随机变量及其分布单元测试一文档格式.doc

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A．0.1462 B．0.1538

C．0.9962 D．0.8538

答案　A

解析　所求的概率为1－＝1－＝0.1462.

3．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：

0.5

0.2

则其数学期望E（ξ）等于（　　）

A．1 B．0.6

C．2＋3m D．2.4

答案　D

解析　∵0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3.

∴E（ξ）＝1×

0.5＋3×

0.3＋5×

0.2＝2.4.

4．已知随机变量X服从二项分布X～B（6，），则P（X＝2）等于（　　）

A. B.

解析　P（X＝2）＝C·

（）4·

（）2＝.

5．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是（　　）

解析　P（至少有一枚正面）＝1－P（三枚均为反面）＝1－（）3＝.

6．在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是（　　）

答案　B

解析　所求概率为C（）3×

（1－）2＝.

7．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为（　　）

A．2.5 B．3

C．3.5 D．4

解析　P（ξ＝k）＝（k＝1,2,3，…，6），

＋2×

＋…＋6×

＝（1＋2＋…＋6）

＝×

[]＝3.5.

8.

某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为（　　）

C. D．以上都不对

解析　由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C条路线，故所求的概率为＝.

9．已知离散型随机变量ξ的分布列为

20

30

0.6

a

－

则D（3ξ－3）等于（　　）

A．42 B．135

C．402 D．405

10．设随机变量ξ服从正态分布N（0,1），P（ξ>

1）＝p，则P（－1<

ξ<

0）等于（　　）

A.p B．1－p

C．1－2p D.－p

解析　由于随机变量服从正态分布N（0,1），由标准正态分布图像可得P（－1<

1）＝1－2P（ξ>

1）＝1－2p.

故P（－1<

0）＝P（－1<

1）＝－p.

11．一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（　　）

A.　　 B.

C.　　 D.

解析　设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P（T）＝P（R）＝1－×

＝，所以灯亮的概率为P＝1－P（T）·

P（R）·

P（）·

P（）＝.

12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是（　　）

A.A1 B．A2

C．A3 D．A4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P（ξ≥10）＝______；

P（6<

ξ≤14）＝________.

答案　，

解析　由题意P（ξ＝k）＝（k＝5,6，…，14），

P（ξ≥10）＝4×

＝.P（6<

ξ≤14）＝8×

＝.

14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．

答案　0.8

解析　P（敌机被击中）＝1－P（甲未击中敌机）P（乙未击中敌机）＝1－（1－0.6）（1－0.5）＝1－0.2＝0.8.

15．如果随机变量ξ服从N（μ，σ），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，那么μ＝________，σ＝________.

答案　3,1

解析　∵ξ～N（μ，σ），∴E（ξ）＝μ＝3，D（ξ）＝σ2＝1，∴σ＝1.

16．某次知识竞赛规则如下：

在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．

答案　0.128

解析　此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×

0.2×

0.82＝0.128.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．

解析　ξ的取值分别为3,4,5，

P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，

所以ξ的分布列为

18.（12分）某校从学生会宣传部6名成员（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．

（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；

（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；

（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B）和P（B|A）．

解析　

（1）ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝.

∴ξ的分布列为

（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C，

则P（C）＝＝＝.

∴所求概率为P（）＝1－P（C）＝1－＝.

（3）P（B）＝＝＝；

P（B|A）＝＝＝.

19．（12分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.

（1）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布列及数学期望E（X）；

（2）求乙至多击中目标2次的概率；

（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

解析　

（1）X的概率分布列为

X

E（X）＝0×

＋1×

＋3×

＝1.5或

E（X）＝3×

＝1.5.

（2）乙至多击中目标2次的概率为1－C（）3＝.

（3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1、B2为互斥事件，

P（A）＝P（B1）＋P（B2）＝×

＋×

20．（12分）老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：

（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；

（2）他能及格的概率．

解析　

（1）设抽到他能背诵的课文的数量为X，则X为离散型随机变量，且X服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，

当X＝0时，P（X＝0）＝＝，

当X＝1时，P（X＝1）＝＝，

当X＝2时，P（X＝2）＝＝，

当X＝3时，P（X＝3）＝＝，

则可得X的分布列为

（2）他能及格的概率为

P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝.

21．（12分）甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数X稳定在7,8,9,10环．他们的这次成绩画成频率分布直方图如下图所示：

（1）根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P（X乙＝8），并求甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；

（2）根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高．

解析　

（1）由图可知：

P（X乙＝7）＝0.2，P（X乙＝9）＝0.2，

P（X乙＝10）＝0.35.

所以P（X乙＝8）＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.

同理P（X甲＝7）＝0.2，P（X甲＝8）＝0.15，

P（X甲＝9）＝0.3.

所以P（X甲＝10）＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.

因为P（X甲≥9）＝0.3＋0.35＝0.65，

P（X乙≥9）＝0.2＋0.35＝0.55.

所以甲、乙同时击中9环以上（包含9环）的概率为

P＝P（X甲≥9）·

P（X乙≥9）＝0.65×

0.55＝0.3575.

（2）因为E（X甲）＝7×

0.2＋8×

0.15＋9×

0.3＋10×

0.35＝8.8，

E（X乙）＝7×

0.25＋9×

0.2＋10×

0.35＝8.7，

E（X甲）>

E（X乙），所以估计甲的水平更高．

22．（2012·

陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

办理业务所需的时间（分）

频率

0.1

0.4

0.3

从第一个顾客开始办理业务时计时．

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

解析　设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

Y

（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：

①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；

③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．

所以P（A）＝P（Y＝1）P（Y＝3）＋P（Y＝3）P（Y＝1）＋P（Y＝2）P（Y＝2）＝0.1×

0.3＋0.3×

0.1＋0.4×

0.4＝0.22.

（2）方法一　X所有可能的取值为0,1,2.

X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，

所以P（X＝0）＝P（Y>

2）＝0.5；

X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X＝1）＝P（Y＝1）P（Y>

1）＋P（Y＝2）＝0.1×

0.9＋0.4＝0.49；

X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，

所以P（X＝2）＝P（Y＝1）P（Y＝1）＝0.1×

0.1＝0.01.

所以X的分布列为：

0.49

0.01

0.5＋1×

0.49＋2×

0.01＝0.51.

方法二　X的所有可能取值为0,1,2.

X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X＝0）＝P（Y>

X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X＝2）＝P（Y＝1）P（Y＝1）＝0.1×

0.1＝0.01；

P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）＝0.49.