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概率论在生活中的应用毕业论文
概率论在生活中的应用毕业论文
河南师范大学
学号:
**********本科毕业论文
概率论在生活中的应用
学院名称:
数学与信息科学学院
专业名称:
数学与应用数学
年级班别:
10级二班
姓名:
指导教师:
2014年3月
概率论在生活中的应用
摘要
概率论作为数学的一个重要部分，在现实生活中的应用越来越广泛，同样也发挥着越
来越重要的作用。
加强数学的应用性，让学生学用数学的知识和思维方法去看待，分析，
解决实际生活的问题，在数学活动中获得生活经验。
这是当前数学课程改革的大势所趋。
加强应用概率的意识，不仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。
人类认识到随机现
象的存在是很早的，但书上讲得都是理论知识，我们不仅仅要学习好理论知识，应用理论
来实践才是重中之重。
学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生
活素养。
（宋体，小四，1.5倍行距）
关键词随机现象;条件概率;极限定理;古典概率
Theapplymentofthetheoryofprobabilityindailylife
AbstractProbabilitytheoryasanimportantpartofmathematics,inthelifeofthesuemoreandmorewidely,alsoplayanincreasinglyimportantrole.Strengthenmathematicsapplied,letsthestudentwithmathematicalknowledgeandmathematicalthinkingmethodtotreat,analysis,solvepracticallifeinmathematicsactivity,gainlifeexperience.Thisisthecurrenttrendofcurriculumreform.Strengthentheconsciousnessoftheapplicationofprobability,notonlylearning,butworkinglifeisindispensable.Peoplerealizetheexistenceofrandomphenomenonisearly,buttellingthetheoryknowledge,weshouldnotonlystudythetheoryknowledgewell,theapplicationoftheorytopracticeismoreimportant.Learnprobabilitytheory,andusingprobabilityknowledgetosolverealiticlproblemsisalreadyalifewenecessaryaccomplishment.
KeywordsRandomphenomenon;Conditionalprobability;Limittheorem.The
classicalprobability
1
前言
概率论与我的生活息息相关。
比如:
太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生;而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。
但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。
在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。
不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。
走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率;生产、生活更是离不开概率。
在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。
继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。
然而彩票中奖的概率是很低的。
有笑话说全世界的数学家都不会去买彩票，因为他们知道，在买彩票的路上被汽车撞死的概率远高于中大奖的概率。
随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学更是无处不在。
而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的用处。
抽样调查，评估，彩票，保险，甚至在日常生活中购买蔬菜水果之类的时候也经常会遇到要计算概率的时候，下面就通过几个例子具体看看在这些方面中概率论的应用。
1具体实例
1.1.1由先尝后买看概率论在生活中的应用
例1.1.1在水果批发市场上打算买几箱苹果，他询问卖主所售苹果的质量如何，卖主说一箱里（假设为100个）顶多有四、五个坏的。
李老师随后挑了一箱，打开后随机抽取了10个苹果，心想这10个中有不多于2个坏的就买，可他发现10个苹果中有3个是坏的。
于是李老师对卖主说，你的一箱苹果里不止有5个坏的。
卖主反驳说，我的话并没有错，也许这一箱苹果中就这3个坏的，让你碰巧看见了。
李老师的指责有道理吗?
