第24讲巧解最值应用问题.docx
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第24讲巧解最值应用问题
第24讲巧解最值应用问题
巧点晴——方法和技巧
生产和生活中有许多最值问题，需要我们结合实际，灵活地选择方法进行解答。
常用解题方法有：
①逆推，②列表，③比较等。
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】有10位小朋友，其中任意5人的平均身高不小于1.5米，那么，其中身高小于1.5米的小貊了多有几人？
分析与解本题从正面似乎很难入手，但当我们抓住关键词“任意5人”、“不小于1.5米”，从反而入手却很易得解。
题目要求的是“身高小于1.5米的小朋友最多有几人”，我们不妨考虑任意5人中身高不小于1.5米的最少有几人。
由题设“任意5人的平均身高不小于1.5米”，可知任意5人中身高不小于1.5米的至少有1人；否则若身高不小于1.5米的人一个都没有，其平均身高就不可能大于1.5米。
所以任意5人中身高小于1.5米的最多有4人。
也可以这样考虑，反设有5个或多于5个小朋友的身高小于1.5米，我们就从10个小朋友中选这5人出来，他们的平均身高就一定小于1.5米，与题目给定的条件矛盾，所以身高小于1.5米的小朋友最多有4人。
答：
身高小于1.5米的小朋友最多有4人。
做一做工有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？
【例2】5个空瓶可以换一瓶汽水。
某班同学共喝了161瓶汽水，其中有些是用喝完的汽水瓶换来的，那么，他们至少要买多少瓶汽水？
解法院（逆推法）首先弄清楚什么情况下所买的汽水最少，显然是所有空瓶都换成汽水，最后只剩一个空瓶的情况是买汽水最少的。
我们设想最后1瓶汽水是由此个空瓶换来的，而这5个空瓶中的汽水又是由5×5个空瓶换来的，再推下去，25个空瓶的汽水又是由125个空瓶换来的，这一方案一直没有花钱买汽水，当然是最优的。
从这里可以看出，只要买125瓶汽水，就可以喝到125＋25＋5＋1=156（瓶）汽水，并剩一个空瓶，再买4瓶汽水喝完后加上剩下的一个空瓶又可换一瓶汽水，如此就可喝到161瓶汽水，而只要买125＋4=129（瓶）汽水即可。
解法2我们将买最少瓶汽水的总是转换成花最少的钱喝161瓶汽水的问题。
怎样才能使同学们喝到161瓶汽车又花钱最少？
答案只有一个，就是将所有的汽水瓶全部退给店主换成钱。
设每瓶汽水1元钱，喝161瓶汽车花161元，每5个空瓶值1元，161÷5=32余1。
161个空瓶换
元，161－
=
元，即至少要买129瓶汽水。
解法3根据“5个空瓶可换1瓶汽水”（连汽水带瓶子）可知，每4个空瓶就能换到一瓶汽水（不带瓶），所以每个空瓶可换
瓶汽水。
也就是说，买一瓶汽水实际能喝到1＋
瓶汽水。
因此，喝161瓶汽水至少要买：
161÷（1＋
）=128.8≈129（瓶）
答：
他们至少要买129瓶汽水。
做一做25个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了120瓶汽水，那么，他们至少要买多少瓶汽水？
【例3】某县农机厂金工车间共有77个工人。
已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个，或乙种部件4个，或丙种部件3个。
每个甲种部件、1个乙种部件和9个丙种部件恰好配成一套。
问：
分别安排多少个工人加工甲、乙、丙三种部件时，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？
分析与解如果采用直接假设，那么就要用三个字母分别代替加工甲、乙、丙三种部件的人数，这已经超出我们的知识范围。
由题目条件看出，每套成品中，甲、乙、丙三种部件的件数之比是3：
1：
9，因为是配套生产，所以生产出的甲、乙、丙三种部件的数量之比也应是3：
1：
9。
设每天加工乙种部件χ个，则加工甲种部件3χ个，丙种部件9χ个。
