初中圆的定理和公式汇总.docx

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初中圆的定理和公式汇总

初中圆的定理和公式汇总

1不在同一直线上的三点确定一个圆。

1

圆：

由定点到定长点的集合叫做圆。

符号⊙0

2弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

弦：

⌒

经过圆心的弦叫直径

③半径不同，圆心相同的两个圆叫做同心圆

同圆、等圆或半径相同的叫做等圆

两个完全重合的弧叫等弧

④经过平面上一点可画无数个圆；

经平面上二点可画无数个圆；

⑤在三角形外画一个圆的圆心叫做此三角形的外心，此圆为三角形的外接圆。

⑥外心：

三角形三条中垂线的交点。

⑦三角形三个顶点在圆上，这个三角形叫圆的内接三角形。

2垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4圆是定点的距离等于定长的点的集合

5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

7同圆或等圆的半径相等

8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的内对角

12①直线L和⊙O相交d＜r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d＞r

13切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

15推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

16推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

18圆的外切四边形的两组对边的和相等

19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

35①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r＜d＜R+r（R＞r）

④两圆内切d=R-r（R＞r）⑤两圆内含d＜R-r（R＞r）

36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

37定理把圆分成n（n≥3）:

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

39正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

41正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长

42正三角形面积√3a／4a表示边长

43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°，因此k×（n-2）180°／n=360°化为（n-2）（k-2）=4

44弧长计算公式：

L=n兀R／180

45扇形面积公式：

S扇形=n兀R^2／360=LR／2

46内公切线长=d-（R-r）外公切线长=d-（R+r）

47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

48推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

49推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直径

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

如图1对于切线长定理，应明确

（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；

（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角（如图2）：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？

（四个）?

APC,?

APD,?

BPD,?

BPC

4.弦切角定理：

弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

即如上图中?

APC=?

CDP等

证明：

如图2，连接CD、OC、OP，因为?

CPO=?

PCO,所以?

COP=180?

-2?

CPO而?

CPO=90?

-?

APC,故?

COP=2?

APC,即?

CDP=?

APC。

5.弄清和圆有关的角：

圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段

定理

图形

已知

结论

证法

相交弦定理

⊙O中，AB、CD为弦，交于P.

PA·PB＝PC·PD

连结AC、BD，?

C=?

B,?

A=?

D,所以△APC∽△DPB

相交弦定理的推论

⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.

PC2＝PA·PB

用相交弦定理.

切割线定理

⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A

PT2＝PA·PB

连结TA、TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PT2＝PA·PB

切割线定理推论

PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C

PA·PB＝PC·PD

过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理

圆幂定理

⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦

P'C·P'D＝r2－OP'2

PA·PB＝OP2－r2

r为⊙O的半径

延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证

8.圆幂定理：

过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|

|（R为圆半径），因为

叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。

在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：

AE的值。

图1

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，求CE。

图2

例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则

________。

例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：

PB＝1：

4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3

例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，求证：

（1）

；

（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4

例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。

求证：

图5

例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。

求证：

AD·BC＝CD·AB

图6

例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。

求证：

BC＝2OE。

图7

例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，

是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作

所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。

当∠DEF＝45°时，求证:

点G为线段EF的中点；

图8

【模拟试题】（答题时间：

40分钟）

一、选择题

1.已知：

PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）

A.20/3B.25/3C.5D.8

2.下列图形一定有内切圆的是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.梯形

3.已知：

如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）

图1

A.50°B.40°C.60°D.55°

4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：

4，则另一弦长为（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm

5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD=

cm，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）

A.

cmB.

cmC.

cmD.

cm

6.PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）

A.20B.10C.5D.

二、填空题

7.AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。

8.已知：

⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。

9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，PA=

，则PC的长为_____________。

10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则

=_____________。

三、解答题

11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。

图2

12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：

CB平分∠DCP。

图3

13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB=

cm，求⊙O的半径。

图4