角，求得每个三角形的闭合差ω见附表，试计算测角中误差。
附表
三角形编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
闭合差ω（"）
3.2
-1.6
1.4
-2.5
0.7
2.3
-3.1
2.5
-1.8
-0.9
2.7
-2.2
参考答案：
7.
8．7.071"
9．
10．
11．
12.48.012±0.002（m）
13.ω为真误差，可得三角形内角和的中误差，则测角中误差。
六、追加练习：
1.对某基线丈量六次，其结果为：
L1＝246.535m，L2＝246.548m，L3＝246.520m，
L4＝246.529m，L5＝246.550m，L6＝246.537m。
试求：
（1）算术平均值;246.5365m
（2）每次丈量结果的中误差；11.36mm
（3）算术平均值的中误差和基线相对误差。
4.6mm，1/53000
2.观测BM1至BM2间的高差时，共设25个测站，每测站观测高差中误差均为±3mm，
问：
（1）两水准点间高差中误差多少？
（2）若使其高差中误差不大于±12mm，应设置几个测站?
16站
3.在等精度观测条件下，对某三角形进行四次观测，其三内角之和分别为：
179º59′59″，
180º00′08″，179º59′56″，180º00′02″。
试求：
（1）三角形内角和的观测中误差？
4.6秒
（2）每个内角的观测中误差？
2.66秒
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