从而可知，加工甲种部件应安排
χ人，加工乙种部件应安排
χ人，加工丙种部件应安排
χ人。
依题意可得方程
χ＋
χ＋
χ=77
χ=77
χ=20
将χ=20依次代入
χ，
χ和
χ，得
χ=
×20=12（人），
χ=
×20=5（人），
χ=3×20=60（人）。
答：
加工甲、乙、丙三种部件应分别安排12人、5人和60人。
做一做3车过河交渡费3元，马过河交渡费2元，人过河交渡费1元。
某天过河的车、马数目的比为2：
9，马、人数目的比为3：
7，共收得渡费945元。
问：
这天渡河的车、马、人的数目各是多少？
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】小朋友们排成一行，从左面第一人开始，每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始，每隔绝人发一个橘子，结果有10人小朋友苹果和橘子都拿到了。
那么，这些小朋友最多有多少人？
分析与解苹果每隔2人发一个，橘子每隔4人发1个。
由[3，5]=15，所以每15个小朋友中就有1人拿到了苹果和橘子。
因此，苹果和橘子都拿到的10个小朋友之间共有15×（10－1）＋1=136个小朋友，他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果，左边最多有3×4=12（人）；而右边最多有2个小朋友拿到橘子，右边最多有5×2=10（人）。
结果，最多有12＋136＋10=158（人）。
答：
这些小朋友最多有158人。
做一做4有2008个小朋友排成一排，王老师从左面第一人开始发一张卡片，然后每隔2人发一张卡片；李老师从右面第一人开始发一朵红花，然后向左每隔4人发一朵红花。
问：
有多少个小朋友卡片和红花都拿到了？
【例5】某金工工厂生产铁箱子，箱子是由一个铁框和两块铁板做成的。
这次任务由老李和小张承担，他们的技术情况不同，老李每小时生产9个铁框，或生产12块铁板；小张只能生产铁板，每小时生产10块。
现要生产63个箱子，问：
至少要用多少小时？
分析与解生产63个箱子，需63个铁框，李师傅每小时生产9个铁框，生产63个铁框要63÷9=7（时）。
63个箱子要用63×2=126（块）铁板，李师傅生产铁框的7小时，小张已生产铁板7×10=70（块）。
还未生产的有126－70=56（块）。
二人共同生产56块铁板要56÷（12＋10）=56÷22=
（时）。
所以，李、张二人至少要用7＋
=
（时）。
答：
至少要用
小时。
做一做5完成一套零件需要一个大零件和三个小零件组成。
新机床每小时加工8个大零件，或加工12个小零件；旧机床只能加工小零件，每小时加工10个。
现在要加工80套零件，问：
至少需要用多少小时？
【例6】钢筋原材料每件长7.3米。
每套钢筋架子需用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各一段。
问：
要做100套钢筋架子，至少要用去原材料几件？
分析与解本题的解法极易出错，为了寻找最佳的解题方法，我们列出各种截割方案：
方案
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
2.9米钢筋的根数
1
1
1
2
0
0
0
2.1米钢筋的根数
1
2
0
0
2
3
0
1.5米钢筋的根数
1
0
2
1
2
0
4
余料数
0.8
0.2
1.4
0
0.1
1.0
1.3
发现方案④、⑤、②较好，根据它们的关系，列出取件方案：
方案
②
④
⑤
取件数
20
40
30
2.9米钢筋的根数
20
80
2.1米钢筋的根数
40
60
1.5米钢筋的根数
40
60
90件钢筋总长为7.3×90=657（米）。
100套要用钢筋总长为（2.9＋2.1＋1.5）×100=650（米）；
所剩余料为657米－650米=7米＜7.3米（一件），于是90件为最佳方案。
这种题，一般应该怎样列式，怎样解答呢？