解:
我们来看一看。
假设这一筐有100个苹果，其中有5个坏的。
我们把“坏苹果数大于2”用符号表示，他是互斥事件的并，应用古典概率的定,,Y,2,,,,,,Y,3、Y,4、Y,5
义，可求得所抽的10个中坏苹果数等于3的概率
73CC955，，PY,3,,0.0063910C100
同样可求得其中坏苹果数为4、5的概率分别是
64CC955，，PY,4,,0.0002510C100
2
55CC955，，PY,5,,0.00000010C100
于是由概率加法原则可得“坏苹果数大于2”的概率
，，，，，，，，PY,2,PY,3，PY,4，PY,5,0.0066
如果这筐苹果里的坏苹果少于5个，那么打开一筐任取10个发现多与2个坏苹果的概率会更小。
这就是说一次抽查10个，发现多于2个坏的几率会更小。
是几乎不可能发生的。
现在居然发生了，李老师正是根据几乎不可能发生的事情而居然发生了这个矛盾去否定卖方的说法。
在数学中把李老师的这种根据，即“概率很小的事件，在一次实验中几乎不可能发生。
”叫做小概率原理。
这是人们常常恪守的一条原理。
那么，卖方说的没有理由吗,也就是说假如这筐苹果里真的只有三个坏的，抽查的10个中恰巧包含了这3个，如果真是这样，那么这时就犯了把合格的（称其为真的）一筐（批）判成不合格的（称其为假的）一筐（批）判成不合格的（称其为假的）一筐（批）的错误。
我们称这种错误为弃真性质的错误，又称其为第一类错误。
在这个问题中，这种可能性（概率）不超过0.66%，可以说抽查10000个这样的筐，才可能出现66个弃真性质的错误，它是一个小概率事件。
显然买方已经把允许弃真性质错误的概率规定的够小的了，根据小概率原理卖方说的理由不成立。
李老师用这样抽样检查来决定买不买东西也有风险。
例如，若李老师所看的那筐有10个坏的（次品），然而李老师所抽的那10个全是好的（合格品），于是李老师以为这一筐里的坏的不超过5个（为合格批），相信了卖方的话。
这时李老师就犯了取伪性质的错误（把不合格批判为合格批）。
我们把这种错误称为取伪性质的错误，也叫第二类错误。
那么，这时李老师犯取伪性质错误的概率是多少呢,下面我们来算一算。
先用古典概型定义分别算出抽查的10个中所含次品个数及其对应的概率，将其列成下表:
X012345
P0.330.400.200.050.000.00
047679951215179475530640
X678910
P0.000.000.000.000.00
00310001000000000000
3
则他犯取伪性质错误的概率为
PX,0，PX,1，PX,2，，，，，，,
0.330476，0.407995，0.20510
0.939981
而当筐里有40个坏苹果时，用“抽查10个，其中有不超过2个坏的”标准就买，犯取伪性质错误的概率用同样的方法可以求。
先应用古典概率定义计算然后列成下表:
X012345
P0.000.030.110.220.260.20
435541605291043143137606
X678910
P0.800.030.000.000.00
81286856786309480049
再求
PX,0，PX,1，PX,2，，，，，，,
0.004355，0.034160，0.115291
0.153806
即这时犯取伪错误的概率为0.153806
由对以上例题的研究和分析可以得出结论，“先尝后买”对卖方还是有一定风险的，但是当商品不能一一全面检查时，先尝后买（抽样检查）的确不失为一个好方法，所以它能长盛不衰。
1.2概率论在选票领先问题中的应用
当研究一个或多个随机变量时，常常会遇到这样的情况，即在已知某随机事件（一般说来，这事件与被研究的随机变量有关）发生的条件下，求这个或这些随机变量取值的（条件）概率分布律。
接下来的例子便是条件数学期望和条件概率在选票领先问题中的应用。
[1]例2.2.1在选举中，候选人A获得n票，候选人B获得m票（）。
假设所有的选n,m
n,m票排列次序都是等可能的，证明在点算选票时A一路领先的概率为。
n，m
P证以表示欲求的概率，现把哪一个候选人得到最后点算的一张选票作为条件，于n,m
是有
4
nP,PA一路领先|A得到最后一张选票，，n,mn，mm，，，PA一路领先|B得到最后一张选票n，m
n,1当A得到最后一张选票时，A一路领先的概率等于当A得票总数是和B得票总数是m时A一路领先的概率。