按余料从少到多排列方案，设依次取χ,y,z件，根据题意得
2χ＋2=100…………①
2y＋2z=100…………②
χ＋2y=100…………③
由式②一式③，得
χ=2z………………④
2.9米
2
0
1
2.1米
0
2
2
1.5米
1
2
0
余料
0
0.1
0.2
取件数
χ
y
z
将χ=2z代入式①，得5z=100,z=20；把z=20代入式①，χ=40；再把χ=40代入式③，得y=30。
χ=40
即得方程组的解y=30
Z=20
所以，一共用去原材料40＋30＋20=90（件）
答：
至少要用去原材料90件。
做一做6有一批长4.3米的条形钢材，要截成0.7米和0.4米的甲、乙两种毛坯，要求截出的甲、乙两种毛坯数量相同。
问：
如何下料才能使残料最少？
C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军
【例7】若干箱货物总量是19.5吨，每箱质量不超过353千克。
今有载重1.5吨的汽车，问：
至少要多少辆，才能把这些货物一次全部运走？
解如果只想到19.5÷1.5=13，只需13辆汽车就能将这批货物一次运走，这是不对的。
因为只知道每箱质量不超过353千克，没有每箱的具体质量，所以有不确定的因素。
为此，我们可以这样安排车辆：
首先把12辆车装到另外3辆空车上，每车4箱总质量不超过353×4=1412（千克），能被3辆车运走。
所以把这些货物一次运走，至少需要汽车12＋1＋3=16（辆）。
做一做710吨货物分装若干箱，每只箱子不超过1吨。
为了确保在任何情况下都能一次性将这些货物运走，那么，载重量为3吨的汽车，最少需配备多少辆？
巧练习——温故知新（二十四）
A级冲刺名校·基础点晴
1.盒子中装有10分、20分、25分面值的邮票，其中20分邮票的张数是10分邮票张数的3倍还多1，25分邮票的张数是20分邮票张数的5倍还多3。
问：
盒子中全部邮票的总面值最少是多少？
2.电影院一排有50人座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少人就座？
3.有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为零，试求满足上述条件的最小正整数。
4.命题委员会为5～10年级准备数学奥林匹克竞赛试题，每个年级各7道题，而且都恰有4道题跟任何其他年级不同。
试问：
其中最多可以有多少道不同的试题（指各个年级加在一起）？
5.某城市设立1999个车站，并打算设立若干条公共汽车线路。
要求：
（1）从任何一站上车，至多换一次车就可以到达城市的任一站；
（2）每一个车站至多是两条线路的公共站。
问：
这个城市最多可以开辟多少条公共汽车线路？
B级培优竞赛·更上层楼
6.有23个不同的正整数的和是4845。
问：
这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少？
写出你的结论，并说明理由。
7.两个偶数的倒数之和与两个奇数的倒数之和相等，这样的偶数对和奇数对要求不同的偶数和奇数。
问：
满足这个条件的偶数对的两个偶数之和的最小值是多少？
8.将16拆成若干个自然数的和，再求这些自然数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，则这个乘积是多少？
9.把2002分成若干个不互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该积用乘法形式如何表示？
10.10个自然数的和等于2002，则这10个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？
C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军
11.从1，2，3，…，2052这2052个自然数中，最多可以取多少个数，使所取出的数中，任意两个数的和是100的整数倍？