而当B得到最后一张选票时A一路领先时也有类似的结果。
因此有
nm,，
（1）PPPn,mn,1,mn.m,1。
，，nmnm
下面利用归纳法证明
nm,
（2）P。
n,m，nm
n，m,1n，m,kn，m,k，1P,1当时，，即
（2）式成立。
现设时
（2）式成立，则当时，1,0
由
（1）式和归纳假设有
nn,1,mmn,m，1P,，n,mn，mn,1，mn，mn，m,1n,m,n，m
（2）式得证。
选票领先问题有一些有意思的应用，例如，在一次伯努利试验序列中，试验成功的概率是。
若要确定试验开始后首次出现成功或失败的试验次数相等的时间的概率，，p0,p,1
2n2n分布，则令表示该时间且把在这次试验中成功的次数取作条件，于是有
P首次时间,2n，，
nnn，，，，,P首次时间,2n|在前2n次试验中有n次成功，Cp1,p。
2n
2n当给定了在前次试验中成功n次时，n次成功和n次失败的试验的每一排列是等可能的。
因此上面的条件概率等于在选票领先问题中两个候选人都得到n张票且每一个候选
m,n,1P人直到点算最后一张选票之前一路领先的概率（是由于最后一张必定属于非n,n,1
领先的候选人），因此，有
nnnP,2n,PCp1-p，，，，首次时间,n,n12n
n,n,1，，nnn,Cp1,p，，2n，，n，n，1
nn，，p1,pn,C2n2n,1
1.3概率论在可靠性方面的应用
我们通常把一族无穷多个、相互有一定内在联系的随机变量叫做随机过程（也有人称之为随机函数）。
对于一个元件，它能正常工作的概率称为它的可靠性。
对于由若干个原件
2n组成的系统，这个系统正常工作的概率成为该系统的可靠性。
当系统由个元件组成时，
2n我们给出这个元件的四组组成方式，即四个系统，通过运用概率知识进行计算和比较，
5
可以这四个系统的可靠性按照由好到差的顺序排列出来，从而说明对于同样数目、同样性能的元件，由于系统的构成情况不同，它的可靠性也不一样。
下面我们来介绍一下随机过程在可靠性方面的应用。
[2]例2.3.1
（1）我们先来讨论一下最简单的情况:
假设系统只由两个元件A和B组成，那么连接这两个元件，只有串联和并联这两种方式，如图所示
A
BA
B
系统1图系统2图
A、B设的可靠性为，并假设这两个元件是否能够正常工，，p,p0,p,1,0,p,1A,B1122
作是相互独立的，运用概率论中的基本公式计算可得:
系统一的可靠性为:
，，d,PAB1
，，，，,PAPB
（1）
pp12
系统2的可靠性为:
d,PA，B，，2
1,P，，AB
（2）
，，，，,1,1,p1,p12
p，p,pp1212
因为，所以，由
（1）
（2）两式可知，0,p,1,0,p,112
d,d,PA，B,PAB，，，，21
p，p,2pp1212
2，，,p,p,012
这就是说，系统2要比系统1的可靠性要好一些。
（2）当系统由三个或三个以上元件组成时，为了讨论方便我们假设各个元件的可靠性均为，而且，各个元件是否正常工作是相互独立的。
，，p0,p,1
对于由三个元件组成的系统，只有如图系统3图——系统5图所示的三种组成方式，即:
三个元件串联;三个元件并联;两个元件并联后再与第三个元件串联。
BAC
系统3图
6
A
A
BC
B
C
系统5图系统4图
运用概率知识计算可得，系统3的可靠性为:
d,PABC，，3
P，，，，，，APBPC
3,p
系统4的可靠性为:
d,PA，B，C，，4
1,PABC，，
3，，,1,1,p
系统5的可靠性为:
d,P，，，，A，BC5
，，,PAC，BC，，，，，，,PAC，PBC,PABC
23,2p,p
因为
323d,d,[1,1,p],2p,p，，，，45
3,,，，,2pp,p,1,0,,2,,
233d,d,2p,p,p，，532，，,2p1,p,0
所以，三个系统的可靠性由好到差排列的顺序是:
系统4、系统5、系统3。
（3）当系统由个元件组成时，从大的方面讲，系统的组成只，，mm是正整数，且m,3
有三种，即:
m个元件串联;m个元件并联;m个元件串联和并联交替组合。
对于第三种组
成方式，随着m的增大，情况比较复杂，在此不做进一步的讨论。
我们只对由2n个元件组
成的系统，给出如系统6图——系统9图所示的四种组成方式，并通过计算、比较，说明哪
一个系统的可靠性更好一些。
„B1B2A2„A1
系统6图
7
A1
A2
B1
B2
系统7图