12.设自然数n有下列性质：
从1，2，3，…，n中任取50个不同的数，其中必有两个数之差等于7，这样的n最大不能超过多少？
13.设N=1×2×3×…×（n－1）×n，若数N的尾数恰有25个边续的零，则n的最大值是多少？
※14.N是一个自然数，
是一个整数的平方，
是一个整数的立方，则N的最小值是多少？
※15.设A=1×2×3×…×100=12n·M。
其中n，M均为自然数，则n的最大值为多少？
巧总结
本节我的收获是：
。
不足之处有：
。
智慧泉
神奇的π
π与计算机
令数学家们着迷又头疼的圆周率π，终于在上个世纪遇上了强大的对手——计算机。
1949年，人们首次用计算机把π算到了小数点第2037位，空破了千位大关。
其后圆周率的计算迅速加码，纪录一再刷新，万位、百万位、千万位大关相继被突破。
1984年，一对俄罗斯兄弟使用超级计算机将π值推进到小数点后10亿位，为此他们获得了首届麦克阿瑟基金“天才奖”。
他们的计算能够永无休止地计算π的数值，兄弟俩中的格利高评论他们的工作说：
“计算π值非常适合用来测试计算机的各项性能”。
π与数字文化
π无穷无尽而又无章可循，像一长串“魔鬼”数字，引来了众多对它痴迷的“追π迷”，形成了独具特色的π数字文化。
每年的3月14日是旧金山的π节，这一天的下午1：
59，旧金山的部分高层都要绕着当地的博物馆转3.14圈，同时嘴里吃着各种饼，因为饼（pie）在英语里与π（pi）同音。
在美国麻省理工学院，每年秋季足球比赛时，足球迷们都要大声地欢呼自己最喜欢的数字：
“3.14159!
”荷兰人在莱顿彼得教堂的墓地为π建立了一座不可思议的纪念碑，以此来纪念荷兰数学家冯·瑟伦计算出了π的第33位到35位数。
1996年诺贝尔文学奖得主维斯拉瓦·申博尔斯卡曾写了一首名为《π》的诗歌，赞美其坚定不移地向着无限延伸，永远也算不完。
这是因为它不可能化作分数，而化为小数则无穷无尽且无章可循。
π与圆石柱
刘徽是公元3世纪魏晋时代一位颇负盛名的数学家。
据说，有一天，刘徽信步走到一个打石场散心。
他看到一群石匠在加工石料。
石匠们接到一块四四方方的大青石，先斫去石头的四个角，青石变成一块八角的石头，然后又再斫掉八个角，石头变成了十六角形。
这样一斧一凿地下去，一块方石就在不知不觉中被加工成了一根光滑的圆石柱了。
刘徽几乎看呆了。
突然间，他脑子灵光一闪，赶紧回到房间，立刻动手在纸上画了一个大圆，然后在圆里画了个内接正六边形，用尺子一量，六边形的周长正好是直径的3倍。
然后，他又在圆里作出内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……他惊喜地发现圆的内接正多边形的边数越多，它的周长就和圆的周长越接近，它的面积和圆的面积也越接近。
他就用这种方法求圆周率，这就是著名的“割圆术”。
利用割圆术，刘徽算出了圆的内接正一百九十二边形的周长是直径的3.14倍，即
。
是人类历史上第一次所求得的比较准确的π值。
人们为纪念刘徽的功绩，就把这个π值称为“徽率”。
后来南北朝时的另一位著名数学家祖冲之，在刘徽研究的基础上，利用割圆术继续推算，发现了一个并不复杂的奇民间分数
，它能相当细致地刻画出圆周率π的值。
这一伟大成就远远地走到了当时世界的前列，比荷兰工程师安托尼茨得出相同的圆周率值早一千多年。
π近似值的奇异发现
现在我们不妨做一个有趣的数学小实验，把分数
中的分子与分母都颠倒过来写，再在分母的末位数上改动一个数码，把1改作2，于是将得到
，其分数值是1.7724358…，它等于π的平方根，准确到4位小数。
这是不是一个很奇异的发现？
还有奇妙的呢！
现在，请用计算器再做一个有趣的实验，把2143（前四个自然数1，2，3，4的数码重排）除以22，然后连续按动开平方键两次，你将能得出准确到八位小数的π值，这个令人惊讶的近似等式=22π4=2143是1914年由著名的印度天才数学家斯利尼瓦撒·拉马努贾首先发现的。
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