„A2A1A3
„B1B2B3
系统8图
A1A1A1
A1A1A1
系统9图
设个元件分别为，，，且，，，，，则系统6的可靠性为:
A和Bi,1,2,？
nPA,PB,p，，2nn,2iiii
d,PAA？
ABB？
B，，612n123
PAPA？
PAPBPB？
PB，，，，，，，，，，，，12n12n
2n,p
系统7的可靠性为:
8
d,PA，A，？
A，B，B，？
，B，，712n12n,1,PAA？
ABB？
B，，12n12n
2n，，,1,1,p
设，则A,AA？
A,B,BB？
B12n12n
n，，，，PA,PB,p
[3][4]系统8的可靠性为:
，，d,PA，B8
，，,1,PA,B
2n，，,1,1,p
nn，，,p2,p
对于系统9，它是由n对并联元件串联而成的，用表示第对元件正常工C，，ii,1,2,？
ni
作，则
，，，，PC,PA，Biii
，，,1,PABii
，，，，,1,PAPBii
2，，,1,1,p
，，,p2,p
[3][4]系统9的可靠性为:
d,PCCC？
，，n912
P，，，，，，CPCPC？
13n
nn，，,p2,p
四个系统的可靠性都计算出来了，现在我们讨论一下，哪一个系统的可靠性更好一些
首先，
nn2nnn，，，，d,d,p2,p,p,2p1,p,096
nnn,2，，其次，用数学归纳法可证明，当时，2,p,2,p，所以，d,d,096
2xxx引入函数，，，，，对x求导，得y,1,1,p,p2,p
2xxxxx,y,,21,pln1,p,p2,plnp,p2,pln2,p，，，，，，，，，，2xxx，，，，，，，，,,21,pln1,p,p2,plnp2,p
2因为，，，，0,1,p,0,0,p2,p,1,1,p,1.
9
所以，，，，ln1,p,0,lnp2,p,0
2xxx,从而，即函数在区间上是单调递增函数。
因为当，，，，y,1,1,p,p2,p，，,,,，,y,0
x,n,2，所以，当。
特别取，则当时，有，，，x,1时y,0x,1时y,0x,nn为正整数y,0
2nnn即,所以，。
，，，，d,d[1,1,p],p2,p,079
由此可得:
这就是说，在系统6图——系统9图所示的四个系统中，d,d,d,d7986
其可靠性由好到差排列的顺序是:
系统7、系统9、系统8、系统6.
通过上面的讨论可以看出，对于同样数目，同样性能的元件，由于系统的构成情况不同，它的可靠性也不一样。
因此，在基本情况相同的情况下，我们总是寻求优良的系统组成方式，从而使系统的可靠性更好一些。
了解系统可靠性的一些结论，并把它运用到我们的生产实践和生活实践当中去，必将收到良好的效果。
1.4大数定律在保险业的应用
[5]1.4.1问题的提出
重复试验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表型。
人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在;有频率的性质推断概率的性质，并在实际运用中用频率的值来估计概率的值。
其实，在大量随机现象中，不但事件的频率具有稳定性，而且大量随机现象的平均结果一般也具有这种稳定性;单个随机地行为对大量随机现象共同产生的总平均效果几乎不发生影响。
这就是说，尽管单个随机现象的将具体实现不可避免地引起随机偏差，然而在大量随机现象共同作用时，由于这些随机偏差互相抵消、补偿和拉平，至于总的平均结果
[6]趋于稳定。
例如，在随机地抛掷一枚均匀硬币的实验例子中，每一次实验的结果可能是正面，也可能是反面，但当抛掷次数变得很大时，每一次抛掷的结果对总的发生频率的影响就变得很小，于是正、反两面出现的就趋于稳定，其值围绕着0.5做微小的波动;又如在分子物理学中，气体对容器壁的压力等于单位时间内撞击容器壁单位面积上的气体分子的总影响。
尽管每个气体分子运动的速度、方向以及撞击容器壁的
n1limP（|X,EX|,,）,1件的发生，而此事件又与有些随机事件有关，这些随机事件的,k,,nn,1k
数目无限增多，而且每一个这样的事件产生的影响又非常微小。
【7】2.4.2大数定理的定义
,设是相互独立切具有公共分布的随机变量序列。
如果其期望，，存在，则X,,EXkk
,0对每个，当总有n,,
XX,,，，？
1nPlim,,,,,0,,,,nn,,
下面介绍大数定理的几种常见形式。
10
【2】定理1（马尔可父大数定理）设,,是随机变量序列。
若对所有，方差Xn,1DXnn存在，而且
n1D（,X）,0，klim2k,1nn,,
,0则对任意给定，有
nn11。
P（|,,,EX|,,）,0klim,1,1kknn,,n
【2】推论一（切贝谢夫大数定理）设{}是相互独立的随机变量序列。
若存在常数CXn
使
，对所有DX,Cn,1,2,？
n
,0有则对任意给定
nn11limP（|,X,EX|,,）,1。
kk,,n,1knn,1k
X,X,？
X,？
特别的，若进一步假设有相同的数学期望EX时有12n
n1limP（|X,EX|,,）,1。
k,,nn,1k
（01）,,pn定理2在n重伯努利实验中，事件A在每次试验中出言的概率为p，，为n此试验中出现A的次数，则
2,t,,dtx,1,npn2,,limP,x,,e。
,,,,,,n2,npq,,
定理3设随机变量X1，X2，„，Xn，„相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E（Xk）=μ,D（Xk）=σ2?
0（k=1,2,„）.则随机变量
nnn,,,XEX,,,Xn,,,kk,kkk,1,1,,k,1Y,,nnn,D（X）k,k,1
的分布函数Fn（x）对于任意x满足
11
n,,,2X,nt,k,,,x1,,,k12limF（x）,limP,x,edt.,,n,,,,,,,nn,n2π,,
,,,
,0根据上述中心极限定理，由事先约定的，则
n,,,,,,1n,,,,,,PXZP21,,,,,,,,,,1i,,,,,,，，nP1p,,1i,,,,,,
这样，由事先给定的确定出参加某种风险保障的企业最小数目n.,、,、P
,0.01、P,0.0012n,130例如:
当，则当约定时，一定有,也就是说当,,0.001
n,130时，上述的结果成立。
1.4.3保险动机的产生
现代保险业已经是社会非常重要的一环，而大数定律就是这大厦最重要的基石之一，下面就看看大数定律是如何撑起这座保险业大厦的。
保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会机制。
但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。
同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。
为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢,其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。
1.4.4应用举例
Z例2.4.1某企业有资金单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金单位。
假设企业ZZ,Z11投入资金与所得利润之间的函数关系为，显然有，当时为预K,Zf（Z）f（Z）,f（Z,K）1期风险条件下利润损失额。
当时，企业就需要有避险的需求，且随差f（Z）,f（Z,K）,0
额的增大而增大。
这就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。
12
具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。
假设这种随机现象为，则X的概率分布为:
X（i,1,2,？
n）ii
X取值0Zi1
概率P1,P
上表中，P为风险发生的概率，为风险发生时企业的损失额。
那么知道该事件的数Z1
学期望为。
E（X）,ZPi1
,,0根据契贝晓夫大数定律，当有限时，，Z1
n1lim（P|X,ZP|,,）,0。
1i,,nn,1i
,,0，上述式子可以表述为:
n个具有某种同类风险，且风险的发生是相互独立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以致在企业生产过程中可以忽略不计。
依据定理3和定理4，从两个方面来看，
0,P,1从微观上看，因为,则，由前面说的企业是看利润递增的原则，显Z,PZ11
然有。
此时企业产生参加社会保险的动机，也就
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